第五章MATLAB基本應用領域課件

第五章

MATLAB基本應用領域5.1符號運算Mathworks公司1993年Maple符號計算工具箱（SymbolicToolbox）1.符號運算入門例：solve('a*x^2+b*x+c=0')還可以是：

x=solve('a*x^2+b*x+c')或者

y='a*x^2+b*x+c'x=solve(y)例：對于數(shù)學表達式

合并關于x的同類項symsxy;collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)例：三因式連乘積的展開式

symsx;collect((x^2+1)*(x+2)*(x-3))例：求導數(shù)

x=sym('x')diff(cos(x)^2)例：求導數(shù)

symsx;diff(cos(x^2))例：計算不定積分

symsx;int(x)例：計算定積分

symsxab;int(x^2,a,b)例：求矩陣行列式的值

symsabcd;p=[ab;cd];det(p)例：解一階微分方程

symsay;dsolve('Dy=a*y')

例：解一階微分方程

symsay;dsolve('Dy=a*y')

2.MATLAB符號運算的幾個基本概念MATLAB數(shù)值運算的操作對象是數(shù)值，而MATLAB符號運算的操作對象是非數(shù)值的符號對象。（1）符號對象（sym類型）存儲代表非數(shù)值的字符對象。符號對象可以是符號常量（符號形式的數(shù)）、符號變量、符號函數(shù)以及各種符號表達式等。（2）創(chuàng)建符號對象

格式1：S=sym(A)格式2：symss1s2s3例：

sym('a')

symsa（3）符號常量

例：對數(shù)值量1/8創(chuàng)建符號對象。a=sym(1/8)b=sym('1/8')（4）符號變量

例：a=sym('alpha')

symsalpha（5）符號表達式

符號表達式有兩類：符號函數(shù)與符號方程。例：用sym和syms建立符號函數(shù)symsnxtpTwc;f1=n*x^n/xf2=sym(log(t)^2*t+p)f3=pi+atan(T*wc)f4=sym('w+sin(a*z)')例：用sym建立符號方程e1=sym('a*x^2+b*x+c=0')e2=sym('log(t)^2*t=p')e3=sym('sin(x)^2+cos(x)=0')e4=sym('Dy-y=x')（6）函數(shù)命令findsym()確定一個符號表達式中的自變量格式1

findsym(f,n)按數(shù)學習慣確定符號函數(shù)f中的n個自變量。格式2

findsym(e,n)按數(shù)學習慣確定符號方程e中的n個自變量。例：用函數(shù)命令findsym()確定符號函數(shù)f1,f2中的自變量。symskmnwyz;f=n*y^n+m*y+w;ans1=findsym(f,1)f2=m*y+n*log(z)+exp(k*y*z);ans2=findsym(f2,2)例：用函數(shù)命令findsym()確定符號方程e1,e2中的自變量。symsabcxpqtw;e1=sym('a*x^2+b*x+c=0');ans1=findsym(e1,1)e2=sym('2*(sin(p*t+q))=0');ans2=findsym(e2)（7）符號矩陣例：用函數(shù)命令sym()來創(chuàng)建符號矩陣m1=sym('[ab

bc

cd;de

ef

fg;hij]');clam1=class(m1)m2=sym('[112;2334]');clam2=class(m2)m3=sym('[ab;cd]*x=0');clam3=class(m3)3.MATLAB符號運算的基本內容（1）符號變量代換及其函數(shù)subs()

格式1：subs(S,old,new)

old是符號表達式S中的符號變量，而new可以是符號變量、符號常量、雙精度數(shù)值與數(shù)值數(shù)組等。格式2：subs(S,new)

用new置換符號表達式S中的自變量。

例：

已知f=axn+by+k,符號變量替換：a=sint,b=lnw,k=ce-dt;符號常量替換：n=5,k=πk用數(shù)值數(shù)組替換：k=1:1:4。[解]symsabcdknxywt;f=a*x^n+b*y+kf2=subs(f,[abk],[sin(t)log(w)c*exp(-d*t)])f3=subs(f,[n,k],[5,pi])f4=subs(f,k,1:4)（2）MATLAB符號表達式的化簡a.因式分解的函數(shù)命令factor()格式：factor(E)factor(sym(N’))—對于大于252的整數(shù)的分解例：已知f=x3+x2-x-1，試對其因式分解。symsx;f=x^3+x^2-x-1;f1=factor(f)例：已知試對其因式分解。symsabc;f=a^4*(b^2-c^2)+b^4*(c^2-a^2)+c^4*(a^2-b^2);f1=factor(f)例：已知c=12345678901234567890,試對其進行質因子分解。c=sym('12345678901234567890');factor(c)b.符號表達式展開函數(shù)expand()例：用以下MATLAB語句展開：symsxy;f=(x+y)^3;f1=expand(f)c.同類項合并函數(shù)collect()格式1.collect(E,v)

