2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章測試卷

2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章達(dá)標(biāo)檢測

(滿分:150分;時間:120分鐘)

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為()

A.-lB.1

C.2D.3

2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()

A.(2x)'=x?2"

B.(sinxcosx+1)-cos2x

C.dgx)N

D.(X")'=X-2

3.f(x)=x(2018+lnx),若f(xo)=2019,則xo等于()

A.e2B.lC.ln2D.e

4.函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=2x2-f(l)?x-3,則f(l)+f(l)=()

A.0B.1

C.-lD.不確定

5.已知函數(shù)f(x)=x2-2cosx,則f(0),f(1)的大小關(guān)系是()

A.f(0)<f(-0<f(|)

B.f(-0<f(0)<fQ)

cef(l)<?

Df(O)<f(|)<f㈢

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6.函數(shù)f(x)=2x2-ln|x|的圖象大致為()

7.已知函數(shù)f(x)=lnx+*直線y=-x+3與曲線y=f(x)相切，貝Ia=()

A.1B.2C.3D.4

8.設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x￡R),當(dāng)a>3時,不等式f(-k-sin0-l)^f(k2-sin20)

對任意的k￡［-l,O］恒成立，則。的可能取值是(易錯)

A/B.-D.-

3326

二'多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,全部選對的得5分，部分

選對的得3分，有選錯的得0分)

9.下列結(jié)論中正確的有()

A.若y=sin今則y-0

B.若f(x)=3x2-f⑴x,則f(l)=3

C.若y=-V^+x,貝！Jy--^=+l

D.若y=sinx+cosx,貝Uy'=cosx+sinx

10.定義在區(qū)間4］上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下

列結(jié)論正確的是()

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A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-go)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值

D.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值

1L若實數(shù)m的取值使函數(shù)f(x)在定義域上有兩個極值點，則稱函數(shù)f(x)

具有“凹凸趨向性”，已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，且f(x)="-21nx,當(dāng)

X

函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”時,m的取值范圍的子集有()

A(|,+8)B.(-|,O)

c(-8,q)D.(q,q)

12.已知定義在jo,])上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且f(0)=0,f(x)cos

x+f(x)sinx<0,則下列判斷正確的是(深度解析)

A?吩g）B.f（嗚）>0

三'填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答

案填在題中橫線上)

13.已知f(xo)=m,則lim曲半&

14.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe0時一，f(x)=2x3-3x2+a,則

f(-2)=;曲線y=f(x)在點(-2,f(-2))處的切線方程

為.(第一空2分,第二空3分)

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15.已知函數(shù)f(x)《x2_2ax-alnx(a￡R)在(1,2)上單調(diào)遞減，則a的取值范

圍是.

]+\Y\X,X>1,

X+11若存在X]#X2,使得f(Xi)+f(X2)=2,則

{hX<1,

X1+X2的取值范圍是.深度解析

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=^-.

ex

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,+8)上的值域.

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18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(a-b)x2-x-xlnx.

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與x軸平行，且f(l)=a,求a,b的

值；

(2)若a=l,f(x)20對任意x￡(0,+oo)恒成立，求b的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx-1.

⑴若x￡(0,兀)，求f(x)的極值；

(2)證明:當(dāng)x￡[0,兀]時,2sinx-xcosxNx.

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20.(本小題滿分12分)如圖，已知A、B兩個城鎮(zhèn)相距20千米，設(shè)M是

AB的中點，在AB的中垂線上有一高鐵站P,P、M的距離為10千米.

為方便居民出行,在線段PM上任取一點0(點O不與P、M重合)建設(shè)

交通樞紐，從高鐵站鋪設(shè)快速路到O處,再鋪設(shè)快速路分別到A、B兩

處.因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路PO造價為1.5百萬元/千米，快

速路OA造價為1百萬元/千米，快速路OB造價為2百萬元/千米.設(shè)

NOAM=0(rad),總造價為y(單位:百萬元).

(1)求y關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

(2)求總造價的最小值，并求出此時9的值.

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21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+1ax2+(a+l)x.

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)函數(shù)f(x)圖象上不重合的兩點A(X],f(Xi)),B(X2,f(X2))(Xi>X2).證

明:kAB>f(85%AB是直線AB的斜率).

