2023屆高考數(shù)學專項復習數(shù)列壓軸小題含答案

2023屆高考數(shù)學專項復習數(shù)列專題壓軸小題

一、單選題

1.（2022,全國?模擬預測（理））數(shù)列｛即｝滿足口尸加即+]=3%—W—1,則下列說法錯誤的是（）

A.若QW1且aW2,數(shù)列｛%｝單調遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)71,使得廝+1=。”則。=1

C.當。>2或QV1時，｛Q〃｝的最小值不存在

11

D.當&=3時,：7^+；7~7+……+--Ve（-y.il

-2a，2—2an—2\2」

2.（2022?浙江?杭州高級中學模擬預測）已知數(shù)列｛a“｝中，的=1,若a“=—^匕」包>2,n6AT）,則下列結

72十Qn-]

論中錯誤的是（）

A.a.|—B.-----------L4《C.an-ln（zi+1）<1D.---------L4《

25a?+ia?2a2nan2

3.（2022?浙江?高三開學考試）已知數(shù)列｛%｝滿足遞推關系e?！薄猯=a“e?！薄埃覟?gt;0,若存在等比數(shù)列｛bU｝滿

足bn+i<bn，則｛b“｝公比q為（）

A.《B.-C.-5-D.--

2e37t

4.（2022?浙江?模擬預測）已知數(shù)列｛a,J滿足ax=2,an+1—1=ln（an+b）—b（nCN*）.若｛a?｝有無窮多個

項，則（）

A.6>0B.6>—1C.6>1D.6>—2

5.（2022?全國?高三專題練習）已知等差數(shù)列｛%｝（公差不為零）和等差數(shù)列｛b.｝的前n項和分別為S”，累,如

果關于工的實系數(shù)方程2021——S202漢+T2O21=0有實數(shù)解，那么以下2021個方程/一a聲+&=

0（i=1,2,3,…,2021）中，無實數(shù)解的方程最多有（）

A.1008個B.1009個C.1010個D.1011個

6.（2022?全國?高三專題練習）己知數(shù)列｛%｝滿足：的=2,an+i=J（G；+2a“）（neN.）.記數(shù)列｛斯｝的前

n項和為$”,則（）

A.12<S10<14B.14<S10<16C.16<S1O<18D.18<S10<20

7.（2022?浙江.慈溪中學模擬預測）已知數(shù)列｛冊｝滿足：見=一|■，且*=ln（a“+1）—sina“，則下列關于數(shù)

列｛%｝的敘述正確的是（）

A、D]—>]c、a；c72

A.€bii>。門+1''''OnQn+l>~~12Qn^2n-1

8.（2022?浙江省江山中學高三期中）已知數(shù)列｛a”｝滿足a1=3,a“+產(chǎn)a”+2-1,記數(shù)列｛1%一21｝的前九

冊

項和為S”,設集合”=｛卷,II，需,需｝,'=乜6"卜>5“對MN*恒成立｝，則集合N的元素個數(shù)

是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2022?浙江省嘉善中學高三階段練習）已知數(shù)列｛冊｝滿足a?=1,an=a2+

志）包€N*,n>2),S”為數(shù)列仕｝的前九項和，則)

A.孑VS2022VB.2VS2022V,c.*VS022V2

2D.l<S2022<-y

10.（策）22?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛a“｝、也,｝、｛c“｝滿足<11=8=5=1,cn=an+1-an,cn+2=-

c”（?iCN*）,S“=5+4H—+5（n>2）,Tn——H---JpH—H-----—（n>3）,則下列有可能成

o20.3bna3-30一4a?-n

立的是（）

A.若｛%｝為等比數(shù)列，則星。22>如22B.若｛cn｝為遞增的等差數(shù)列，則S2儂（囚儂

C.若｛aj為等比數(shù)列，則星022V如22D.若｛cn｝為遞增的等差數(shù)列，則&儂〉心透

11.（2022?浙江?模擬演知已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛冊｝滿足&=1,可：=一一—（nGN*）,則數(shù)列｛冊｝