將符號表達式E中的v的同冪項系數(shù)合并。格式2.collect(E)

將符號表達式E中由函數(shù)findsym()確定的默認變量的系數(shù)合并。例：symsabcx;f=a*x*exp(-c*x)+b*exp(-c*x);f1=collect(f,exp(-c*x))例：

symsabnxy;f=x^2*y+y*x-a*x^2-b*x;f1=collect(f)

d.符號表達式化簡函數(shù)simplify()與simple()

格式.

simplify(E)將符號表達式E運用多種恒等式變換進行綜合化簡。

例：進行綜合化簡。symsxncalphbeta;e10=sin(x)^2+cos(x)^2;e1=simplify(e10)e20=exp(c*log(alph+beta));e2=simplify(e20)函數(shù)simple（）調用格式為：格式1.simple(E)對符號表達式E嘗試多種不同的簡化算法，以得到符號表達式E的長度最短的簡化形式。格式2.[R,HOW]=simple(E)功能同格式1，返回參數(shù)R為表達式的簡化型，HOW為簡化過程中使用的簡化方法。例：symsxy;e1=log(x)+log(y)[R1,HOW1]=simple(e1)e2=2*cos(x)^2-sin(x)^2[R2,HOW2]=simple(e2)e3=cos(x)+j*sin(x)[R3,HOW3]=simple(e3)e4=x^3+3*x^2+3*x+1[R4,HOW4]=simple(e4)e5=cos(x)^2-sin(x)^2[R5,HOW5]=simple(e5)e.符合函數(shù)的運算與函數(shù)命令compose()

設z是y的函數(shù)z=f(y),而y又是x的函數(shù)y=φ(x),則z對x的函數(shù):z=f(φ(x))叫做z對x的復合函數(shù)。求z對x的復合函數(shù)z=f(φ(x))的過程叫做復合函數(shù)運算。格式為：compose(f,g)

當f=f(x)和g=g(y)時，返回復合函數(shù)f((g(y)),即用g=g(y)代入f(x)中的x，且x為函數(shù)命令findsym（）確定的f的自變量，y為findsym（）確定的g的自變量。例：symsxtuy;f=log(x/t);g=u*cos(y);cfg=compose(f,g)f.反函數(shù)的運算與函數(shù)命令finverse()格式1.g=finverse(f)

求符號函數(shù)f的反函數(shù)g，符號函數(shù)表達式f有單變量x，函數(shù)g也是符號函數(shù)。格式2.g=finverse(f,v)

求符號函數(shù)的自變量為v的反函數(shù)g例：求函數(shù)y=ax+b的反函數(shù)。symsabxy=a*x+b;g=finverse(y)例：求函數(shù)的反函數(shù)。symsxy;f=x^2+y;g=finverse(f,x)4.MATLAB符號微積分運算（1）MATLAB符號極限運算命令limit()格式1.limit(F,x,a)

計算符號函數(shù)或符號表達式F當變量x→a條件下的極限值。例：試證明與相等。

clearsymsnx;y1=limit((1+(1/n))^n,n,inf)y2=limit(((2*x+3)/(2*x+1))^(x+1),x,inf)格式2.

limit(F,a)計算符號函數(shù)或符號表達式F中由命令findsym()返回的獨立變量趨向于a時的極限值。例：試求clearsymsxma;limit(((x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a)),a)格式3.limit(F)計算符號函數(shù)或符號表達式F在x=0時的極限。例：試求clearsymsxc=limit(tan(2*x)/sin(5*x))格式4.limit(F,x,a,’right’)計算符號函數(shù)或符號表達式F在條件下的極限值。格式5.limit(F,x,a,’left’)計算符號函數(shù)或符號表達式F在條件下的極限值。（2）MATLAB符號微分運算函數(shù)diff()格式1.

diff(f,’v’,n)

對符號表達式或函數(shù)f指定的自變量v計算其n階導數(shù)。格式2.

diff(f,n)功能是對符號表達式或函數(shù)f按findsym()命令確定的自變量計算其n階導數(shù)。例：已知函數(shù)試求symsatx;f=[at^5;t*sin(x)log(x)];df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t)

（3）MATLAB符號函數(shù)積分運算命令int()格式1.

int(S)