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=^±(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求函數(shù)f(x)的零點X0,以及曲線y=f(x)在X=xo處的切線方程；

(2)設(shè)方程f(x)=m(m>0)有兩個實數(shù)根xi,X2,求證:|xi-X2|<2-m(l+

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答案全解全析

一'單項選擇題

1.B因為f(x)=x2,所以f(x)在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為

等詈=辭=1.故選B.

2.B對于A,(2x)=2xin2,A錯誤；

對于B,(sinxcosx+1)-(sinx)'cosx+sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,B

正確；

對于C,(lgx)'=薪C錯誤；

對于D,(x/y=-x-2,D錯誤.

故選B.

3.B由題得F(x)=lnx+2019,

.,.f(xo)=lnxo+2019=2019,

?Mnxo=O,解得xo=l.故選B.

4.C由f(x)=2x2-f⑴-x-3,

得f(x)=4x-f(l),

???F⑴=2,

f(x)=2x2-2x-3,

.?.f(l)=2-2-3=-3.

.?.f(l)+f(l)=-3+2=-l.

5.A易知f(x)=x2-2cosx為偶函數(shù)，

?土)=?

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Vf(x)=2x+2sinx,當(dāng)x￡(O,l)時,f(x)>O,，f(x)在(0,1)上為增函數(shù),

?"(。)<◎

.,.f(0)<f《)?故選A.

6.AVf(x)=2x2-ln|x|=f(-x),

???函數(shù)f(x)是偶函數(shù),

.\f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除B.

當(dāng)xf0時，f(x)f+00,故排除D.

2

當(dāng)x>0時，f(x)=2x-lnx,f(x)=4x—=3-D[2久+1),當(dāng)x=j時，f(x)取最小

值，且fQ)-1-ln》0,故排除C.

故選A.

7.B設(shè)切點為(x(),y()),由f(x)=lnx+*得改)=[*,又直線y=-x+3與曲

線y=f(x湘切，

---^=-1,①

所以<y=—x+3,②由②③得-xo+3=lnxo+—=>—=-xo+3-lnxo,代入

00XQx0

y=In%o+」,③

I0x0

①得2xo+lnxo-2=O.易得x0=l,代入①得a=2.

故選B.

8.D由f(x尸-x(x-a)2,得F(x)=-(3x-a)?(x-a),令F(x)=O,得x=]或x=a,當(dāng)

a>3時,+a,

所以f(x)在(-8,罪[a,+00)上單調(diào)遞減，在ga)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)a>3時導(dǎo)1,所以f(x)在(-001]上為減函數(shù)，

XkG[-l,O],sin所以-2W-k-sin9-1^1,-1^k2-sin29^1,

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由不等式f(-k-sin0-l)2f(k2-sin2。)對任意的k￡[-1,0]恒成立，得

sin20-sin9-1^k2+k=^/c+0-對任意的k￡[-1,0]恒成立，

所以si/O-sin9-1W」恒成立，

4

解得怖Wsinew|,即-#sin0W1,

結(jié)合選項知,。的可能取值是當(dāng).

6

故選D.

易錯警示利用單調(diào)性解決相關(guān)應(yīng)用問題時，要注意單調(diào)區(qū)間的判定,

當(dāng)自變量都在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能利用相應(yīng)的單調(diào)性，解題時防止

漏證導(dǎo)致解題錯誤.

二'多項選擇題

9.ABC選項A中，若y=sin]=^，貝ijy，=0,故A正確;選項B中，若

f(x)=3x2-f⑴?X,則f(x)=6x-f(l),令x=l,則f(l)=6-f⑴，解得f⑴=3,故

B正確;選項C中，若y=-?+x,則y三-壺+1,故C正確;選項D中港y=sin

x+cosx,則y-cosx-sinx,故D錯誤.故選ABC.

10.ABD由y=F(x)的圖象知，當(dāng)T<x<0時，f(x)<0;當(dāng)0<x<4時,f(x)>0,

因此f(x)在(q,0)上單調(diào)遞減，在(0,4)上單調(diào)遞增，故A、B正確.f(x)在

x=l附近單調(diào)遞增，在x=l處不取極大值，故C錯誤.由f(x)在(],0)上

單調(diào)遞減，在(0,4)上單調(diào)遞增，得f(x)在x=0處取得極小值，故D正確.

故選ABD.

