2023年6月浙江省高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷02（全解全析）

2023年6月浙江省高考仿真模擬卷02

數(shù)學(xué).全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。

寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.已知集合M滿(mǎn)足{2,3}UMU{123,4,5},那么這樣的集合〃的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來(lái)即可.

【詳解】因?yàn)閧0。=Z7C例，

所以集合阿以為：{o,a\XD,D,a\,{0,0,0,

{400公{0〃0。,{0〃〃04共8個(gè)，

故選：C.

2.已知a>l,b>1,且log2VH=logb4,則帥的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式可得口口口心?口口口膽=0,運(yùn)用基本不等式可求得崎最小

值.

【詳解】回口口口而=口口0077,

嗎口叫〃=[][]口M即：口叫〃=制

囹口口口DD0^Z7=Z7,

團(tuán)〃,Z7,Z7>Z7,

團(tuán)口口口〃Z7>￡7,口口口〃Z7>Z7,

回口口口次的=口口口即+口口％Z724/口口口心?口叫Z7=D,當(dāng)且僅當(dāng)口口口心=口口口。卿Z7=時(shí)取等號(hào),

即：nn>[f=on,當(dāng)且僅當(dāng)Z7=曲取等號(hào)，

故領(lǐng)最小值為16.

故選：C.

3.某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)x(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，采集5組

數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉0(10,2)后，下列說(shuō)法正確的是()

%

.￡(8,11)

5(2,6)

/?C(3,5)

1(1,4).￡>(10,2)

~Ox

A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)R2變小

C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

【答案】D

【分析】從圖中分析得到去掉仄典0后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差

平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可.

【詳解】從圖中可以看出仄血。較其他點(diǎn)，偏離直線(xiàn)遠(yuǎn)，故去掉小典0后，回歸效果更好，

對(duì)于A,相關(guān)系數(shù)㈤越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉火的0后，相關(guān)系數(shù)r變大，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,決定系數(shù)/越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉/如0后，決定系數(shù)Z/7變大，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉火圈0后，殘差平方和變小，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若去掉仄制。后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正

確.

故選：D.

4.已知平面向量日=(1,3),間=2,且=則(2d+b)?(句-b)=()

A.1B.14C.gD.V10

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

【詳解】因?yàn)殁钜徊?方’一龍?方+/=勿,|4=y[OD,\c\=Z7,所以方方=Z7,所以(龍?

(萬(wàn)一0=no-~n-D-D=an-n-口=an.

故選：B

5."清明時(shí)節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂”描述的是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日"清明節(jié)"的景象."青團(tuán)"創(chuàng)于

宋朝，是清明節(jié)的寒食名點(diǎn)之一，也是人們提起清明節(jié)會(huì)最先想到的美食.某地居民喜好的

青團(tuán)品種有4個(gè)，假定每個(gè)人購(gòu)買(mǎi)時(shí)對(duì)于每種青團(tuán)的選擇是獨(dú)立的，選擇每個(gè)品種的概率均

為熱若在清明節(jié)當(dāng)日，某傳統(tǒng)糕點(diǎn)店為顧客只準(zhǔn)備了3個(gè)品種的青團(tuán)，則一位進(jìn)店顧客，

他的要求可以被滿(mǎn)足的概率為（）

AA.-14Bc.-10Cc.-38Dc.-2

8127813

【答案】D

【分析】先求出不被滿(mǎn)足的概率為產(chǎn)，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系即可求解.

【詳解】設(shè)不被滿(mǎn)足的概率為/>,則。=與=今所以被滿(mǎn)足的概率為

故選：D.

6.若與y軸相切的圓C與直線(xiàn)=4x也相切，且圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,b），則圓C的直徑為（）

A.2B.2或gC.[D.彳或竽

【答案】B

【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求圓的方程，從而可得圓的直徑.

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)耳族傾斜角為叱

所以圓亦圓心在兩切線(xiàn)所成角的角平分線(xiàn)Z7=

設(shè)圓心仄〃@,則圓勵(lì)方程為（。一

將點(diǎn)仄〃匈的坐標(biāo)代入，得（。一0°+（近一四°=獷，

整理得心一加7+Z7=Z7,解得Z7=堿。=多

所以圓戚直徑為2或半

故選：B.

