第五章速度運(yùn)動(dòng)學(xué)課件

2023/7/291第五章速度運(yùn)動(dòng)學(xué)2023/7/292本章將進(jìn)一步討論運(yùn)動(dòng)的幾何學(xué)及與時(shí)間有關(guān)的量，即討論機(jī)器人的速度運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。速度運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題重要是因?yàn)椴僮鳈C(jī)不僅需要達(dá)到某個(gè)（或一系列的）位置，而且常需要它按給定的速度達(dá)到這些位置。主要內(nèi)容：

5.1微分關(guān)系

5.2操作機(jī)的微分移動(dòng)

5.3微分轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)定理

5.4微分算子

5.5雅可比矩陣及其變換

5.6雅可比矩陣的力學(xué)意義

5.1微分關(guān)系2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/2965.2

操作機(jī)的微分移動(dòng)

所謂微分運(yùn)動(dòng)指的是無(wú)限小的運(yùn)動(dòng)，即無(wú)限小的移動(dòng)和無(wú)限小的轉(zhuǎn)動(dòng)。它既可以用指定的當(dāng)前坐標(biāo)系來(lái)描述，也可以用基礎(chǔ)坐標(biāo)系來(lái)描述。

對(duì)于微分移動(dòng)（平動(dòng)）的齊次變換矩陣T可表示為

式中是微分位移矢量在基礎(chǔ)坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的分量。

2023/7/2975.3

微分轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)定理

若繞x軸轉(zhuǎn)微小角表示為，并考慮，則對(duì)x,y,z多軸微分轉(zhuǎn)動(dòng)的齊次變換矩陣R應(yīng)該有如下形式：

2023/7/298上面的近似等式是在略去二階與三階無(wú)窮小量的條件下獲得的。

2023/7/299定理1

繞任意單位向量轉(zhuǎn)動(dòng)的微分轉(zhuǎn)動(dòng)等效于繞軸x，y，z的3個(gè)微分轉(zhuǎn)動(dòng)，，，并有于是總的轉(zhuǎn)動(dòng)微分可由如下的齊次矩陣描述2023/7/2910證明：取以下的兩個(gè)相繼微分轉(zhuǎn)動(dòng)，則有

略去二階無(wú)窮小量后得：

定理2

微分轉(zhuǎn)動(dòng)與微分轉(zhuǎn)動(dòng)的次序無(wú)關(guān)2023/7/29112023/7/29125.4

微分算子

已知坐標(biāo)系下操作機(jī)的手部位姿可用齊次矩陣T來(lái)描述，經(jīng)過(guò)微分運(yùn)動(dòng)后變?yōu)門(mén)+dT。應(yīng)用相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的左乘法則，T+dT可以表示為：

得2023/7/2913定義微分算子

得2023/7/2914例：設(shè)操作機(jī)的位姿為，求先實(shí)施轉(zhuǎn)動(dòng)，再實(shí)施移動(dòng)的微分運(yùn)動(dòng)dT，以及其后操作機(jī)的新位姿T+dT。

解：由于=0.1，dx=1；=0，dy=0；=0，dz=0.5由定義式得：2023/7/2915則操作機(jī)實(shí)施微分運(yùn)動(dòng)后的新位姿為：

2023/7/29162023/7/29172023/7/2918操作機(jī)實(shí)施微分運(yùn)動(dòng)后的新位姿為：5.4.2微分變換的解釋矩陣表示由于微分運(yùn)動(dòng)所引起的坐標(biāo)系的變化，這個(gè)矩陣中的各元素為：

（5-22）dA意味著該x坐標(biāo)系沿軸移動(dòng)了-1.5個(gè)單位的微小量，沿y軸移動(dòng)了0.8個(gè)單位的微小量，沿z軸移動(dòng)了1.1個(gè)單位的微小量。同時(shí)它也意味著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)使得在n向量的nx分量上改變了-0.3，在分量nz上改變了0.2，而在向量o的分量ox上改變了0.1，分量oy上改變了-0.2，在向量a的分量ay上改變了0.3，在其分量az上改變了-0.1。

2023/7/29225.5

雅可比矩陣及其變換

5.5.1

雅可比矩陣

即為著名的雅可比矩陣。通過(guò)可以實(shí)現(xiàn)從關(guān)節(jié)速度到基坐標(biāo)速度的變換。

考慮操作機(jī)的手爪位姿r

和關(guān)節(jié)變量的關(guān)系用正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示的情況。

