2022年高三數(shù)學下半期網(wǎng)上在線做題

選擇題

已知集合月={135},B=<1,2.3},c={2,3,4,5},則(dea*()

A.0.2,3,5}B.{1.2.3.4}C.Q345}D.0.2.3,4,5)

【答案】D

【解析】

根據(jù)集合的基本運算即可求解.

解：：，={135},5={1.2.3),-5),

則(dc3)uC={L3}u{2.345}={12345}

故選：D.

選擇題

1-i

已知復(fù)數(shù)廠二73為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（）

A.15'5JB.15'5JC.l515jD.l5,5j

【答案】A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求得二的坐標得出答案.

1-Z_(l-i)(2+D=31_.

解：'~"(2-0(2+0~5-5，,

(In

二二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是15,5上

故選：A.

選擇題

已知向量。=(2,7),6=(匕3),且2與1的夾角為135,，則1t=()

A.-9B.lC.-9或1D.-]或9

【答案】C

【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，求k的值.

.ab2k-\l-Jl

cos135=------=,_--------=-------

解：由題后、可得0|b|J4+16dk，+92,

求得k=-9,或k=],

故選：C.

選擇題

已知雙曲線c力＞°）的一條漸近線的傾斜角為e,且

桿或

C05,則該雙曲線的離心率為（）

「更

A.V5B.2C.2D.4

【答案】A

【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即。上的關(guān)系，求出雙曲線的離心

率.

解：設(shè)雙曲線的半個焦距為一由題意。??；?/p>

道275—

又3丁，則加百一，,『，所以離心率

e=-=Jl+|—|=若

aV'?Q）,

故選：A.

選擇題

為比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六

大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測

驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是

()

教學油農(nóng)

理現(xiàn)蛔象

A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲

B.乙的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差

【答案】C

【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.

根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：

數(shù)學抽象

邏輯推理

數(shù)學建模

直觀想象

數(shù)學運算

數(shù)據(jù)分析

甲

4

5

4

5

4

5

乙

3

4

3

3

5

4

由數(shù)據(jù)可知選C.

選擇題

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯棧用

16"432i+816乃+8

A.-3~B.16^+4C.-3~D.-T~

【答案】A

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進一步求出幾何體的體積.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為下面為一個半

球，上面為一個直三棱錐體構(gòu)成的組合體.

如圖所示：

下面的球的半徑為2,直三棱錐的底面為腰長為2的等腰直角三角形,

高為2,

1411…、16兀+4

，rz=-x-x^rx25+-x-x2x2x2=------

故+23323.

故選：A.

選擇題

若函數(shù)/（X）=爐-加必+2.v（we⑷在*=1處有極值，則/（A）在區(qū)間［0.2］上

的最大值為（）

14

A.27B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】

根據(jù)極值點處的導數(shù)為零先求出川的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的

閉區(qū)間上最值的求法計算即可.

.=5

解：由已知得/(丫)=3/-2%+2,二，(1)=3-2刑+2=0,--5,經(jīng)檢

驗滿足題意.

.,./(x)=r3--|x2-F2x

/'(r)=3必-5x+2.

由/'(X)<0得3<Y<1;由/⑶>0得X<,或x>】.

>1r->

二1

所以函數(shù)3)在「o-3」上遞增，在|_3.」上遞減，在口.2］上遞增.

則“x)3=f［j卜方，%)=2,

由于"2)>/(X)松楨，所以〃為)在區(qū)間［0.2］上的最大值為2.

故選：B.

選擇題

將函數(shù)/(X)=2$in(3x+0)(0<*<”)圖象向右平移*個單位長度后，得到

_￡_￡￡

函數(shù)的圖象關(guān)于直線'=5'對稱，則函數(shù)/W在[88」上的值域是()

A.[-1.2]B.L后2]C.L2」D.I-72.2]

【答案】D

【解析】

由題意利用函數(shù)J=的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對

稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.

萬

解：把函數(shù)〃x)=2sm(3x+e)(0<8<的圖象向右平移9個單位長度后,

2sni31---------r&)

可得JI8J的圖象;

再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線*=9對稱,

、乃3丁,it

.3x--——+0=尢?r+—

382keZ,

故/。)=叫―-￡”"」],即/⑸的值域是卜萬⑵,

故選：D.

選擇題

我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，

哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的

和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超過18的素數(shù)中隨

機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）

j_j_2.

A.21B.21C.15D.15

【答案】B

【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,

然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.