%+1

（）

A.無最小項，無最大項B.無最小項，有最大項

C.有最小項，無最大項D.有最小項，有最大項

12.（2022?淅江浙江?二模）已知｛斯｝為非常數(shù)數(shù)列且a“#0,m=〃，a“+i=a”+sin（2a?）+

4（〃"6R,九€N，）,下列命題正確的是（）

A.對任意的心數(shù)列｛a“｝為單調遞增數(shù)列

B.對任意的正數(shù)m,存在/I,fl,"。（為6N*）,當n>n（）時，|a“一1|<￡

C.存在4,使得數(shù)列｛即｝的周期為2

D.存在4,〃,使得|a”+an+2—2a?+l|>2

13.（2022?浙江溫州?二<）對于數(shù)列｛工“｝,若存在正數(shù)使得對一切正整數(shù)門,恒有|g|MM,則稱數(shù)列｛4｝

有界；若這樣的正數(shù)河不存在，則稱數(shù)列｛0｝無界，已知數(shù)列｛%｝滿足：ai=1,an+i=

lnUan+l）G>0）,記數(shù)列｛%｝的前n項和為S”,數(shù)列｛成｝的前n項和為累,則下列結論正確的是（）

A.當4=1時，數(shù)列｛SJ有界B.當4=1時，數(shù)列｛間有界

C.當4=2時，數(shù)列｛&｝有界D.當4=2時，數(shù)列｛累｝有界

14.（2022?北京市育英學校寄三開學考試）［句為不超過7的最大整數(shù)，設a”為函數(shù)/（0）=［研句］,工6［0,力

的值域中所有元素的個數(shù).若數(shù)列的前n項和為則$2022=（）

A1012pXr2021口1011

1013y40401012

15.（2022?淅江浙江?高三階段球習）已知數(shù)列｛內,｝滿足a1=1,且T=aa……若T,n￡N*,

fx2n+1Q：+1

貝N)

A.a-50ec.Qiu€D.awE(y,y)

島吉）B-as?G信擊)（14）

16.（2022?淅江?商三明尊練習）已知數(shù)列｛aj滿足a尸/斯=1+lnan+1（neN*）,記7；表示數(shù)列｛冊｝的前

ri項乘積.則（）

A.￡6（需，奈）B.乳€（轟擊）C.曲（圭，表）D.*島，吉）

17.（2022?浙江?湖州中學高三階段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛冊｝滿足ai=l,a“=e-

cosan+1（nGN*）,其前n項和為S,“則下列關于數(shù)列｛%｝的敘述錯誤的是（）

A.a?>a?+l（nGN,）B.an<a?+1+a%（n￡N,）

C.%W3&eN*）D.Sn<2V^（n€N,）

7n

18.（2022?浙江草海中學方三期求）己知無窮項實數(shù)列｛a,J滿足：a產(chǎn)t,且‘一=」----二，則（）

%+1%an~

A.存在1>1,使得。2011=QiB.存在tVO,使得Q2021=a]

C.若O22i=a”則a.2=aiD.至少有2021個不同的￡,使得（^如二四

19.（2022?淅江杭州?高三期末）若數(shù)歹U｛aj滿足an<an+1，則下列說法錯誤的是（）

A.存在數(shù)列｛%｝使得對任意正整數(shù)p,g都滿足（^=（1'+4

B.存在數(shù)列｛時｝使得對任意正整數(shù)p,q都滿足口小二然^+勺每

C.存在數(shù)列｛%｝使得對任意正整數(shù)p,g都滿足ap+qnpaq+q%

D.存在數(shù)列｛時｝使得對任意正整數(shù)p,q部滿足為+[=%&

20.（2022?全國?高三專題練習）已知｛a?｝是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，且a1=3,<27=8,對VkeN",a"產(chǎn)出+

1與3+1=/念+2有且僅有一個成立，則cii+a2H----Fa7的最小值為（）

A.18B.20C.21D.22

21.（2022?浙江通亮高級中學模擬預瀏）已知數(shù)列｛aJmCN，，叫產(chǎn)晨一2冊+神仙6R,下列說法正確的

是（）

A.對任意的me（0,1）,存在5e[1,2],使數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列；

B.對任意的m€（?，5）,存在ai6[1,2],使數(shù)列｛%｝不單調；

C.對任意的me（0,1）,存在內€[1,2],使數(shù)列｛%｝具有周期性；

D.對任意的me（0,1）,當加6[1,2]時，存在a”>3.

