充分條件、必要條件 高一上學期數(shù)學人教B版(2019)必修第一冊_第1頁
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文檔簡介

第一章集合與常用邏輯用語§1.2.3充分條件、必要條件嘗試與發(fā)現(xiàn)我們已經(jīng)接觸過很多形如“如果p,那么q”的命題,例如:(1)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;(2)在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么這個銳角所對的直角邊等于斜邊的一半;(3)如果x>2,那么x>3;(4)如果a>b且c>0,那么ac>bc.在“如果p,那么q”形式的命題中,p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.一、充分條件、必要條件若“如果p,那么q”是一個真命題,則稱由p可以推出q,記作,讀作“p推出q”.1.定義:當時,我們稱p是q的充分條件,q是p的必要條件;(當時,我們稱p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.)AB一、充分條件、必要條件因此,“如果p,那么q”是真命題,

,p是q的充分條件,q是p的必要條件;,p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.例如,因為“如果x=-y,則x2=y2”是真命題,所以x=-y是x2=y2的_____條件,x=-y是x2=y2的_____條件.又如,因為命題“若A∩B≠?,則A≠?”是真命題,所以A∩B≠?_____A≠?

A∩B≠?是A≠?的_____條件,A∩B≠?是A≠?的_____條件.充分充分必要必要一、充分條件、必要條件例1判斷下列各題中,p是否是q的充分條件,q是否是p的必要條件:

(1)p:x∈Z,q:x∈R;

(2)p:x是矩形,q:x是正方形.解(1)因為整數(shù)都是有理數(shù),從而一定也是實數(shù),即,因此p是q的充分條件,q是p的必要條件.(2)因為矩形不一定是正方形,即,因此p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.一、充分條件、必要條件例2說明下述命題是否可以看成判定定理或性質(zhì)定理,如果可以,說出其中涉及的充分條件或必要條件:

(1)形如y=ax2(a是非零常數(shù))的函數(shù)是二次函數(shù);

(2)菱形的對角線互相垂直.解(1)這可以看成一個判定定理,因此“形如y=ax2(a是非零常數(shù))的函數(shù)”是“這個函數(shù)是二次函數(shù)”的_____條件(2)這可以看成菱形的一個性質(zhì)定理,因此“四邊形對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的_____條件充分必要二、充要條件1.充分不必要條件:一般地,如果且則稱p是q的充分不必要條件.例,因為x>3

x>2,所以x>3是x>2的充分條件,又因為x>3x>2,所以x>3不是x>2的必要條件,即x>3是x>2的充分不必要條件》2.必要不充分條件:一般地,如果且則稱p是q的必要不充分條件.例,x(x+1)=0是x=0的必要不充分條件.二、充要條件3.充要條件:如果且則稱p是q的充分必要條件(簡稱充要條件).記作,也讀作“p與q等價”“p當且僅當q”.當然,p是q的充要條件時,q是p也是的充要條件.例,當x≥0時,有意義;當有意義時,x≥0.因此“x≥0”是“有意義”的充要條件二、充要條件例3在△ABC中,判斷∠B=∠C是AC=AB的充要條件.解因為“在三角形中,等邊對等角”,所以∠B=∠CAC=AB;又因為“在三角形中,等邊對等角”,所以AC=AB∠B=∠C.從而∠B=∠C

AC=AB,因此△ABC中∠B=∠C是AC=AB的充要條件.歸納總結(jié)1.如果p

q且qp,則稱p是q的________________條件2.如果pq且qp,則稱p是q的________________條件3.如果pq且qp,則稱p是q的________________條件4.如果pq且qp,則稱p是q的________________條件充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要練習A1.設區(qū)間A=(-0,-1],B=(-∞,1),判斷x∈A

是否是x∈B的充分條件和必要條件.解:

x∈A

是x∈B的必要不充分條件.練習A2.說明下述命題是否可以看成判定定理或性質(zhì)定理,如果可以,說出其中涉及的充分條件或必要條件:(1)形如y=x2+bx(b

是常數(shù))的函數(shù)是二次函數(shù);(2)菱形的對角線互相平分.解:(1)可以看成判定定理,即“形如y=x2+bx(b

是常數(shù))的函數(shù)”是“函數(shù)是二次函數(shù)”的充分條件.(2)可以看成性質(zhì)定理,即“四邊形的對角線互相平分”是“四邊形是菱形”的必要條件.練習A3.下列各題中,p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”,下同)?(1)p:x<2,q:x<1;(2)p:x<0,q:-有意義;(3)p:x>0,q:|x|=x。解:(1)p是q的必要不充分條件;(2)p是q的充要條件;(3)p是q的充分不必要條件.練習A4.“有兩個角之和為90°的三角形稱為直角三角形”是否可以作為直角三角形的定義?為什么?解:可以,因為“有兩個角之和為90°”是“三角形為直角三角形”的必要條件.練習B1.下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:A=?,q:A∪B=B;(2)p:A

B,q:A∩B=A;(3)p:x∈A,q:x∈A∩B.解:(1)

p是q的充分不必要條件;(2)p是q的充要條件;(3)p是q的必要不充分條件.練習B2.下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:a2=4,q:a=2;(2)p:AB,q:A∪B=B;(3)p:兩個三

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