計算符號函數(shù)或表達式S對函數(shù)findsym()返回的符號變量的不定積分。如果S為常數(shù)，則積分針對x.格式2.

int(S,v)

計算符號函數(shù)或函數(shù)表達式S對指定的符號變量v的不定積分。格式3.

int(S,v,a,b)

計算符號函數(shù)或表達式S對指定的符號變量v從下限a到上限b的定積分。格式4.

int(S,a,b)

計算符號函或表達式S對函findsym()返回的符號變量從a到b的定積分。

例：已知導函數(shù)求原函數(shù)f(x)。symsanx;dfdx=[2*xx^n;1/xa^x];f=int(dfdx)

例：已知函數(shù)與求定積分symsabxl=int(sym('1'),x,a,b)symsabxI=int(x^2,a,b)

例：試計算定積分與

symswx;I1=int(2*sin(w)/w,w,0,inf)f=sin(x/2)^6;I2=int(f,x,0,pi)5．MATLAB符號代數(shù)方程求解命令solve()對方程所求出的所有解，一定要逐一帶回到原方程進行校驗。

格式：solve('eqn1','eqn2',...,'equN','v1','v2',...,'vN')例：解方程組在a=1，b=2，c=3時的x，y，z。symsxyzabc;a=1;b=2;c=3;eq1=y^2-z^2-x^2eq2=y+z-aeq3=x^2-b*x-c[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3,'x','y','z')6.MATLAB符號微分方程求解

格式：S=dsolve('equn1','equn2',...,'初始條件部分','指定獨立變量部分')特別規(guī)定當y為因變量時，用“Dny”表示“y的n階導數(shù)”。初始條件與分別寫成y(a)=b和Dy(c)=d等。獨立變量若沒有指定的話，則默認小寫字母t為獨立變量。例：求微分方程組的通解：symsxyt;[x,y]=dsolve('Dx+2*x+Dy+y=t','Dy+5*x+3*y=t^2','t')例：求微分方程組的通解以及滿足所給初始條件的特解：求通解：symsxy;[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x','t')求特解：symsxyt;[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x','x(0)=0','y(0)=1','t')5.2多項式與內插設n階多項式

p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

1.多項式表示n階的多項式p(x)長度為n+1的行向量p。元素為多項式的系數(shù)，并按x的冪降序排列，p=[anan-1…a1a0]

。函數(shù)poly2sym（p）可將多項式向量p表示成符號形式的多項式。2.多項式的根

roots(p)

計算方程p(x)=0的解。3.特征多項式如果多項式p的根存儲在向量r中，那么poly(r)則可從根向量r中恢復多項式p。

矩陣的特征多項式：構造一個矩陣sI-A，并求出該矩陣的行列式，則可得出一個多項式C(s)

C(s)=det(sI-A)=sn+c1sn-1+…+cn-1s+cn

多項式C(s)稱為矩陣A的特征多項式，系數(shù)ci,i=1,2,…,n稱為矩陣的特征多項式的系數(shù)。c=poly(A)為求取矩陣A特征多項式系數(shù)的函數(shù)

4.多項式及多項式矩陣的求值多項式的求值函數(shù)polyval()格式：polyval(p,x)

其中x為標量，p=[anan-1…a1a0]為多項式系數(shù)降冪排列構成的向量，計算多項式p的自變量為x時，多項式的值。多項式矩陣的求值函數(shù)polyvalm()

格式：polyvalm(p,A)

其中A為一個給定矩陣，

p=[anan-1…a1a0]為多項式系數(shù)降冪排列構成的向量，命令B=polyvalm(p,A)返回的矩陣B是下面的矩陣多項式的值

B=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0I5.多項式卷積和去卷積conv(p,q)

計算多項式p和q的乘積，也可以認為是p和q的卷積。[q,r]=deconv(c,b)

計算多項式c除b。q是商多項式，r是殘數(shù)（余數(shù)）多項式。

6.多項式求導見課本P1667.多項式曲線擬合見課本P1668.部分分式展開見課本P1669.一維內插已知函數(shù)y=f(x)在若干點xi的函數(shù)值yi=f(xi),i=0,1,…,n

一個插值問題就是求一簡單的函數(shù)p(x)滿足

p(xi)=yi,i=0,1,…,n

則p(x)為f(x)的插值函數(shù)，而f(x)為被插值函數(shù)或插值原函數(shù)，x0,x1,…xn為插值點，p(xi)=yi式為插值條件。多項式內插見課本P167。例：正弦曲線的插值示例。x=0:2:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi,*spline’);plot(x,y,'o',xi,yi)