11.BD依題意得f(x)="-21nx=m-2xlnx(x>0),

XX

若函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”，則m=2xlnx在(0,+oo)上有2個不同

的實數(shù)根，

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令g(x)=2xlnx,則g'(x)=2(l+lnx),

令g'(x)>0,解得x>2；令g，(x)<0,解得0<x<p

...g(x)在(0,》上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)的最小值是當(dāng)Xf0時,g(x)f0,故故選BD.

12.CD令g(x)=黑,x￡［0《)，

mHhYxF/XxKosx+fOQsinx

、。\cos2X

因為f(x)cosx+f(x)sinx<0,

所以g,(x)勿交。差髻陋<0在［o,5上恒成立，

因此函數(shù)g(x)=震在［嗚)上單調(diào)遞減，因此g(*g(*即里〉里,

64

即奄)>五*故A錯誤；

又f(0)=0,所以g(o尸黑=0,所以g(x)=祟W0在［oj)上恒成立，

因為嗚所以f(嗚)<0,故B錯誤；

又g(?g(9所以宴笑即G"?故c正確；

63

又g(?g(￡)，所以裝>裳，即f(沙戈吟)，故D正確?故選CD.

43

易錯警示本題通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.構(gòu)造函數(shù)

時，利用含導(dǎo)函數(shù)的不等式分析其運(yùn)算結(jié)構(gòu)，結(jié)合求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù).

平時要積累構(gòu)造函數(shù)的方法.

三'填空題

13.答案-3m

解析,:f(xo)=m,

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/?(Xo-3Ax)-f(&)

，原式=-3螞

-3Ax

=-3f(xo)=-3m.

14.答案-4;12x-y+20=0

解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)知,f(0)=a=0,，f(x)=2x3-3x2,

當(dāng)x<0時,-x>0,

f(-x)=-2x3-3x2,

又f(-x)=-f(x),

f(x)=2x3+3x2,f(x)=6x2+6x.

,\f(-2)=-4,f(-2)=12.

.?.f(x)在(-2,f(-2))處的切線方程為y+4=12(x+2),

即12x-y+20=0.

15.答案|,+°°^

解析因為函數(shù)f(x)=$2_2ax-alnx(a￡R)在(1,2)上單調(diào)遞減，

所以F(x)=x-2a-色支雪W0在(1,2)上恒成立，即a2上-在x￡(l,2)上

XX2x4-1

恒成立.

利用導(dǎo)數(shù)易知函數(shù)y=然在(1,2)上是增函數(shù)，

所以上<上_=±,故心土

2x+l2X2+155

16.答案［3-21n2,+oo)

解析因為X1WX2,所以不妨設(shè)X1<X2.當(dāng)xNl時,f(x)=l+lnx21,當(dāng)x<l

時，f(x)=21—l,根據(jù)f(Xi)+f(X2)=2可知X1<1<X2,所以f(xi)=當(dāng)匚，

f(X2)=l+lnX2,所以f(xi)+f(x2)=歿Ul+lnX2=2,故xi=l-21nX2,所以

Xl+X2=X2-21nX2+1,X2>1.記g(X2)=X2-21nX2+1(X2>1),則g'(X2)=紅N于是易

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得g(X2)在(1⑵上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以

g(X2)1g(2)=3-21n2,又當(dāng)x?f+oo時,g(X2)f+<?,所以g(X2)的值域是

［3-21n2,+oo).

所以X1+X2的取值范圍是［3-21n2,+oo).

解題模板分段函數(shù)問題要明確自變量的取值范圍，選擇函數(shù)解析式,

找到XI、X2的關(guān)系.進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的值域，從而得到

取值范圍.

四、解答題

17.解析⑴由題意得，f(x)=%2(2分)

令f(x)>0,得0<x<2,

令f(x)<0,得x>2或x<0,(4分)

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,0),(2,+8).(5

分)

,迎

(2)易知f(0)=0,f(2)=21

4，

f⑵《工)-4m_16-e2V^〉16-2e2_8-e2_(2?+e)(2&-e)

因為>0,(8分)

4e22e2

lVVeV34V3f(2)>f(J

1f(2)吟4。<>i

244’94

y2

又當(dāng)x>0時，f(x)=—>0,

ex

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間［6,+8)上的值域為［o,卦(10分)

18.解析(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,得f(x)=2(a-b)x-lnx-2,(2分)

山爐⑴=2(a-b)-2=0,

得｛、&(4分)