22.（2022?全國牌三專題練習）已知｛%｝是等差數(shù)列，bn=sin（%）,存在正整數(shù)濃48）,使得鼠+‘=鼠,"€

N*.若集合S=｛±卜=晨，nGN）中只含有4個元素，則t的可能取值有（）個

A.2B.3C.4D.5

23.（2022?上海民辦南模中學南三階段練習）己知數(shù)列｛冊｝滿足:當a“W0時，與二1;當“=0時，an+1

/Q八

=0;對于任意實數(shù)%,則集合｛n|a“40,n=l,2,3,…｝的元素個數(shù)為（）

A.0個B.有限個

C.無數(shù)個D.不能確定，與處的取值有關

24.（2022?全國病三專題練習）已知數(shù)列｛“｝滿足時+產(chǎn)聾，滿足a,G

（0,1），Q]+?+…+。2021=2020，則

下列成立的是（）

A.Inlna02i>

。]?22020B.Inai,lna202i=2020

C.ln，2O2iV2cD.以上均有可能

25.（2022?全國?商三專題練習）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足a產(chǎn)a（a>2）,”+a.=-1-+kan（n

Qn

eN*）,給出下列三個結論:①若fc=l,則數(shù)列｛an｝僅有有限項;②若fc=2,則數(shù)列｛a,J單調遞增;③若k

=2,則對任意的河>0,睹存在％CN,,使得過>M成立.則上述結論中正確的為（）

A.B.②③C.①③D.①②③

二、多選題

26.（2022?全國?清華附中朝拒學校模擬演測）數(shù)列｛冊｝滿足a尸a,冊+1=3斯—臂一1,則下列說法正確的是

（）

A.若aW1且aW2,數(shù)列｛%｝單調遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)n■，使得冊+1=冊,則a=1

