（新教材）【人教A版】（數(shù)學(xué)） 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)

1.4.2

充要條件

充要條件(1)定義:若p?q且q?p,則記作p?q,此時(shí)p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.(2)條件與結(jié)論的等價(jià)性:如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.(3)概括:如果p?q,那么p與q互為充要條件.【思考】(1)符號(hào)“?”的含義是什么?提示:“?”表示“等價(jià)”,如“A與B等價(jià)”指的是“如果A,那么B”,同時(shí)有“如果B,那么A”,或者說“從A推出B”,同時(shí)可“從B推出A”.(2)命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分哪幾類?提示:①充分必要條件(充要條件),即p?q且q?p.②充分不必要條件,即p?q且qp.③必要不充分條件,即pq且q?p.④既不充分又不必要條件,即pq且qp.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí),也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立. (

)(2)若pq和qp有一個(gè)成立,則p一定不是q的充要條件. (

)(3)若p是q的充要條件,q是r的充要條件,則p是r的充要條件. (

)提示:(1)√.當(dāng)p是q的充要條件時(shí),p?q,且q?p,故說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立,這種說法正確.(2)√.若pq或qp,則p不是q的充分條件,或p不是q的必要條件,故此說法正確.(3)√.因?yàn)閜?q,q?r,所以p?r,所以p是r的充要條件.2.“a+b<0”是“a<0,b<0”的

(

)A.充分而不必要條件B.充要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當(dāng)a與b異號(hào)且負(fù)數(shù)絕對(duì)值大時(shí),也有a+b<0,所以“a+b<0”

“a<0,b<0”,顯然“a<0,b<0”?“a+b<0”,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的必要而不充分條件.3.點(diǎn)P(x,y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是 (

)A.x<0,y<0 B.x<0,y>0C.x>0,y>0 D.x>0,y<0【解析】選B.第二象限的點(diǎn)橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0,所以點(diǎn)P(x,y)是第二象限的點(diǎn)的充要條件是x<0,y>0.類型一充要條件的判斷【典例】1.“b2=ac”是“成立”的 (

)A.充分而不必要條件B.充要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】1.選C.b2=ac,如b=0,c=0時(shí),b2=ac,而無意義.但?b2=ac,所以“b2=ac”是“

”的必要不充分條件.2.下列各題中,哪些p是q的充要條件? (1)p:x≠0,q:x+|x|>0(2)p:關(guān)于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解;q:a>0(3)p:ab>0,a,b∈R;q:|a+b|=|a|+|b|(4)p:c=0;q:y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)【解析】(1)因?yàn)橛蓌≠0推不出x+|x|>0,如x=-1時(shí),x+|x|=0,而x+|x|>0,所以pq,所以p不是q的充要條件(2)若關(guān)于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,則a≠0,所以pq,所以p不是q的充要條件(3)因?yàn)閍=0時(shí),也有|a+b|=|a|+|b|,所以qp,所以p不是q的充要條件.(4)當(dāng)c=0時(shí),函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn);當(dāng)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),0=a×02+b×0+c,所以c=0,所以p?q,所以p是q的充要條件.【類題·通】從命題角度判斷p是q的充分必要條件(1)原理:判斷p是q的充分必要條件,主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立.(2)方法:①若p?q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;②若q?p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件;③若二者都成立,則p與q互為充要條件.【習(xí)練·破】下列各題中,哪些p是q的充要條件?(1)p:x2=3x+4;

q:x=.(2)p:a是自然數(shù);

q:a是正數(shù).(3)p:a=1;

q:a的倒數(shù)是其本身.(4)p:點(diǎn)P(2-a,3a-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等;q:a=1或a=0.【解析】(1)當(dāng)x=-1時(shí),x2=3x+4,但是x==1。所以pq,所以p不是q的充要條件.(2)0是自然數(shù),但是0不是正數(shù),所以pq,所以p不是q的充要條件.(3)倒數(shù)是其本身的有±1,所以qp,所以p不是q的充要條件.(4)當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)P(1,1)到兩坐標(biāo)軸距離相等,當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)P(2,-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等,當(dāng)點(diǎn)P(2-a,3a-2)到兩坐標(biāo)軸距離相等時(shí),|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.所以p?q,所以p是q的充要條件.【加練·固】下列各題中,哪些p是q的充要條件?(1)p:x=y;q:(2)p:∠1=∠2;q:∠1與∠2是對(duì)頂角.(3)p:反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限;q:m<5.(4)p:a>;q:a≥1.【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí),pq,所以p不是q的充要條件.(2)對(duì)頂角相等,但相等的角不一定是對(duì)頂角,所以pq,所以p不是q的充要條件.(3)反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限?m-5<0?m<5,所以p是q的充要條件.(4)當(dāng)a=-時(shí),a>,所以pq,所以p不是q的充要條件.類型二充要條件的證明【典例】求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0. 【思維·引】從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明.【證明】設(shè)p:a+b+c=0;q:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1,(1)充分性(p?q):因?yàn)閍+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1,(2)必要性(q?p):因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個(gè)根為1,所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0.所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.【素養(yǎng)·探】在與充要條件的證明有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過命題真假的證明,判斷充分、必要條件,提高分析、推理、論證的能力.將本例的條件“有一個(gè)根為1”改為“有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”,“a+b+c=0”改為“ac<0”,如何證明?【證明】設(shè)p:ac<0;

q:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,(1)充分性(p?q):因?yàn)閍c<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根,由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根.(2)必要性(q?p):因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為<0,所以ac<0.由(1)(2)可得,關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是ac<0.【類題·通】充要條件的證明策略(1)要證明一個(gè)條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行,即證明兩個(gè)命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.(2)在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.提醒:證明時(shí)一定要注意,分清充分性與必要性的證明方向.【習(xí)練·破】已知x,y都是非零實(shí)數(shù),且x>y,求證:xy>0是的充要條件.【證明】設(shè)p:xy>0;

q:.(1)充分性(p?q):由xy>0及x>y,得

(2)必要性(q?p):由,得<0,即<0,又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.由(1)(2)可得,xy>0是的充要條件.【加練·固】求關(guān)于x的方程ax2+x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要件.【解析】①當(dāng)a=0時(shí),解得x=-1,滿足條件;②當(dāng)a≠0時(shí),顯然方程沒有零根,若方程有兩異號(hào)實(shí)根,則a<0;若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根,則必須滿足解得0<a≤.綜上,若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根,則a≤.反之,若a≤,則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根.因此,關(guān)于x的方程ax2+x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤.類型三用集合觀點(diǎn)解充分條件、必要條件問題【典例】1.已知p:點(diǎn)M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,則p是q的 (

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)M(1-a,2a+6)在第四象限,所以解得a<-3.因?yàn)閧a|a<-3}{a|a<1},所以p?q,qp,所以p是q的充分不必要條件.2.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因?yàn)閜是q的必要不充分條件,所以q是p的充分不必要條件,即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},故有解得m≤3.又m>0,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}.【素養(yǎng)·探】在用集合觀點(diǎn)解充分條件、必要條件的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象,通過研究充分條件和必要條件與集合的關(guān)系,培養(yǎng)借助集合解決問題的能力.將本例2的“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因?yàn)閜是q的充分不必要條件,設(shè)p代表的集合為A,q代表的集合為B,所以AB.所以解不等式組得m>9或m≥9,所以m≥9,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}.【類題·通】從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若A?B,