523456

7.已知（x+1）（尤—I）=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)（。+。（。一艮"（Z7-肝,結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】因?yàn)椋ā?0（。-0°=貿(mào)。一0°-（。一0°,（。一0/7展開(kāi)式第，+四％+0=

C鄉(xiāng)片。=C$（_0當(dāng)Z7=時(shí)，口-CH-Uflf=—口口由,當(dāng)77=耐，C^-O）0^=

nntf,故口打=一口口聲+[itiif=□,即%=〃

故選：B

8.三棱錐P-ABC中，AB1AC,AB=2,BC=2y/2,PC1AC,PB=275,則三棱錐P-ABC

的外接球表面積的最小值為（）

A.167rB.18TlC.20TTD.21n

【答案】C

【分析】先將三棱錐〃-在長(zhǎng)方體方體中，并建立空間直角坐標(biāo)系。加7,由題目條

件分析出點(diǎn)尸的軌跡方程，再有三棱錐，-Z7礴外接球的球心礴足|因=網(wǎng)找到球心〃

滿(mǎn)足的條件，再求出其最值，從而找到半徑的最小值，解決問(wèn)題.

【詳解】?

如圖，將三棱錐Z7-Z/切畫(huà)在長(zhǎng)方體方體中，并建立空間直角坐標(biāo)系

由a71國(guó)由Z7Z7J_面。％如7,可知尸點(diǎn)在面皿ydCt,

又|陽(yáng)=Lh/O,Z7Z7，面Z7%%￡7,所以△Z7/7媯直角三角形，

故|明=/7,即尸點(diǎn)軌跡為以。為圓心，半徑為4,在Z7。%%上的圓，

設(shè)點(diǎn)仄％〃殳），則總+顯=Z7Z7一①，

因?yàn)椤骷?〃為等腰直角三角形，所以三棱錐。-。的的外接球的球心贓直線(xiàn)Z7/止，

設(shè)點(diǎn)仇0。%）,由|因=|四，得。+而=（%-00+，+（%-%）"一②，

聯(lián)立①②得：%=等=詈，

OUQUQ

設(shè)過(guò)點(diǎn)⑷。和點(diǎn)（分,殳）的直線(xiàn)斜率為。，則。=翳，

o-un

由直線(xiàn)與圓相切，可得。e卜當(dāng)知

則1%1期=而，所以4?=初，所以Z7=ZU原口=皈.

故選：c

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在單位正方體4BCD-&B1GD1中，O為底面A8CD的中心，M為線(xiàn)段CC】上的動(dòng)點(diǎn)（不

與兩個(gè)端點(diǎn)重合），P為線(xiàn)段BM的中點(diǎn)，則（）

A.直線(xiàn)。P與OM是異面直線(xiàn)B.三棱錐&-DBM的體積是定值

C.存在點(diǎn)M,使4G〃平面8OMD.存在點(diǎn)〃，使4iC_L平面

【答案】BC

【分析】選項(xiàng)A易判斷，由為「的?=為_(kāi)%如可判斷B,當(dāng)M為Z7%中點(diǎn)時(shí)，可得Z7%//平面

BDM,即可判斷C,當(dāng)M與%重合時(shí)，口口口上面BDM,然后可判斷D.

【詳解】

A項(xiàng)：因?yàn)榈鋃7Z相交，所以。尸，0M共面，故錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：因?yàn)?=%~%而，Z7OZ7Z7—是正方體，

所以Z7%〃皿;，因?yàn)?7%C平面Z7%%Z7,回；u平面皿乩/7,

所以Z7%//平面27%殳27,所M到面為礴距離不變，所以%「3/7為定值，故正確；

C項(xiàng)：當(dāng)M為27%中點(diǎn)時(shí)，為△Z7Z7殳的中位線(xiàn)，D0//0[]n,

因?yàn)閆7殳C平面SOW,Z7Z7CYWBDM,

所以Z7%//平面BOM,故正確；

D項(xiàng)：當(dāng)A7與火重合時(shí)，因?yàn)?1Z7。以71畋7nz7殳=Z7,叫叫u平面口叫口口,

所以Z7Z71平面Z7。4外,因?yàn)?Z7u平面Z7174%,所以Z7Z71%77,

同理可證區(qū)7_L%/7,因?yàn)閆7Z7n/Z7=Z7,叫如u平面BDM,所以生Z7_L平面

又因?yàn)椤ú慌c端點(diǎn)重合，故錯(cuò)誤.