C.當a>2或aVl時，｛%｝的最小值不存在

D.當a=3時'〃］）+9+...+96

Q,\—2。2—2CLn—2'2」

27.（2022.福意盾福州第一中學商三開學考試）已知數(shù)列｛%｝滿足0V5<1,冊+1=anln（2-a?+l）（nGN*）,

S”為數(shù)列｛2｝的前n項和，則下列結論正確的是（）

A.S”>B.9（Y>9C0Va”V1D.、右，如=￡,則

zzu//oJ?幺

28.（2022?江蘇?高三開學考■試）已知S”是數(shù)列｛冊｝的前n項和，S“+尸—&+4,則（）

A.a?+a“+i=2n—l（n>2）

B.0yt+2—斯=2

C.當火=0時，％=1225

D.當數(shù)列｛斯｝單調遞增時，at的取值范圍是（一1，:）

29.（2022?湖北武漢?方三開學考試）已知數(shù)列｛斯｝滿足：％=1,a.=3（3a.T+j5aL+4）仇>2）,下列說

法正確的是（）

=

A.YTi￡N,。計1,Q“+2成等差數(shù)列B.<2-n.1.|3dn—Q’I（九>2）

n1n1

C.2-<an<3-（nE7V）D.VnGTV*,an,%+］,Q〃+2一定不成等比數(shù)列

30.（2022?浙江紹興?模擬演測）已知正項數(shù)列｛%｝,對任意的正整數(shù)小、口都有20?1+“W。2.+。2“，則下列結論

可能成立的是（）

A."z72—。,加+TTLdn-CLm^.nC.a”.+Qn+2-^rnnD.2am，—

31.（2022?全國?模板我測）已知數(shù)列｛Q“｝滿足%=28,an=［2（一］尸+汨冊_】（九>2）,n6N*,數(shù)列｛bn｝的前九

項和為Sn,且第=10g2（Q2n+2，?n-l）-1。段（。2n，%+1），則下列說法正確的是（）

A.-=21B.QI?Q）=16

a2~

C.數(shù)列［必曰］為單調遞增的等差數(shù)列D.滿足不等式S九一5>0的正整數(shù)九的最小值為63

IJ

32.（2022?福建南平?三模）如圖,在平面直角坐標系中的一系列格點4（%%）,其中i=1,2,3,…,電…且為，伙e

Z.記冊=工”+為“如4(1,0)記為s=1,4(1,-1)記為電=0,4(0,-1)記為&3=-1,…，以此類推；設數(shù)

列｛?｝的前幾項和為5“.則（）

A.d2022=42

B.S2022=-87

C.Q8n=2TL

3n（n+l）

U**^4n2+5n9

33.(2022?全國?長理中學模擬用測)己知數(shù)列｛a,J的前幾項和為S”,且S“+a“=1對于Wn6N*恒成立，若定

義S,?)=Sn,Sf=力郃7)々>2)，則以下說法正確的是()

￡=1

A.｛斯｝是等差數(shù)列B.Sf)=〃刁±2—/

4fc+l^2021

c.Sf+2)_sw=:'卡D.存在n使得S,022)=^―

(,fc+1)!2022!

34.(2022.全國.高三專題練習)我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如1079=1x103+0x102+7x10'+9x10。,表示

十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，只需兩個數(shù)碼

0和1,如四位二進制的數(shù)1101⑵=1X23+1x22+0x21+lX2。,等于十進制的數(shù)13.把m位i進制中

的最大數(shù)記為河(館,加，其中m,nEN*,n^2,M(m,n)為十進制的數(shù)，則下列結論中正確的是()

A.M(5,2)=31B."(4,2)=M(2,4)

C.M(n+2,n+1)<M(n+l,n+2)D.M(n+2,n+1)>M(n+l,n+2)

35.（2022?全國?高三壽題練習）已知數(shù)列｛斯｝滿足a｝=l,an+l=2a?（lna?+1）+1,則下列說法正確的有（）

2Q

A.'<5B.a“+i一冠

di-TCZ-2

C.若n>2,則等《力D.^ln（a,+l）<（2H-l）ln2

4i=l十1i=l

36.(2022?海南?嘉積中學高三階段練習)“0,1數(shù)列”在通信技術中有著重要應用，它是指各項的值都等于0或

1的數(shù)列.設A是一個有限“0,1數(shù)列”，f(A)表示把A中每個0都變?yōu)?,0,每個1都變?yōu)?,1,所得到

的新的“0,1數(shù)列”，例如4(0,1,1,0),則/(A)=(1,0,0,1,0,1,1,0).設4是一個有限“0,1數(shù)列”，定義

4+尸/(4)，卜=1、2、3、….則下列說法正確的是()

A.若43=(1,0,0,1,1,0,0,1)，則人1=(0,0)

B.對任意有限“0,1數(shù)列”4,則An(n>2,u€N)中0和1的個數(shù)總相等

C.4田中的0,0數(shù)對的個數(shù)總與A”中的0,1數(shù)對的個數(shù)相等

D.若A=(0,0),則4。21中0，0數(shù)對的個數(shù)為［(4130-1)

37.(2022?全國?商三專題練習(<))設數(shù)列｛4｝滿足劣=0,冊+產(chǎn)2—8c,nWN?其中c為實數(shù)，數(shù)列

｛W｝的前n項和是S”,下列說法不正確的是()

A.當c>l時，｛%｝一定是遞減數(shù)列B.當cVO時,不存在c使｛冊｝是周期數(shù)列

C.當c€[（）,:]時,[0,2]D.當c=：時,S?>n—

三、填期

38.（2022?全'國?商三專題嫉習）對于數(shù)列｛斯｝,若a“,an+i是關于T的方程"一c出+親=0的兩個根，且四=

2,則數(shù)列｛品｝所有項的和為.