解：不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個，從中隨機

選取兩個不同的數(shù)共有C=21,

其和等于16的結(jié)果Q13）,（5.11）共2種等可能的結(jié)果，

2

故概率尸=主

故選：B.

選擇題

甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙

年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四人中只有一個人說的是

真話，則年紀最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個

說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答案.

①假設(shè)甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，

而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話,

年紀最大的不是甲；

②假設(shè)乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，

丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，年紀最大的

也不是乙；

③假設(shè)丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，

丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀最

大的也不是乙；

④假設(shè)丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說

的是真話,那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大的，同時乙也說謊，

說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年

紀最大的，故假設(shè)成立，年紀最大的是丙.

綜上所述，年紀最大的是丙

故選：C.

選擇題

已知三棱錐的體積為2,是邊長為2的等邊三角形，且

三棱錐。-月3c的外接球的球心。恰好是CD中點，則球。的表面積為

()

52*40725不

A.丁B.丁C.~TD.24JT

【答案】A

【解析】

根據(jù)。是。。中點這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，

即可用勾股定理求解.

解：設(shè)Z)點到平面.西。的距離為〃，因為。是CQ中點，

h

所以。到平面.sc的距離為3，

二棱錐￡>-48c的體積3?32，解得

h=2'Ji,

，—2后

作。。1平面.西。，垂足。為A/LBC的外心，所以“*=亍，且

OO=—=y/S

2，

所以曲4。。中，。叫,此為球的半徑，

故選：A.

D

C

選擇題

已知函數(shù)"x）=MNx-21nx）g>0）,〃=17］若所有點（$j⑺），（5/eO）

所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e：l,貝?=（）

1e

A.eB.c—2C.lD.9—2

【答案】D

【解析】

依題意，可得/3>o,3）在［h］上單調(diào)遞增,于是可得〃不）在GW

1T=/T,解之即

上的值域為,（e+2）"a］,繼而可得"‘一5’

可.

（,2、0（。4-2）「11

解：""）"四;二尸、，因為一，

a>0，

所以八、）>0,/⑴在［，,］上單調(diào)遞增，

因為所有點GJS）（印e0所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為

所以“AT）

e

解得0-2,

故選：D.

填空題

若、1ng-202。叱g,則8tM

【答案】

【解析】

直接利用誘導公式和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

&刀suit672020a)=-匚L［、［4ina=—

解：5，所以5,

.cos2a=1-2sin*a=1-2f-l=-

故\5)25.

23

故答案為：25.

填空題

x-；(x+2/的展開式中的常數(shù)項為.

【答案】160

【解析】

先求(12)，的展開式中通項，令、的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.

解：因為(12)，的展開式的通項公式為：C；C7/“；

令6-r=3,可得r=3;

丁(/2)，的展開式中的常數(shù)項為：PC=160.

故答案為：160.

填空題

已知F為拋物線C：x2=8y的焦點，P為C上一點，M(-4,3),則

團PMF周長的最小值是.

【答案】5+舊

【解析】

國PMF的周長最小，即求|PM|十|P尸|最小，過P做拋物線準線的垂線，

垂足為。，轉(zhuǎn)化為求d”|+|P0|最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.

如圖，F(xiàn)為拋物線C：x2=8y的焦點，P為C上一點，M(-4,3),

拋物線C：x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=-2.

過尸作準線的垂線，垂足為0,則有|P產(chǎn)|=|尸。|

|PA/|+|?F|=|PM\+|尸。閆1=5,

當且僅當M/.Q三點共線時，等號成立，

所以即MF的周長最小值為5+J(7)、G-2>=5+歷.

故答案為：5+J7.

填空題

在中，角從旦C的對邊分別為c.b.c,且2bcosB=acosC+ccosH,

若AABC外接圓的半徑為一丁，則△ABC面積的最大值是.

【答案】拒

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合范圍

86(0”)可求8的值，利用正弦定理可求方的值，進而根據(jù)余弦定理,

基本不等式可求成的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

解：26cosB=acosC+ccosA>

由正弦定理可得：=sindcosC+$inCco$J=&m(X+C),

；/+8+C?=/r,

sin(J+C)=smB,

1n

又二8毛(0㈤，sin5*0?.'.2COSJB=1?即2,可得：3,

2再

???A.ABC外接圓的半徑為~T~,

:工e正

■-3

，解得b=2,由余弦定理b，=a，+c，-2accosB，可得

a2+c2-ac=4>又+，

4=^'+c:-ac^lac-ac=ac(當且僅當a=c時取等號)，即ac最大值為

4,

：MABC面積的最大值為丁4S"'“=百.

