海南大學(xué)《大學(xué)物理》第4章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動海南大學(xué)HaiNanUniversityr SMaOx2x112(2)+(3)得由（4）得由（5）（7）得利用l=r＋x1＋x2，并取x2－x1=S海南大學(xué)HaiNanUniversity考察推門運(yùn)動思考與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的區(qū)別門的受力和質(zhì)點(diǎn)的受力引起運(yùn)動的區(qū)別思考用牛頓第二定律可否研究門的運(yùn)動問題的提出怎樣研究門的運(yùn)動5.1剛體轉(zhuǎn)動的描述1.剛體模型無論在多大的外力下，形狀和體積均保持保持不變的理想物體稱為剛體。剛體可看成是無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系在剛體內(nèi)部任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)保持不變。理想化模型

海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體的運(yùn)動在一般情況下，剛體的運(yùn)動是相當(dāng)復(fù)雜的，可以分解為兩種最基本的運(yùn)動，即：剛體的平動剛體的轉(zhuǎn)動海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體的平動如果剛體內(nèi)任意一條直線在剛體中始終保持它的取向不變，則這種運(yùn)動稱為平動。

剛體平動如升降機(jī)的運(yùn)動，汽缸中活塞的運(yùn)動。剛體作平動時，剛體上所有的點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)完全相同，所以剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動就可代表整個剛體的運(yùn)動，剛體相當(dāng)于一個質(zhì)點(diǎn)。海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體的轉(zhuǎn)動如果剛體上的各個質(zhì)點(diǎn)在剛體運(yùn)動中都繞同一直線作圓周運(yùn)動，則這種運(yùn)動稱為轉(zhuǎn)動，該直線稱為轉(zhuǎn)軸。剛體運(yùn)動的分類平動

剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。rrva定軸轉(zhuǎn)動

剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動

剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動

剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個球面上運(yùn)動。一般運(yùn)動

復(fù)雜的運(yùn)動與平動的混合。海南大學(xué)HaiNanUniversity本課程主要定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸1.角位置q參考方向X剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度w剛體轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrppp剛體中任一點(diǎn)pwtdqwdw0w常量靜止勻角速()tww變角速海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述為了充分反映剛體轉(zhuǎn)動的情況，用矢量表示或時，其方向與剛體轉(zhuǎn)動的方向之間的關(guān)系，滿足右手螺旋定則，既右手四指沿轉(zhuǎn)動方向圍繞轉(zhuǎn)軸彎曲，拇指指向角速度的方向。海南大學(xué)HaiNanUniversity,wdq轉(zhuǎn)動方向角加速度線速度切線加速度法向加速度海南大學(xué)HaiNanUniversity角速度矢量角加速度矢量在定軸轉(zhuǎn)動的情況下，角速度矢量和角加速度矢量都只有沿固定轉(zhuǎn)軸的分量，此時可用代數(shù)量來表示角速度和角加速度。設(shè)定轉(zhuǎn)軸的取向，規(guī)定轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)軸取向成右手螺旋關(guān)系時兩者為正量，反之為負(fù)量。海南大學(xué)HaiNanUniversity解：已知角位置，求角速度和角加速度，用導(dǎo)數(shù)：飛輪作變加速轉(zhuǎn)動例：一飛輪在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。海南大學(xué)HaiNanUniversity公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqaaddtvddt勻速直線運(yùn)動ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運(yùn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21a2t2vv022asw2w022aqvv0+atww0+at海南大學(xué)HaiNanUniversity5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律

(質(zhì)點(diǎn)系角動量定理微分形式的簡化)

質(zhì)點(diǎn)系角動量定理微分形式：1.化簡過程定軸轉(zhuǎn)動^^所以，可直接寫分量式海南大學(xué)HaiNanUniversity=?因?yàn)楦髻|(zhì)元角動量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加任一質(zhì)量元的角動量大小為因?yàn)樗院Ｄ洗髮W(xué)HaiNanUniversity定義剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)一步化簡則剛體對定軸的角動量或?qū)憺楹Ｄ洗髮W(xué)HaiNanUniversity2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律在轉(zhuǎn)動問題中的地位相當(dāng)于平動時的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。海南大學(xué)HaiNanUniversity由力矩的定義考慮到力矩的方向，上式可寫成矢量式dzOPO海南大學(xué)HaiNanUniversity力矩的單位：Nm，不能寫成J如果外力不在垂直與轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，可以把它分解為兩個分力，一個分力與轉(zhuǎn)軸平行，它不使剛體轉(zhuǎn)動，另一個分力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，使剛體轉(zhuǎn)動。海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity合力矩力矩M

=

r

×

F111M

=

r

F

sinj111大小r1=1Ftd1=1F2M切向1Ft1Mj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向力矩合力矩對剛體上第i個質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)用牛頓第二定律海南大學(xué)HaiNanUniversity對定軸dzOP稱為剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律海南大學(xué)HaiNanUniversityM=J將剛體轉(zhuǎn)動定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動定律F=am對比轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度JJ∑rmiriri2