39.（2022?全國*三專題練習（文））已知函數(shù)/⑸=log2（4，+1）-z,數(shù)列｛?｝是公差為2的等差數(shù)列，若

aj（ai）+a-if（a-i）+?3/（?3）+&/（01）=0,則數(shù)列｛冊｝的前門項和Sn=.

40.（2022?全國?高三專題練習）數(shù)列｛a?｝滿足：a1=0,a?+1=-a^+an+c.若數(shù)列｛a,J單調遞減，則c的取值

范圍是;若數(shù)列｛冊｝單調遞增,則c的取值范圍是.

41.（2022?全國?方三專題嫉習（理））黎曼猜想由數(shù)學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界

難題.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)e（n）=/+…，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和77

71=11231

+/+/+???+[入手.已知正項數(shù)列｛an｝的前論項和為S“，且滿足區(qū)=/（冊+十），則

[J+3+…J-]=-（其中[句表示不超過w的最大整數(shù)）

42.（2022?上海?華東嬸疙大學附屬東曷中學寄三階段練習）已知函數(shù)/Q）=[尸°,’<2,若對

1/3-2）,x>2

于正數(shù)除（nGN*）,直線y=與函數(shù)/（0）的圖像恰好有2n+1個不同的交點，則好+潟H------Ffcn=_

43.（2022?全Bl?高三專題練習）設的三邊長分別為M，口，。九，九二1,2,3…，若瓦>5,仇+5=

2的，a“+產(chǎn)a,“bn+1=場2,%+]=弓包,則N4的最大值是.

44.（2022?上海通三專題嫉習）若數(shù)列｛a0｝滿足a.+a*1+M*2+…+%+上=0（H€N*,kCN*）,則稱數(shù)列

｛%｝為”階相消數(shù)列”.已知“2階相消數(shù)列”｛晨｝的通項公式為鼠=2cos（m,記4=6也…鼠

2021,打CN*,則當ri=時，7；取得最小值

45.（2022?上海?方三專題嫉習）若數(shù)列｛%｝滿足Q[=0，d:\n-\—Q4n-2=Q4n-2-a4n-3=3，==

a4n-lQ4n

y（n￡N*）,且對任意nCN*都有an<m,則m的最小值為.

46.（2022.全國?高三開學考試，（班））用g（m）表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1,

3,9,g（9）=9,10的因數(shù)有1,2,5,10,g（10）=5,那么g⑴+g（2）+g（3）+■■■+g（22015-1）=

22

47.（2022?江蘇蘇州?模擬fF）設函數(shù)力㈤=x,f-,（x'）=2（x—x）,/3（rc）=申sin2兀劍，取友=.，i=0」，

2,-.2019,S*=成（幻一九⑹|+成⑸一加3I+…+仇（419）一人（加8）1，123,則S”S’的大小

關系為一.（用“V”連接）

四、雙空題

-n+LQn為奇數(shù)

48.（2022?浙江?模擬預測）已知數(shù)列｛a｝對任意的nCN.，都有a“CN，,且陪產(chǎn)

n\冊為偶數(shù)

①當d]=8時，＜12（）22-?

②若存在m€N*,當且“為奇數(shù)時，a“恒為常數(shù)P,則P=.

49.（2022?全國?高三專題練習）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈

現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作''雪花曲線"，又稱

“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程:從

一個正三角形開始,把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底

邊，重復進行這一過程

若第1個圖中的三角形的周長為1,則第n個圖形的周長為；若第1個圖中的三角形

的面積為1,則第八個圖形的面積為.

50.（2022?全國?南三專題練習）對于正整數(shù)n,設為是關于多的方程：（/+5n+34+/og“+對=1的實根,

記冊=[*]'其中㈤表示不超過2的最大整數(shù)，則S=:若b“=a“?sin等，Sn為｛bn]的前

Tl項和，則S-2Q22=?