故答案為：VI.

解答題

_7

已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前”項和為其，且q=2,'=￡

(1)求數(shù)列的通項公式；

⑶-IX

(2)設(shè)3—2—，求數(shù)列間的前八項和乙

【答案】⑴…出⑵端「

【解析】

（1）判斷公比，不為1,運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比

q,進而得到所求通項公式；

（2）求得"2［一'（2），運用數(shù)列的錯位相減法求和,

以及等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.

解：（1）設(shè)公比4為正數(shù)的等比數(shù)列的前”項和為學,且弓=2,

可得。=1時，*=孫=6.，不成立；

_2（1-95）_7,7

當"】時，下丁=5,即,+"1=鼠

_13

解得好』（一亍舍去），

優(yōu)=包產(chǎn)=（2…愕1

=］+2口（.（￡）

l~2,

化簡可得

解答題

為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文

科生與理科生人數(shù)之比為14,且成績分布在［0.60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分

數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文"，按文理科用分層抽

樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖,

如圖所示.其中she構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

102<?3040506<>氤純R

（1）求ab.c的值；

（2）填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況

下認為“獲得優(yōu)秀作文”與"學生的文理科"有關(guān)？

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意

抽取2名學生，記"獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為X，求丫的分布列及

數(shù)學期望.

-朦比）,

附：（a+0）（，4d）m+c）@+d）,其中〃=q+b+c+d.

P體訓

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】(1)a=0005,b=001,c=002.(2)填表見解析；在犯錯

誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為"獲得優(yōu)秀作文”與“學生的

文理科"有關(guān)(3)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可

得解；

(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表，再用K

的計算公式運算即可；

w_1x-B'2

(3)獲獎的概率為40。-20,隨機變量「'20,!,再根據(jù)二項分布

即可求出其分布列與期望.

解：(1)由頻率分布直方圖可知，

10x(a+&+c)=1-10x(0018+00224-0025)=035,

因為6b.e構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以042。+4口=0035,解得

a=0005,

所以b=2o=001,c=4a-002.

故4=0005,b=001,c=002.

(2)獲獎的人數(shù)為0005x10x400=20人,

因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為14,所以400人中文科生的

數(shù)量為40°X§=80,理科生的數(shù)量為如0_go_320.

由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有20-6=14人,

不獲獎的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2“2列聯(lián)表如下：

文科生

理科生

合計

獲獎

6

14

20

不獲獎

74

306

380

合計

80

320

400

400x(6x506-14x74)J,

A-=----------------------------—?132<6635

20x380x80x320

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為"獲得優(yōu)秀作文”

與“學生的文理科〃有關(guān).

20_1

(3)由(2)可知，獲獎的概率為赤=方,

X的可能取值為0,1,2,

分布列如下：

X

0

1

2

P

361

400

19

200

1

400

…、3611911

蝌T*甘目用*E(X)=OAx+1x2x=一

數(shù)學期望為40020040010.

解答題

如圖，在四棱錐產(chǎn)78CQ中，底面.ISCQ為菱形，2」底面.1SCD,

/.BAD=60*AB=4-

（1）求證：8Q_L平面上4C7;

（2）若直線PC與平面,4CD所成的角為30’,求平面尸*3與平面尸CD

所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）7

【解析】

(1)由底面?業(yè)CD為菱形，^BDLAC,再由A4_L底面，"UD,可得

PA1BD,結(jié)合線面垂直的判定可得平面H4C1;

(2)以點H為坐標原點，以."所在直線及過點/且垂直于平面

PAD的直線分別為*二F軸建立空間直角坐標系,分別求出平面

力協(xié)與平面戶8的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面

P.43與平面產(chǎn)。)所成銳二面角的余弦值.

(1)證明：?底面.MCQ為菱形，BD1AC,

???尸＜1底面4ffs，月。u平面dffCD,.PA1BD

又ACcPA=A,，2/工U平面以C,

8DJ.平面P.4C;

(2)解：vAB=AD^^D=60',二“m為等邊三角形，

r.AC=_4D.sin6CT?2=4x正x2=4百

2.

PA1底面,"CQ,：.^PCA是直線尸。與平面,18675所成的角為30',

tan乙PCA=-==—

在中，由4C初3,解得月7.

