高等流體力學(xué)第三講課件

第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

本講主要內(nèi)容

（以平面流動為例） 一、問題概述 二、歐拉方程的求解（有勢流動的基本理論） 三、邊界層內(nèi)運動的解析解法北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

一、問題概述

1、大雷諾數(shù)近似下的歐拉方程（Euler’sEquations）

N—S方程，用相對值表示為無量綱形式，其中參考量選擇如下：

理論：在20世紀(jì)前已比較完善；成果：流場，升力。 問題：阻力（達(dá)朗伯佯謬D‘Alembert’sParadox）；無滑動條件。長度：速度：壓強(qiáng)：時間：當(dāng)：時，有：歐拉方程：（Hydrodynamics）北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

2、邊界層內(nèi)流動的量級分析—邊界層方程 （1）邊界層的提出 通過流場顯示結(jié)果，Prandtl（1904）提出邊界層理論。 邊界層外，流動有勢，滿足歐拉方程； 邊界層內(nèi)，粘性運動，剪切層產(chǎn)生旋渦； 漩渦的粘性擴(kuò)散與對流傳輸—漩渦僅限于邊界層內(nèi)；

邊界層圖邊界層的尺度：其中：在20°C時，U=1m/s,L=1m，ν=10-6m2/s；水：Re≈106；空氣：Re≈6.7X104北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）邊界層內(nèi)N—S方程的量級分析

速度：壓強(qiáng)：長度—x方向：Y方向：其中：1）連續(xù)方程注意v的量級：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）邊界層內(nèi)N—S方程的量級分析速度：壓強(qiáng)：長度—x方向：Y方向：其中：2）運動方程由此得：及即：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）邊界層內(nèi)N—S方程的量級分析速度：壓強(qiáng)：長度—x方向：Y方向：2）運動方程，同理可得由此得：或：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（3）邊界層方程 按有量綱形式的方程表示

定解條件其中：在邊壁上：在邊界層界面上：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 3、歐拉方程與邊界層方程的銜接條件在邊界層界面上有：可表示為：（銜接條件）

對平面繞流邊界靜止不動的問題，有v（x,0）=0，由x方向的歐拉方程，可確定邊界層壓強(qiáng)值，即：當(dāng)y→0：邊界層方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 4、大雷諾數(shù)問題解決步驟 （1）求解無邊界層的歐拉方程，得到邊界層外整個流場的速度分布、壓強(qiáng)分布； （2）確定物體所受的升力值，及 （3）壁面上的速度值和壓強(qiáng)值； （4）計算邊界層內(nèi)的速度分布； （5）確定邊界層厚度（可用于對歐拉計算的邊界修整）， （6）結(jié)算壁面剪應(yīng)力分布，計算壁面的阻力值。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

二、歐拉方程的求解—勢流理論

1、基本方程與定界條件 重力場中的恒定的平面流動：基本方程：在無窮遠(yuǎn)處：在物面上：當(dāng)物體靜止時：定解條件：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 2、勢函數(shù)φ(x,y)

當(dāng)流動無旋時，有： 上式稱為Laplace方程，為線性方程，解可疊加。 對無旋流動的空間問題，也存在勢函數(shù)φ(x,y,z)，滿足Laplace方程。對平面問題：令滿足必滿足無旋條件（有勢必?zé)o旋）代入連續(xù)方程北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 3、拉格朗日與伯努利方程（積分）

（1）蘭姆——葛羅米柯（Lamb-Γpombiko）方程 （2）力勢函數(shù)與壓力勢函數(shù) 對重力場和不可壓流體：對歐拉方程：由矢量恒等式可得蘭姆——葛羅米柯型方程北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（3）拉格朗日方程 將：

在恒定流條件下，有：

拉格朗日方程適用條件：運動無旋。

常數(shù)c適用于整個流場。

代入蘭姆方程：得拉格朗日方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（4）伯努利方程 在運動為恒定條件下，蘭姆方程為：

伯努利方程的適用條件：定常流動。

由此可知，可將求解歐拉方程問題轉(zhuǎn)化為：

1）由Laplace方程求出φ；

2）由勢函數(shù)求速度場u、v、w；

3）由拉格朗日或伯努利方程求壓強(qiáng)場。沿流線積分，得伯努利方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 4、流函數(shù)ψ(x,y)由平面連續(xù)方程：引入ψ(x,y)滿足：當(dāng)流動無旋時，ψ(x,y)滿足Laplce方程：注意：1）流函數(shù)僅存在于平面流動或軸對稱流動問題；