數(shù)列專題壓軸小鹿

一、單選題

1.(2022?全國?模擬覆冽(<))數(shù)列｛%｝滿足a尸a,冊+產(chǎn)3斯一%一1,則下列說法錯誤的是()

A.若a#1且a#2,數(shù)列｛斯｝單調遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)n，使得an+｝=an，則以=1

C.當a>2或QVI時，｛QJ的最小值不存在

D.當a=3時，+……+-^-￡(-5-,1]

(iy—2a，2—2an—2\2」

【答案】B

2

【解析】A.a?+i-%=2a“一屋一1=一(a?-I),只要0nxi，則M+iVan,

今,3\255

an+i=3an-—1=—(an-十五《丁，

若“+1=1,即3%—-1=1,則an=1或%=2,

顯然時，a“W與，

4

若Qi=a=2,則02=1,因此。2=的=-=1,

若Q]=a=l,則(1]=&=3=1,

所以當QWI且aW2時，對任意的ri>2,a”W1,從而an+l—an<0,an+I<an,｛an｝遞減，A正確，

B.由上面推理，a=2時，也有無數(shù)個正整數(shù)九，使得Q”+i=a7,,6錯；

C.由選項71知，aVl或a>2時，｛%｝遞減，無最小值，。正確；

D.%=a=3,g=3x3—3?—1=-1V0,又由以上推理知｛a,r｝遞減，所以Q〃V0(72>2),

ii?i,iii

九二1時,----=1,九>2口才,——7TH----------斤+,,?H--------jrV0，貝I------5----------5"+.........y<1>

%—2的—2。3—2%—2%—2電—2%—2

所以對任意"eN*,二〒+'亍+……+—

Q]-20>2-2O-n-2

下證……+Ur>｝,

"1時，/=1>/

n，2時，％V0,設7、=9I+......+9\,

2-Cb'2N-。3/一%

2—%=3—3an_j+晨—>2—3Q”T+WT=(1—an,i)(2—an_J>0,

1,111

2—a“(1—Qn-i)(2一冊_1)1-azl-i2—a,,-｝

11111]

+<-------------------------p十

2—MT(1—Q〃-2)(2一

2-a?1-Qn-I'1-Q，I2—%—22-3a?_2+Q>22—an_2Q”T)

+11

2—Qn-21一冊_2

]1

依次類推，TVy

1—CL)~2

所以1+1+……+1

—2。2—2Q”一2

綜上，對任意九EN*,—-|-----^――+......H------^-―>-y,

Q]-Z電—乙ttn—/Z

綜上，正2+/1'+……正確.

故選：B.

2.（2022?淅江.杭州南級中學模擬頻測）已知數(shù)列｛a“｝中，缶=1,若冊=弋曰-（n>2,meN*）,則下列結

XI十Cbn-\

論中錯誤的是（）

A.如二B.—-------<《C.dnTn（九+1）V1

Q?1+lQn'D-圭-專武

【答案】D

9fi19

【解析】A.由題得出=等,。3=丁,%=力-,所以該選項正確；

JxlZD

B.由題得」-="+%-',.?.」-=」一+工,二.-----5―=上，(n>2,neN"),所以一!------=

CZ>n"Qn-1O>n—1孔Qn^n—L九Qn+I

—,當幾=1時，也滿足，所以--------=—T&4■，所以該選項正確；

72"1XQyj.+]Qrn71IXZ

11111111

c.由前面得吉--------,(n>2,n€AZ*),

at2'a：｝即an-in

所以±=1+??…+*也適合九=1，所以言=1+?/+…+M（Q1，MN*）.

設AM=ln(i+1)—⑨3>0),，r3)=—1了一1=三"VO,所以函數(shù)/Q)在(0,+8)單調遞減，所以

/Q)</(0)=0,所以InQ+1)—0V0,所以/⑴=ln2—1V0,/(4)=ln3-ln2-y<0,/(^-)=ln4一

ln3—V。,/(占)=1n5—ln4—4<0,,/(~~)=ln(n4-1)—Inn--^-<0,所以ln(zi+1)V1+4+

~H—+2?=—,所以Q”?In(九+1)<1,所以該選項正確；

jna”

D.-----L=Wr+—可+…+；>4—XT2=4,所以該選項錯誤.