如圖，以點X為坐標原點，以eX在所在直線及過點.4且垂直于平面

PAD的直線分別為x二卜軸

建立空間直角坐標系乂-邛。

則P(0O4),.4(000),8(2.2"。,D(4,0,0),0(6,2710).

二方=(0.Q,-4),而=(2,2出.一4),而=(44-4),麗=(6.25.一4).

設(shè)平面PAB與平面尸。。的一個法向量分別為a=(x」，G,”=(?%?；】).

［>itPA=-4==0

由［天PB=2x+2^3y-4-=0,取了=-1,得晟=(QT.O)；

fn-PC=6x1+2TA.ij-4二1=0

由匕-而=4丹-4二］=0,取(=-1,得［=(??L6).

--;?n］幣

cos<m.n>=-=s——=-----

|m|mi7.

平面產(chǎn)凡8與平面尸CQ所成銳二面角的余弦值為7.

解答題

已知橢圓'.十*@?、俚纳享旤c為8，圓CZ+.F=4與J軸的

3L.

正半軸交于點/,與C有且僅有兩個交點且都在C軸上，|Qd|2(。

為坐標原點).

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點'-1封，不過。點且斜率為一5的直線，與橢圓C交于

，以N兩點，證明：直線0時與直線AW的斜率互為相反數(shù).

X"丁

【答案】(1)T=1(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)條件可得4=2,進而得到6=將，即可得到橢圓方程；

11

?V——2丁+〃？

(

]F

(2)設(shè)直線MV的方程為I-?'"",聯(lián)立工+=為，分別表示出

直線D時和直線。.V斜率，相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.

解：(工)丫圓C:/+/=4與C有且僅有兩個交點且都在x軸上，所以

32

..II=班_bxL,v

又,1。山一7,一廠三，解得b=右，故橢圓c的方程為丁一H；

V=-X+冽

?2

1X2V2

（2）設(shè)直線MV的方程為尸聯(lián)立1丁+==1,整理可得

4x2-4"L*+47"：-12=0,

2:

則△=（-4W）-4X4（4OT-12）=48（4-W-）>0>解得一2<,?<2,

設(shè)點N（%J4）,

2

則Xj+x2=m,xyx2=w-3,

所以M3

xjl方］+1

+（rn-2）（七十工J+2m一33-w24-m2-2m+2加一3.

’C）區(qū)；）----7----c----:----=0

（Xj+l）（x2+l）

故直線D.M與直線QN的斜率互為相反數(shù).

解答題

已知函數(shù)"')=7二I.

(1)求函數(shù)/⑸的單調(diào)區(qū)間;

ln(x+1)

(2)若x>0,證明一T

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-00),9+8),無單調(diào)遞增區(qū)間(2)

證明見解析

【解析】

(1)求導，根據(jù)導數(shù)的正負判斷單調(diào)性，

ln(x+】)、”、ln(x+l)出(。-1+1)“、ln(.v4-l)

(2)整理^>"'),化簡為,令"㈤=—

求,心)的單調(diào)性，以及即證.

解：(1)函數(shù)八')一11定義域為(F、0)U(0.+8),

貝(1\e,令g(x)=e"(l-x)-1,(X*0),貝ljg(x)=re',

當x>0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x<0,g與D>0,g(x)單調(diào)遞增；

故g(x)<g(0)=0，XHO，

f(^')<0,x=0,

故函數(shù)/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8.0),(0.y)，無單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)證明一^>八戈)，即為一R，

rL儲T+l)

因為/-i-/-I--

ln(x+l)皿9-1+1)

即證一T—>『7,

如(x+1)——一ln(r+1)

令山)則34三一

X

X/、11X

令g(M77r皿⑺)，貝嚴止--77r-17TF,

當x>0時，gr(x)<0,所以g(x)在(0.+8)上單調(diào)遞減，

則g(x)<g(0)=0,XHO,

則/⑸<0在(0.M)上恒成立，

所以/i(x)在(0.+8)上單調(diào)遞減，

所以要證原不等式成立，只需證當x>0時，x</-1,

令力(x)=e'-丫-1,*>0,???(.r)=/-l,可知何<x)>0對于x>0恒成立,

g[Jm(x)>zn(O)=0,即

ln(x+l)ln(e'-l+l)

故心)<4/7),即證丁—>一―一,

故原不等式得證.

解答題

五二一1一3，

已知