5.3范函分析

1.函數(shù)在MATLAB中的表示例：functiony=g(x)y=(5.*-6.4)./((x-1.3).^2+0.002)+(9.*x)./(x.^3+0.03)-...(x-0.4)./((x-0.92).^2+0.005);2.數(shù)學函數(shù)的繪圖用plot命令可以畫出函數(shù)的圖形：x=linspace(0,2);%生成向量xplot(x,g(x));%畫g(x)圖形grid;%畫格柵title('Theg(x)function')%給出圖標題或者使用fplot命令：fplot('g',[02]);%畫g(x)圖形grid;%畫格柵title('Theg(x)function')%給出圖標題3.函數(shù)極小值點和零值點（1）fmin命令

求單變量函數(shù)的最小值；格式：fmin(‘F’,x1,x2)

fmin(‘F’,x1,x2,options)

fmin(‘F’,x1,x2,options,p1,p2)

（2）fmins命令求多變量函數(shù)的最小值，同時它還要求有一個初始向量。格式：fmins(‘F’,x0)

fmins(‘F’,x0,options)（3）fzero命令求單變量函數(shù)的零點。格式：fzero('F',x)4.數(shù)值積分

常見的一元函數(shù)數(shù)值積分指令quad自適應辛普森積分sum等寬矩形法求定積分quadl自適應Lobatto積分trapz采用梯形法求定積分quad8牛頓8段積分fnint采用樣條函數(shù)求不定積分格式：[y,n]=quad('F',a,b,TOL)

[y,n]=quad8（'F',a,b,TOL）

trapz（x,y）

例：用不同的方法來計算積分A．使用trapz命令。x1=linspace(0,1,5);x2=linspace(0,1,10);y1=exp(-x1.^2);y2=exp(-x2.^2);formatlong;intergal1=trapz(x1,y1),intergal2=trapz(x2,y2)B．使用quad命令。functiony=intergrand(x)y=exp(-x.^2)；integralStd=quad('intergrand',0,1)integralTol=quad('intergrand',0,1,0.000001)（2）雙重定積分格式：

I=dblquad('F',x_m,x_M,y_m,y_M,TOL)

例：計算二重積分functiony=integrand2(x,y)y=exp(-x.^2-y.^2);

dblquad('integrand2',0,1,0,1)

TheMathWorks公司的網(wǎng)站上免費下載數(shù)值積分工具箱（NIT），用其中的函數(shù)quad2dggen()來求解（3）inline（）函數(shù)

例：求f=inline('1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)','x')[y,n]=quad(f,-8,8)5.3線形代數(shù)1．MATLAB中的矩陣2．向量的范數(shù)和矩陣的范數(shù)（1）向量的范數(shù)是一個標量，用來衡量向量的長度。向量x=[x1,x2,…,xn],則它的p范數(shù)定義為

常用的范數(shù)p=2時，2范數(shù)/歐幾里德范數(shù)/歐拉范數(shù)

函數(shù)為norm(x)或norm(x,2)p→∞時，∞范數(shù)/最大值范數(shù)

函數(shù)為norm（x，inf）p=1時，1范數(shù)

函數(shù)為norm（x，1）如果要求p范數(shù)，函數(shù)為norm（x，p）norm(x,-inf)

，求向量x的元素的絕對值的最小值。（2）矩陣的范數(shù)用來衡量矩陣大小

設A是一個n*n的方陣，則它的p范數(shù)定義為：常用的范數(shù)p=1時，1范數(shù)，即A的列向量之和的最大值，函數(shù)為norm(A,1)。p=2時，2范數(shù)，即為A矩陣的最大奇異值，函數(shù)為norm(A,2)或norm（A）。無窮范數(shù)，即A的行向量之和的最大值，函數(shù)為norm(A,inf)。3.線性代數(shù)方程求解線性方程為AX=B或XA=B：當A為方陣時，解為X=A\B或X=B/A。

當矩陣A非奇異時，線形方程有唯一解；當A奇異時，線形方程的解要么不存在，要么不唯一。當A為（m*n）維矩陣時，如果m>n，超定方程，最小二乘法來求解。如果n＞m，欠定方程組，通常有無窮組解。

例：

A=[111;123],b=[23]’

%則Ax=b為欠定方程

x=A\b數(shù)據(jù)建模數(shù)據(jù)建模的兩大類方法：一類是插值方法，嚴格遵從數(shù)據(jù)；另一類是擬合方法，允許在數(shù)據(jù)點上有誤差，但要求達到某種指標最小化。常用的兩種誤差指標：一種按照誤差向量的∞范數(shù)定義，稱為一致數(shù)據(jù)擬合。另一種按照誤差向量的2范數(shù)定義，稱為最小二乘數(shù)據(jù)擬合。4.矩陣求逆det(A)