02rlanTi+ln4-22n2n2

故選:D

3.(2022?浙江鵬三開學考匐已知數(shù)列｛斯｝滿足遞推關系e“—1=冊”。且四>0,若存在等比數(shù)列出｝滿

足bn+｝<a,、<bn,則｛bn｝公比q為()

A.《B.■-C.《D.?—

2e37r

【答案】A

【解析】設/(%)=。51，g3)=3—l)e“+1,無3)=e，-1—x,(x>0)

因為h!(x)=e:c—1>e°—1=0,所以九3)>h(0)=0,所以e，-1>%>0,

所以，/1>1(”>°),所以f(x)>1.因為g'(“)—>”,

所以g3)>g(o)=-1*1+1=0.

下面用歸納法證明%>0.當？2=1時，Qi>0,

假設當ri=k時，痣>0,那么對7i=k+1,e。、-1=aW",所以e"f=------(a->0),

a*A

因為支>>1(工>0),所以=e"；l=f(a?)>1,所以a』>0.因此%>0,n€N：

8%—1(a—l)e°niH-1g(Q”)小?

e"—e/+|=e"--------=----n---------=----->0,所以e%>,a>ai,

Qn。門。幾nn+

綜上，0V%+iVa”.

再設F(x)=/(6)-e?=---浮----,(ir>0),所以[xF(x)]f=eT—(1+為由=/i(-y)e2>0,

所以函數(shù)iF(力在(O,+8)單調遞增，

a,,uT

所以xF(x)>0?F(0)=0,所以F(x)>0,所以f(x)>e爹,所以e=y(an)>e,

所以On+1>號，所以0n>(')"'1,而Eq-7=b“>0n>信)”'-qbi,

所以2q>(十廠取"足夠大，易知2q>l,即

設G(x)=/(x)-=(2-”)e：(①+2),①>①，

[xG(jD)],=(1—x)ex-1=-gQ)V0,所以①G(°)在(0,+<?)單調遞減，

所以xG(x)<0-G(0)=0,所以G(s)<0,所以/(c)<％\

所以日p(即)<氣工所以2/，<e*+l,

9n-10|

所以2(e--1)Ve」1,所以e"”-1V(y)(e-l),Fp0ne*V

a,a,,tnU3a

而a?e"'>bn+le'>bn+i—Eq”>aq",所以q<(4)Ie,所以(2q)”<2e-,

所以2qV(2eM當n足夠大時，易知須滿足2g《1,即q4\.綜上，q=土.

故選：A.

4.(2022?淅江?模擬演測)已知數(shù)列｛%｝滿足%=2,an+1-l=In(an+6)-b(nGN*).若｛aj有無窮多個

項，則()

A.心0B.6>-1C.6^1D.b>—2

【答案】B

【解析】:%+i—1=ln(a?+fe)-b(nGN"),即%+1+b=In(an-Fb)4-1;