與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求Jr

為體積元

dV

處的密度rVdVrmdJr2m2海南大學(xué)HaiNanUniversity5.3轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12m轉(zhuǎn)軸Or1r2若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則Jrmiriri2∑m1r12+2mr22轉(zhuǎn)軸O2mm1601l2lJrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J

的單位：千克·米2

（kg·m2)量綱：ML2

海南大學(xué)HaiNanUniversityx例.求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對通過一端垂直于桿的轉(zhuǎn)動慣量。解:建立如圖ox坐標(biāo)OLxdx在離坐標(biāo)原點(diǎn)為x的桿上選一長度元dx該長度元的質(zhì)量海南大學(xué)HaiNanUniversity例：求半徑為R、質(zhì)量為m的薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。薄圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dmOmR解：環(huán)上任取一質(zhì)量元dm該質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為R海南大學(xué)HaiNanUniversity例.求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),lORrdr可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。海南大學(xué)HaiNanUniversity例：求質(zhì)量m,半徑R

的球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：取離軸線距離相等的點(diǎn)的集合為積分元海南大學(xué)HaiNanUniversity例.求質(zhì)量m,半徑R的球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：以距中心r，厚dr的球殼為積分元Ro海南大學(xué)HaiNanUniversity1)對稱的簡單的查表2)平行軸定理parallelaxistheorem在一系列的平行軸中，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量最小海南大學(xué)HaiNanUniversityJ和轉(zhuǎn)軸有關(guān)

同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的o′oml13J=o′oml1122J=o′omr122J=o′omr142J=平行軸海南大學(xué)HaiNanUniversity

影響轉(zhuǎn)動慣量的因素質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布影響轉(zhuǎn)動慣量的要素：計(jì)算公式(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算例題：

剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算關(guān)鍵在于積分元——質(zhì)量元dm的選取海南大學(xué)HaiNanUniversity哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？海南大學(xué)HaiNanUniversity課堂練習(xí)A：如圖質(zhì)點(diǎn)系，則該質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量——————。答案：課堂練習(xí)B：右圖剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的zz/軸的轉(zhuǎn)動慣量—————————————。答案：海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity5.4轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用與牛頓第二定律的應(yīng)用類似

例已知:定滑輪解:受力圖輕繩不伸長，無相對滑動求：1）物體加速度a2）繩子的張力T3)滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度>設(shè)海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity得解海南大學(xué)HaiNanUniversity練習(xí);如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動．假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為R，其轉(zhuǎn)動慣量為，滑輪軸光滑．試求該物體由靜止開始下落的過程中，滑輪的角加速度與物體的加速度．例：一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（閘瓦與飛輪間的滑動摩擦系數(shù)為0.46）F0解：飛輪制動時有角加速度海南大學(xué)HaiNanUniversity又外力矩是摩擦阻力矩：0Nfr由定軸轉(zhuǎn)動定律：海南大學(xué)HaiNanUniversity練習(xí)：質(zhì)量為m1的圓輪，可繞水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為m2的圓盤形狀的定滑輪懸有m的物體。求當(dāng)重物由靜止開始下降了h=0.5m時，⑴物體的速度；⑵繩中的張力。（設(shè)繩與定滑輪間無相對滑動）海南大學(xué)HaiNanUniversity解：各物體的受力情況如圖所示

對m列牛頓方程海南大學(xué)HaiNanUniversity對m1、m2列轉(zhuǎn)動定律方程對物體m列運(yùn)動學(xué)方程：繩與定滑輪間無相對滑動，有關(guān)聯(lián)方程：海南大學(xué)HaiNanUniversity解得：海南大學(xué)HaiNanUniversity課堂練習(xí)：一根長為

l、質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸

O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置求：（1）剛釋放時木棒的角加速度；（2）木棒轉(zhuǎn)到任意位置時木棒的角加速度。解：重力對整個棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩OlmCxdm木棒下擺時只有重力產(chǎn)生力矩海南大學(xué)HaiNanUniversityOlmCxdm可見，木棒在下擺過程中角加速度越來越小，但角速度越來越大。海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity

練習(xí)題：半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，可放在粗糙的水平轉(zhuǎn)盤上隨其轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)盤和圓盤間的滑動摩擦系數(shù)為μ，轉(zhuǎn)盤一直以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，求圓盤剛放上去時受到的摩擦力矩多大？圓盤達(dá)到角速度ω需要多長時間？設(shè)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為5.4剛體的角動量定理和角動量守恒一、剛體對定軸的角動量定理和角動量守恒常量時稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律。雖然剛體的角動量不變，但其轉(zhuǎn)動慣量和角速度均可以變化。海南大學(xué)HaiNanUniversity角動量守恒定律上式也可以用于剛體組，即：常量地球繞太陽的運(yùn)轉(zhuǎn)、花樣滑冰運(yùn)動員、跳水運(yùn)動員身體的旋轉(zhuǎn)或翻滾都滿足角動量守恒定律。海南大學(xué)HaiNanUniversity(一)茹可夫斯基凳花樣滑冰跳水(二)自行車轉(zhuǎn)盤mmω角動量例陀螺海南大學(xué)HaiNanUniversity應(yīng)用事例：定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律直升飛機(jī)海南大學(xué)HaiNanUniversity阿帕奇ＡＨ－６４海南大學(xué)HaiNanUniversity卡-50海南大學(xué)HaiNanUniversity卡-52海南大學(xué)HaiNanUniversity5.5轉(zhuǎn)動中的功與能力矩的功海南大學(xué)HaiNanUniversity稱為剛體轉(zhuǎn)動的動能即合外力矩對定軸剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定律。海南大學(xué)HaiNanUniversity剛體可以看作是由無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)組成的，所有的質(zhì)點(diǎn)都以相同的角速度ω繞同一軸轉(zhuǎn)動。對第i個質(zhì)點(diǎn)，線速度vi=ri

ω具有動能海南大學(xué)HaiNanUniversity整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：質(zhì)點(diǎn)的動能公式海南大學(xué)HaiNanUniversityJ是一個與m對應(yīng)的物理量，表示了剛體轉(zhuǎn)動時慣性的大小，即為剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。海南大學(xué)HaiNanUniversity

例：一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞著細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgTMm解：隔離m、M對質(zhì)點(diǎn)m應(yīng)用動能定理對剛體M應(yīng)用動能定理海南大學(xué)HaiNanUniversity解得：mgTMm海南大學(xué)HaiNanUniversity例：恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑R0約為2107m，坍縮成半徑R僅為6103m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity解在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因此恒星的角動量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動量J00和J應(yīng)相等。因代入J00=J中，整理后得

由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波、光或X射線。當(dāng)這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測到的脈沖星超過300個。定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律海南大學(xué)HaiNanUniversity

錢德拉塞卡（印度人，叔父是諾貝爾獎得主拉曼）

認(rèn)為并非所有的恒星在它的晚期都會塌縮成白矮星，只有那些質(zhì)量不超過太陽質(zhì)量1.44倍的恒星才會演變成白矮星。太陽質(zhì)量的1.44倍，成為天體物理中著名的有關(guān)白矮星質(zhì)量的錢德拉塞卡極限

海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity1935年1月11日，在英國皇家天文學(xué)會議上，當(dāng)錢德拉塞卡宣讀論文后，天文學(xué)權(quán)威愛丁頓上臺發(fā)言“我相信，一定有一條自然法則能阻止恒星按錢德拉塞卡的荒謬方法演化?！睈鄱☆D把錢德拉塞卡的論文撕成兩半。

錢德拉塞卡聽了愛丁頓的講話后，狼狽不堪，似乎末日已經(jīng)來臨，他反復(fù)說著一句話：“世界就是這樣結(jié)束的，不是伴著一聲巨響，而是伴著一聲嗚咽?！焙Ｄ洗髮W(xué)HaiNanUniversity

因遭到愛丁頓的極力否定，“錢德拉塞卡極限”（白矮星的恒星質(zhì)量上限）被認(rèn)為是錯誤的而遭摒棄，直到多年后才得到公認(rèn)。

后來。錢德拉塞卡遇見泡利，就說：我的理論違背泡利不相容原理。泡利回答：你理論沒有違背泡利不相容原理，而是違背了愛丁頓不相容原理。海南大學(xué)HaiNanUniversity

錢德拉畢生從事科學(xué)研究，期間遭遇種族歧視、譏笑嘲諷等種種困難，但這些都沒有令他放棄，他的堅(jiān)持令人動容，他是一位隱秘而才華橫溢的科學(xué)家。1983年由于“對黑體的結(jié)構(gòu)及其演變過程的理論研究”而獲得諾貝爾物理學(xué)獎。例：一長為l

、質(zhì)量為m

的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動。當(dāng)桿靜止時，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a

處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個階段進(jìn)行考慮(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。這一過程角動量守恒。海南大學(xué)HaiNanUniversity海南大學(xué)HaiNanUniversity其中子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動量分別為由角動量守恒，得：(1)2)子彈隨桿一起繞軸O

轉(zhuǎn)動。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時子彈的位置為重力勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：勢能零點(diǎn)海南大學(xué)HaiNanUniversity由機(jī)械能守恒，E=E0,代入θ=300，得：將上式與

聯(lián)立，并代入J

值，得定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律海南大學(xué)HaiNanUniversity

練習(xí)：一勻質(zhì)細(xì)棒長為l

，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律海南大學(xué)HaiNanUniversityCO解：分為三個階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落，機(jī)械能守恒。海南大學(xué)HaiNanUniversityCO（1）把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能零點(diǎn)

第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略，系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，系統(tǒng)對O軸的角動量守恒。（2）