對(duì)于6關(guān)節(jié)的操作機(jī)，有

，……，

2023/7/2923展開(kāi)為：同樣對(duì)于m×n維的空間的機(jī)器人，其雅可比矩陣

2023/7/2924雅可比矩陣的一般形式：

一般地,對(duì)于n個(gè)自由度的機(jī)械手末端手爪的角速度和線速度，在基坐標(biāo)系中的描述記為,。如果寫(xiě)成一個(gè)向量具體的推導(dǎo)結(jié)果可表示為一個(gè)雅可比矩陣形式其中,Θ為n×1的機(jī)械手關(guān)節(jié)(旋轉(zhuǎn)或平移關(guān)節(jié))的位移向量。雅可比矩陣J(Θ)表明了機(jī)械手關(guān)節(jié)速度與末端(手爪)直角坐標(biāo)速度之間的線性變換關(guān)系。2023/7/29255.5.2

雅可比逆矩陣當(dāng)機(jī)械手有六個(gè)自由度時(shí),雅可比矩陣J(Θ)為6×6方陣。如果J(Θ)可逆,那末只要給定機(jī)械手末端的直角坐標(biāo)速度,就可以求得相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度

但是,雅可比矩陣J(Θ)是隨著機(jī)械手的形態(tài)變化的,某些形態(tài)下的Θ值就可能使J(Θ)成為奇異,這時(shí)的機(jī)械手末端位置稱(chēng)之為機(jī)械手的奇異點(diǎn)。當(dāng)機(jī)械手處于奇異形態(tài)時(shí),它在直角坐標(biāo)空間的自由度就有所減少,這意味著在直角坐標(biāo)空間的某些方向上,無(wú)論選取什么樣的關(guān)節(jié)速度,機(jī)械手都不能沿著那些方向運(yùn)動(dòng)。奇異點(diǎn)可能處于機(jī)械手工作空間的邊界或工作空間內(nèi)部。2023/7/29265.5.3

操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆矩陣

對(duì)于操作機(jī)

根據(jù)雅可比矩陣的定義式有：則2023/7/2927由操作機(jī)幾何關(guān)系得：

對(duì)t求導(dǎo)得

另外，有對(duì)t求導(dǎo)得

則求雅可比逆矩陣2023/7/29求雅可比逆矩陣根據(jù)逆矩陣的定義：2023/7/2929解：得例5-1試求圖所示的2自由度機(jī)械手的雅可比矩陣2023/7/292023/7/29315.5.4

雅可比矩陣的物理意義

關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2

和分別為和反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)而成。

將雅可比矩陣定義為列向量

以上述例題為例：

有如何驗(yàn)證？2023/7/2934解：已知，則，又知，則由已知矩陣式可知

分析：當(dāng)x＝0時(shí),。又因?yàn)橐鸭僭O(shè)了y＝1，以致，即操作機(jī)手臂長(zhǎng)度不為零，上式分母不為零，不會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題。例5-2：已知：，當(dāng)手部沿著y=1的直線以勻速運(yùn)動(dòng)，試將，表示為x的函數(shù)。2023/7/2935（1）對(duì)于，當(dāng)r趨于0時(shí)，操作機(jī)出現(xiàn)奇異問(wèn)題。此時(shí)操作機(jī)失控，即遇到速度趨于無(wú)窮大的困難。此時(shí)，若或?yàn)橛邢拗禃r(shí)，和趨于無(wú)窮大。事實(shí)上 的條件是很容易辨別和避免的；（2）由以上操作機(jī)的雅可比矩陣及其逆陣的推導(dǎo)可以看出，當(dāng)操作機(jī)具有6關(guān)節(jié)時(shí)，雅可比矩陣的推導(dǎo)將會(huì)更加復(fù)雜。由以上分析可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：2023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/292023/7/29例5-3計(jì)算PUMA560機(jī)器人的雅克比矩陣由于PUMA560的6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，所以其雅克比矩陣含有6列。2023/7/29475.5

雅可比矩陣的力學(xué)意義類(lèi)似于速度的雅可比矩陣形式,我們也可以得到一個(gè)力域中的雅可比矩陣形式,而且可以證明,在此,速度雅可比矩陣是以轉(zhuǎn)置的形式出現(xiàn)的其中,為n×1向量,表示n個(gè)關(guān)節(jié)上的平衡力/平衡力矩,而為作用在手爪上的直角坐標(biāo)力/力矩形成的6×1向量。因此,實(shí)際上表示把手爪上的直角坐標(biāo)力/力矩映射為等價(jià)的關(guān)節(jié)力/關(guān)節(jié)力矩。

機(jī)器人靜力分析2023/7/292023/7/2