令品=0n+b,則cn+1=lnc?4-1,易證：當6>0時,lnx+Kre,

所以當品>1時，1&h】Cn+1&Cn,所以1&Cn+1&C?,

當b>—l時，Ci=Qi+b>l,易得1<??<(?.〃<?Wc2&Ci,

即1-bW…&QnW…&電&?=2,此時｛%｝有無窮多個項，故b，-1合題；

當bV-1時，則&=ln(2+b)—b+1V6+1—b+1=2,

設痣<2,則恁+6<2—1=1,

則Qk+i—Qjt=山(0卜+b)—(Q%：+b)+1VQ比+b—1—(Q?+b)+1=0，

所以｛%｝為單調遞減數(shù)列，故1-6>2>%>。3>…,

即1>2+>>。2+。>的+6>—?，

令/(，)=Inx—x+1,「(X)=^--1,當OV0Vl時，/'(力)>0,

即/㈤在(0,1)上單調遞增，因為3t+bV2+bVl,

所以。卜十1—(1卜=ln(a人:+b)—(Q?+，))+1Vln(2+b)—(2+b)+1,

不妨令In(2+b)—(2+b)+l=d，顯然dVIni—1+1=0,即dV0,

即ak+i—ak<d,累加可得4一a〕V(九一l)d,即%V2+(ri—l)d,

故當n>l—立薩?時，a0+b<0,此時“+i不存在，不是無窮多個項，故b<一l不合題；

綜上：b>-1.

故選：B.

5.(2022?全國?方三專題練習)已知等差數(shù)列｛%｝(公差不為零)和等差數(shù)列他,｝的前八項和分別為S”，累，如

果關于人的實系數(shù)方程2021/-S202逐+6。21=0有實數(shù)解，那么以下2021個方程/一0述+瓦=

()(i=1,2,3,…,2021)中，無實數(shù)解的方程最多有()

A.1008個B.1009個C.1010個D.1011個

【答案】c

【解析】由題意得：SMi—4x2021外必>0,

其中-=2。2%+“）=2。2M-2。2%+一）=2。21M

代入上式得：味iL48OH>O,

?^^、/—Q,H+bi=0（i=i,2,3u??,2021）方程無實數(shù)解，則展―4b<0,

顯然第1011個方程有解，

設方程/-aiX+bl=0與方程X2—。202@+%21=0的判另“式分另I為和A12021,

則A1+A202I=（Q；—4b]）+（成）21—4b2021）>就+遢）21-4（瓦+62021）

>㈤+產(chǎn),）-4（f>]+b2021）=⑵，）-8瓦0n=2（ajon-451011）>0,

等號成立的條件是由=a21HL

所以AiVO和4021<0至多一個成立，同理可證：A2Vo和AXMVO至多一個成立,

.......,Al3"V。和△132V0至多一1個成立，且△”>][>0,

綜上，在所給的2021個方程中，無實數(shù)根的方程最多1010個

故選:C

6.（2022?全國?寄三專題練習）己知數(shù)列｛“｝滿足：5=2,a“+i=4（E+2a.）（neN"）.記數(shù)歹U｛a,,｝的前

九項和為5”則（）

A.12<SJ0<14B.14<S10<16C.16<510<18D.18<S10<20

【答案】B

【解析】?「。2=+2QJ>~T(1+2)=1,Q?>4x(1+2)=1,…，依次類推，則an>1;

000

由M+i=3(V^n+2an)得:an+1-1=(y/a^+2ar,—3),

.]=3=_________3_________

%+i—12Q〃+—3(2^/a^+3)—1)

.冊-i=3(V^+i)=]+7^7>]

,?a〃+i-12^/a^+32A+3'

令—1,分為｛&?｝的前九項和，，&=7；+72,

又%—1=1,?，.｛"J為遞減數(shù)列,即｛%｝為遞減數(shù)列，:.an<4=2,

???1VQ”42(當且僅當1=1時取等號)，

..._A_=]+——=]+——I——

bn+i2y/a^+3a?3'

瓜

1V<V2V2,[V2H—V5,?，?[V-----—V,

2Van32d----7=

向,

.旦v-^-v9即工v^1■〈立?(工)"-'vb〈(立Y'T

,,5<b“+i<7，即9Vb“V6一(9J，

1一偌戶9((7\w\一倩)"(/5\u?\

^y-=T(l-(y))>4,Tl0<--^—=6(1-(1))<6,

1-gT1-T

4<^<6,/.14<S”>V16.

故選：B.

7.（2022?浙江?越溪中學模擬演測）已知數(shù)列｛a,,｝滿足：的=一十,且%+1=111（冊+1）-怎11%,則下列關于數(shù)

列｛a“｝的敘述正確的是（）

>B?—24冊<—］BQ“+i>—Q,：2D