2）無論流動是否無旋，流函數(shù)都存在。但只有滿 足無旋流動條件，才能滿足Laplace方程。 北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 5、流函數(shù)與勢函數(shù)的一些特性 （1）流函數(shù)ψ(x,y)=const，表示流線； （2）兩流函數(shù)之差表示通過兩流線間的流量值； （3）流線與等勢線正交； （4）速度勢函數(shù)φ(x,y)不能在域內(nèi)有極大值與極小值； （5）流體質(zhì)點的速度的模在流域中不能達(dá)到極值； （6）壓強(qiáng)在域內(nèi)不能出現(xiàn)極小值； （7）在單連同域內(nèi)，ψ(x,y)、φ(x,y)是單值函數(shù)，再多連同域內(nèi)可以是多值函數(shù)。

其中：Q—通過多連通域封閉曲線的流量；

Γ—沿多連通域封閉曲線的速度環(huán)量；

m—環(huán)繞多輛通域的次數(shù)數(shù)。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 6、有勢流動的主要性質(zhì) （1）凱爾文定理（Kelvin‘sTheorem） 理想正壓流體在有勢力場中運動時，連續(xù)流場中沿封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間而變化。 （2）拉格朗日——渦量不生不滅定理 理想正壓流體在有勢力場中運動時，如某一時刻連續(xù)流場中無旋，則流場始終無旋。 （3）亥姆霍茨（Helmholtz）—渦管、渦線保持定理 理想正壓流體在有勢力場中運動時，滿足：

1）組成渦面的流體質(zhì)點永遠(yuǎn)組成渦面；

2）組成渦線的流體質(zhì)點永遠(yuǎn)組成渦線；

3）組成渦管的流體質(zhì)點永遠(yuǎn)組成渦管，且其強(qiáng)度不隨時間而變。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 7、平面有勢流動問題的復(fù)勢方法—奇點疊加法 （1）定常平面有時流動的Laplace方程的求解

1）求解勢函數(shù)

2）求解流函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處：在物面上：定解條件：在無窮遠(yuǎn)處：在物面上：定解條件：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）復(fù)勢及其與有勢流動各量間的關(guān)系

1）復(fù)勢的定義

為調(diào)和函數(shù)；且滿足：柯西—黎曼條件（Cauchy—Riemann）構(gòu)造復(fù)變函數(shù)是解析復(fù)變函數(shù)。其中：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 2）用復(fù)勢表示有勢流動各物理量 ①f(z)=const，表示等勢線和流線簇 ②復(fù)速度與復(fù)勢的關(guān)系 ③封閉曲線的的環(huán)量與通過的流量與復(fù)勢的關(guān)系北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 ④柱體所受流體作用力、力矩與復(fù)勢的關(guān)系作用力：作用力矩：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（3）復(fù)勢的確定—奇點疊加法

1）步驟

①研究基本復(fù)數(shù)函數(shù)所表示的流場； ②通過基本復(fù)勢的疊加，構(gòu)造滿足物面邊界條件的流場。物面是一條流線。 ③通過邊界條件（Q、Γ）確定待定常數(shù)。 ④計算流場速度、壓強(qiáng)分布。 ⑤計算物體所受的力。

2）基本復(fù)變函數(shù)所表示的流場

①均勻流f(z)=cz=c(x+iy)

其中：c是復(fù)常數(shù)。均勻流圖示北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

②源、匯流

a為實數(shù)，a>0：源；a<0：匯。

③點渦流

a為實數(shù)，a>0：環(huán)量逆時針轉(zhuǎn)動；

a<0：環(huán)量順時針轉(zhuǎn)動。源匯流圖示點渦流圖示柱坐標(biāo)表示的速度關(guān)系北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

④偶極子與無環(huán)量圓柱繞流 偶極子

⑤無環(huán)量圓柱繞流

偶極子圖示其中：偶極強(qiáng)度或偶極矩，方向以Q至–Q。圓柱繞流圖示其中圓柱半徑：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（4）復(fù)勢確定的鏡像法

1）平面鏡像

2）圓周鏡像

其中平面鏡像圖示圓周鏡像圖示a：圓周半徑，

表示在復(fù)數(shù)中除變量z外對所有復(fù)數(shù)量取共軛。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（5）復(fù)勢確定的保角變換法