⑵因為a=l,

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所以f(x)=(l-b)x2-x-xlnx.(5分)

f(x)20對任意x￡(0,+oo)恒成立等價于bWl一多對任意x￡(0,+8)恒

成立,(6分)

令g(x)=l--竽則g'(x)=W(8分)

當(dāng)xe(O,l)0^,g'(x)<O,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(9分)

當(dāng)x￡(l,+oo)時,g'(x)>0,

所以g(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增,(10分)

所以g(X)min=g(l)=0,

所以b￡(-oo,0].(12分)

19.解析(l)：f(x)=cosx+xsinx-1,

f(x)=xcosx,(2分)

當(dāng)x￡(0j)時,f(x)>0;

當(dāng)時,f(x)<0,

當(dāng)X發(fā)生變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：

1xM)與I&)J

f(x)+0-

f(x)/極大值\

因此，當(dāng)X乎寸，f(x)有極大值,并且極大值為f(x)極大值=噌)除1,沒有極

小值.(6分)

(2)證明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,

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貝！Jg'（x）=cosx+xsinx-l=f（x）,

由⑴知f（x）在（0弓）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（8分）

又f（0）=0,噌）言1>0,f（兀）=-2<0,

所以f（x）在（0,兀）上存在唯一零點，設(shè)為xo.則g'（xo>f（xo）=O,（9分）

當(dāng)x￡（O,xo）時,g'（x）>0;當(dāng)x￡（xo㈤時,g，（x）<0,

所以g（x）在區(qū)間（O,xo）上單調(diào)遞增,在區(qū)間（xo用上單調(diào)遞減，

又g（0）=0,g（7T）=0,所以當(dāng)X￡[0,用時,g（x）20,（11分）

故2sinx-xcosx2x.（12分）

20.解析（1）：NOAM=0,PM_LAB,M為AB的中點,

1o

OA=OB=-^-,OM=1Otan9,OP=10-10tan。,（2分）

COS0

10xl+—x2+（10-1Otan9）xl.5=-^--15tan9+15

??y=------Z

cos0COS0COS0

=15（熹-tan6）+15（0<0<胃（5分）

⑵設(shè)f（0>—7-tan9

COS（7

2-sin0

cos?

-cos20+sin0（2-sin0）

則f（。）=

COS20

分）

cos20

令f（。）=0,得sin0=1,

又弓.（8分）

4o

當(dāng)0<e<!時,sinf（9）<0,f（。）單調(diào)遞減;（9分）

62

當(dāng)時,sin0>|,f（e）>0,f（。）單調(diào)遞增.（10分）

的最小值為《]=百,此時總造價最小.（11分）

.,.當(dāng)0弓時，總造價最小，最小值為（158+15）百萬元.（12分）

6

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21.解析(1)由題意得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+oo),

且f(x)，+ax+(a+l)=a/+S+i)x+i=g+i"+D(2分)

XXX

①當(dāng)a20時一，F(xiàn)(x)W+ax+(a+l)>0,此時f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.(3分)

②當(dāng)a<0時，令F(x)=O,得x=」或x=-l(舍)—>0,

aa

由f(x)>0得0<x<3,由f(x)<0得x>--,

aa

所以f(x)在(0,—J上單調(diào)遞增，在(4,+8)上單調(diào)遞減.(4分)

綜上，當(dāng)a20時，函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)在

上單調(diào)遞增，在([,+8)上單調(diào)遞減.(5分)

(2)證明:由題意得f(xi)=lnxi+1a%i+(a+l)xi,f(X2)=lnxz+|a%目+(a+l)X2,

所以kAB="-2)

_ln好+(a+l)%i“nx2+|ax^+(a4-l)x2]

Xi-%2

」n巧皿外+史5l+(a+[),(7分)

X^~%22

又f笆曰=^^+抬丁2)+伯+]),(8分)

所以要證kAB>f(詈)成立，

只需證In*】“nX2〉'一成立

Xr-X2%1+X2

即證In當(dāng)工也=學(xué)^成立.(9分)

%2%1+%2比+1

令包=t(t>l),即證當(dāng)t￡(l,+oo)時,Int〉軍工成立.(10分)

%2亡+1

設(shè)g(t)=In

則非嚀品=需

所以函數(shù)g(。在(1,+00)上是單調(diào)遞增函數(shù),(11分)

所以V-),都有g(shù)(t)>g⑴=0,

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即Vt￡(l,