求方陣A的行列式。rank(A)

求A的秩。inv(A)

求方陣A的逆矩陣。pinv(A)

求矩陣A的偽逆。

如果A是m×n的矩陣，則偽逆的大小為n×m。

對于非奇矩陣A來說，有pinv(A)=inv(A)。偽逆：如果A與X互為偽逆陣，則有AXA=A、XAX=X、且AX和XA是對稱陣。例：A=[123;456;789];rank(A)X=pinv(A)A*X*AX*A*XA*XX*Atrace(A)

求矩陣A的跡，也就是對角線元素之和。[V,D]=eig(A)

返回方陣A的特征值和特征向量。

其中D為A的特征值構成的對角陣，每個特征值對應的V的列為屬于該特征值的一個特征向量。

如果只有一個返回變量，則得到特征值構成的列向量。5.LU、QR分解

LU分解：令A=LU，

其中U是一個上三角矩陣，

L是一個帶有單位對角線的下三角矩陣。

Ax=b→LUx=b→Ly=b①

Ux=y②若得到L、U兩個三角陣后，

y=L\b,x=U\y,即x=U\(L\b)。正交陣：如果方陣A滿足AA’=A’A=I。

QR分解：假設A是n階方陣，那么A就可以分解成A=QR。

其中Q是一個正交矩陣，

R是一個大小和A相同的上三角矩陣。6.矩陣函數(shù)根據(jù)級數(shù)展開定義的

expm(A)

矩陣指數(shù)logm(A)

矩陣對數(shù)sqrtm(A)

矩陣開方funm(A,’funname’)

任意矩陣函數(shù)例如

7.特征值

見課本P1638.奇異值分解奇異值分解：矩陣A，

m*n階，分解成A=USVT，其中U是m階正交陣，V是個n階正交陣，S為如下形式的m*n階對角陣其對角線元素非負，且降序排列，即。奇異值分解的函數(shù)

[U,S,V]=svd(A)病態(tài)問題：矩陣中某個參數(shù)有一微小的變化將嚴重影響到原矩陣的參數(shù)。

例：

x1=1.220,x2=-0.3084,x3=2.298X1=1X2=1X3=1條件數(shù)：矩陣最大的奇異值σmax與最小的奇異值σmin的比值稱為矩陣的條件數(shù)，記作cond{A}，計算條件數(shù)的函數(shù)cond(A)。條件數(shù)就反映了對參數(shù)數(shù)據(jù)誤差的敏感性程度。條件數(shù)很大的數(shù)值問題即為病態(tài)問題。5.5數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計概率統(tǒng)計的用途氣象預報、水文預報、地震預報以及產品的抽樣驗收研制新產品---進行試驗設計和數(shù)據(jù)處理工程可靠性研究---估計出系統(tǒng)使用的可靠性及平均壽命自動控制原理---給出數(shù)學模型通信工程----提高系統(tǒng)的抗干擾性和分辨率

常用的概率統(tǒng)計軟件SASMATLAB----StatisticToolbox

注意：MATLAB按列操作的特點，對于要進行數(shù)據(jù)分析的矩陣，每一列代表一個變量的多個采樣值，即列數(shù)對應于變量數(shù)，行數(shù)代表對每個變量的采樣點數(shù)。1.數(shù)據(jù)比較max

求隨機變量的最大值元素。nanmax

求隨機變量的忽略NaN的最大值元素。min

求隨機變量的最小值元素。nanmin

求隨機變量的忽略NaN的最小值元素。median

求隨機變量的中值。nanmedian

求隨機變量的忽略NaN的中值。mad

求隨機變量的絕對差分平均值。sort

對隨機變量有小到大升序排列。sortrows

對隨機矩陣按首行進行行排序。range

求隨機變量的值范圍，即最大值與最小值的差。例：A=[431;862;-301]B=max(A)C=median(A)D=mad(A)E=sort(A)F=sortrows(A)G=range(A)2.簡單數(shù)學期望和幾種均值數(shù)學期望

當給定的一組樣本值時

mean

求隨機變量的算術平均值函數(shù)。nanmean

求隨機變量的忽略NaN的平均值。geomean

求隨機變量的幾何平均，即例：A=[123;456;78NaN]B=mean(A)C=nanmean(A)D=geomean(A)例：

求E（x）和