1）保角變換——解析函數(shù)變換過程中兩線段的夾角不變，長短可變。

2）變換思路

①找到一解析函數(shù)ζ=g(z)，將物理平面D中的曲線L變換到映射平面D’中的圓周L’； ②在映射平面D’中求出圓周繞流的復(fù)勢F(ζ)； ③通過z=g-1(ζ)的反函數(shù)將所求得的F(ζ)變換到物理平面中得到f(z)； ④已知復(fù)勢后其它各量可求。保角變換圖示北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

三、邊界層內(nèi)流體運動量的解析解法

1、邊界層（BoundaryThickness）的定義

（1）邊界層厚度（名義厚度）δ(x)

在x處的邊界層厚度定義為u(x,y)=0.99UE(x)所對應(yīng)的y值。

存在的問題：δ(x)難以準(zhǔn)確測定。 （2）位移厚度（排擠厚度DisplacementThichness）δd(x)

由于邊界層的影響，對應(yīng)于x處通過邊界層δ(x)的流體質(zhì)量，無邊界層所需尺度為[δ(x)-δd(x)]。

即：得：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（3）動量損失厚度（MomentThichness）δM(x)

由于邊界層的影響，對應(yīng)于x處，無邊界層通過尺度為[δ(x)-δd(x)]，其動量通量與通過邊界層δ(x)的動量通量之差成為動量損失。定義動量損失厚度：即動量損失：有定義可知：位移與動量厚度圖示北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 2、平面定常邊界層方程所給問題是適定的。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

3、邊界層方程的相似解

（1）相似解的概念 對邊界層速度u(x,y)存在適當(dāng)變換，使得每個橫斷面上的u(x,y)經(jīng)過變換后的分布都相同，即： 通過相似變換，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。相似參數(shù)北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）相似解存在條件

當(dāng)流動無特征長度（繞流邊界無限長），邊界層外速度UE(x)=cxm，即為冪級數(shù)時就存在相似解。 其中α、β必須為常系數(shù)。

（3）相似解求解方法——引入流函數(shù)

引入流函數(shù)，使得對兩個變量（u、v）的方程組轉(zhuǎn)化為對一個相似參數(shù)η的常微分方程。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（4）邊界層相似方程

將所定義的流函數(shù)代入可得： 其中：UE’g’為對x的導(dǎo)數(shù)；f’表示對η的導(dǎo)數(shù)。 代入邊界層連續(xù)方程和運動方程，整理可得：邊界條件：其中：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（5）半無限平板恒定層流邊界層的Blasius解

1）流動特點：

流動圖示取則定解條件：方程簡化為：

方程是非線性的，Blasius給出級數(shù)解，Howarth給出精度較高的數(shù)值解，見教材p.82表4-1所示。北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 2）數(shù)值成果分析 速度分布： 邊界層厚度： 位移厚度 動量損失厚度

數(shù)值解成果速度分布圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

板面剪應(yīng)力 剪應(yīng)力系數(shù) 板長為L的阻力 阻力系數(shù)數(shù)值解成果北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 3）計算結(jié)果北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 4、定常平面邊界層的卡門（KarmanT.Von）動量積分

方法特點： 是一種近似方法； 僅在積分意義上滿足邊界層方程； 簡單，有一定精度，在工程中得到廣泛應(yīng)用。 （1）基本方程與邊界條件北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（2）動量積分關(guān)系 將（1-1）式乘u后與（1-2）式相加，得： 將（1-1）式乘UE后再加udUE/dx，得： 將（2-2）-（2-1）后沿邊界層積分，得：引入邊界層定義，得北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

引入定義 形狀因子 壁面摩察系數(shù) 方程特點：僅有一個方程，但有三個未知量δM，Hdm，cf； 當(dāng)已知邊界層速度分布后，則δM，Hdm，cf可以確定。 得卡門動量積分方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（3）邊界層近似求解步驟

1）假設(shè)邊界層速度分布形式

2）由邊界條件確定待定系數(shù)，得到邊界層相容性方程

3）計算邊界層名義厚度

4）計算邊界層其余參量北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長明高等流體(水）力學(xué)講稿第三講大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

（4）應(yīng)用例 對無窮遠(yuǎn)水平來流U∞=Const繞半無限平板邊界層內(nèi)流動， 設(shè)： 確定相容性方程，并計算邊界層個參量。 解：1）由邊界（相容）條件確定a、b、c、d四個系數(shù)

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解得： 相容方程為

2）由動量積分方程確定邊界層厚度 位移厚度： 動量損失厚度： 形狀因子： 壁面剪應(yīng)力： 北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——