天津大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件-第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第二節(jié)方差第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣2知道了隨機(jī)變量X的概率分布，也就知道了X的全部概率特征.X的全部概率分布一般是較難確定的.為何研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征？然而，在實(shí)際問題中：在很多實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道X的所有概率性質(zhì)，而只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.3與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)字特征，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征.在這些數(shù)字特征中，最常用的是：1.隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望2.隨機(jī)變量的取值的分散程度——方差3.描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量最常用的幾個(gè)數(shù)字特征4§4.1

數(shù)學(xué)期望要點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計(jì)算三類計(jì)算：X(離散型、連續(xù)型)，計(jì)算E(X)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望Y=g(X)，計(jì)算E(Y)=E[g(X)]二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望Z=g(X,Y)，計(jì)算E(Z)=E[g(X,Y)]一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望——離散型5

6解：即平均一臺(tái)家用電器收費(fèi)2732.15元.因此Y的分布律為：

7

幾種常見的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望8

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望——連續(xù)型

9

幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望10

串聯(lián)時(shí)系統(tǒng)壽命其分布函數(shù)為

二、隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望11數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望

12

注：此定理可以推廣到二個(gè)或二個(gè)以上隨機(jī)變量的情形.

13

14

三、二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望

15

二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布的數(shù)學(xué)期望

例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為16

解：可用公式法求.下面我們用另一種方法，利用分布律表求.

(X,Y)的取值及對應(yīng)的概率如下表:

Y 12 10.4 0.220.30.1X例5設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布(如圖)，求X、Y及XY的數(shù)學(xué)期望.解：由題意知(X,Y)的密度函數(shù)為17

O12xyG

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)注：1.性質(zhì)3和4可推廣到有限個(gè)的情況.2.對于性質(zhì)4，反之不成立.18解：設(shè)

19

注：這種引進(jìn)新的隨機(jī)變量，將原隨機(jī)變量分解成有限個(gè)隨機(jī)變量之和，再求數(shù)字特征的方法，稱為隨機(jī)變量分解法.

20

21數(shù)學(xué)期望的總結(jié)

22離散型連續(xù)型數(shù)學(xué)期望公式23§4.2方差要點(diǎn)：方差的定義、性質(zhì)和計(jì)算1.概念的引入方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量.

一、方差的定義和計(jì)算24問:那一批燈泡好?答:第一批燈泡更好.

2.方差的定義

25

4.隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法一：利用定義計(jì)算26

方法二：利用公式計(jì)算

例1

設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，其命中環(huán)數(shù)分別用X、Y表示，分布律分別為

解：故從平均水平看，甲、乙的技術(shù)水平不相上下.

故從穩(wěn)定性來看，射手乙的技術(shù)水平略高于射手甲.甲平均命中環(huán)數(shù):試評定甲、乙的技術(shù)水平．乙平均命中環(huán)數(shù):

27

28

29常見分布的方差

泊松分布均勻分布指數(shù)分布(假設(shè)下列方差均存在)

二、方差的性質(zhì)

30

解:對于二項(xiàng)分布,前面我們已用隨機(jī)變量分解法求出了其數(shù)學(xué)期望,現(xiàn)在我們再用這種方法來求其方差.31

則

稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量32

33

幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差(課本P228)二項(xiàng)分布

X~B(n,p)

分布分布律/概率密度數(shù)學(xué)期望E(X)

方差D(X)均勻分布X~U(a,b)

np

np(1?p)

34

35§4.3協(xié)方差相關(guān)系數(shù)要點(diǎn)：協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義、性質(zhì)和計(jì)算相關(guān)性與獨(dú)立性

問題的提出36一、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)用一個(gè)怎樣的數(shù)字特征去反映X與Y之間的相互聯(lián)系?37協(xié)方差注：協(xié)方差反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系.若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，那么若隨機(jī)變量X和Y不相互獨(dú)立，

協(xié)方差的定義38

協(xié)方差的計(jì)算

方法一：利用定義計(jì)算39

方法二：利用公式計(jì)算

解：40

協(xié)方差的性質(zhì)

41

性質(zhì)(4)和(5)可進(jìn)一步推廣為：

相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)42

性質(zhì)

更具體地，有：

相關(guān)系數(shù)的意義43

(1)相關(guān)性只是就線性關(guān)系而言；若相關(guān)系數(shù)為0，只是說明不具有線性關(guān)系，但可能會(huì)有其它關(guān)系，因而它們不一定相互獨(dú)立.

注：

試分析隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)性和獨(dú)立性.44X?101?11/125/12012/123/121/12Y

解：

所以X與Y不相互獨(dú)立.

解：45

不相關(guān)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系相互獨(dú)立不相關(guān)46

不相關(guān)與獨(dú)立證：

47

X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān).48

解：49

解：由題意知故X與Y不相關(guān).50

又因?yàn)?/p>

則X與Y不相互獨(dú)立.綜上：X與Y不相關(guān)，也不相互獨(dú)立.51

§4.4矩、協(xié)方差矩陣為X的k階原點(diǎn)矩(