故選：BC

10.下列說(shuō)法正確的有()

A.若事件4與事件B互斥，則PQ4)+P(B)=1

B.若PG4)>0,P(B)>0,P(8|A)=P(B),則P(A|B)=PG4)

C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,cr),P(X<3)=0.6,則P(XW1)=0.4

D.這組數(shù)據(jù)4,3,2,5,6的60%分位數(shù)為4

【答案】BC

【分析】利用互斥事件的定義判斷A,利用條件概率公式和獨(dú)立事件的定義判斷B,利用正

態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性判斷C,利用百分位數(shù)的定義判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,若事件Z7與事件Z?斥，則仄0+4。，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,若以0>Z7,KO)>口，艮晌=嗯=艮

則仄初)=仄0仄0,即事件a與事件確互獨(dú)立，

所以仇/0=貿(mào)0,故B正確；

選項(xiàng)C：若隨機(jī)變量明艮從正態(tài)分布00。，仄Z7WO)=D.D,

則及Z7>Z7)=Z7-仄Z7W0=ZZZ7,

所以aZ7S0=仄。>。=ZZZ7,故C正確；

選項(xiàng)D:將數(shù)據(jù)砒行排序得04口々〃，共g,

Z7X￡7/2%=0,所以這組數(shù)據(jù)酹JZ7。％分位數(shù)為等=ZZZ7,故D錯(cuò)誤；

故選：BC

11.設(shè)尸為拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于4（%,力）8（>2，丫2）

兩點(diǎn)，過(guò)B作與x軸平行的直線(xiàn)，和過(guò)點(diǎn)尸且與AB垂直的直線(xiàn)交于點(diǎn)N,AN與％軸交于點(diǎn)M,

則（）

A.%62+%丫2為定值

B.當(dāng)直線(xiàn)I的斜率為1時(shí)，△04B的面積為（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

C.若Q為C的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)Q4QF,QB的斜率成等差數(shù)列

D.點(diǎn)M到直線(xiàn)FN的距離為々

【答案】ACD

【分析】A.設(shè)直線(xiàn)用J方程為勿=￡7-也代入拋物線(xiàn)方程化為仇力-/=。，利用根與

系數(shù)的關(guān)系可得殳為=-/,結(jié)合拋物線(xiàn)方程可得殳為,進(jìn)而判斷出正誤.B.當(dāng)直線(xiàn)用J斜率

為曲，直線(xiàn)質(zhì)方程為Z7=Z7一與代入橢圓方程可得：/-￡7以7+9=77,利用根與系數(shù)的

關(guān)系及拋物線(xiàn)的定義可得|因，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得點(diǎn)底（1直線(xiàn)用J距離Z7,可得△

。。用J面積，進(jìn)而判斷出正誤.C.設(shè)-也少，利用斜率計(jì)算公式可得%°,口明,口聊計(jì)算

OOoa-nD0-%。,進(jìn)而判斷出正誤.D.過(guò)點(diǎn)祚必_L西垂足為Z7,利用相似的性質(zhì)可得擺=-4

\uU\-UQ

擺=瞿，進(jìn)而得出|即，即可判斷出正誤.

m\uu\

【詳解】解：A.Z7（9Z7）,設(shè)直線(xiàn)南方程為必=Z7-%

聯(lián)立[nn~*，化為/~口口口口一中=口，

\Uu=U—

IO

*,*口口口口——[P9口口+口口—[][][],

,,,曲7口口口口=（口口喻°—cPt?1?口口口口~—?

殳%+%殳=一!/為定值，因此A正確.

B.當(dāng)直線(xiàn)砒斜率為耐，直線(xiàn)而方程為Z7=27-%

代入橢圓方程可得：加-皿7+《=27,

:.%+%=Z7Z7,A|口隊(duì)=%+%+〃=

點(diǎn)旗直線(xiàn)旗J距離Z7=機(jī)學(xué)，

Z7磷面積為卜Z7Z7X苧=與區(qū)因此B不正確.

C?設(shè)〃（一則殳。=事=一3加產(chǎn)衰藥舞^喙=舞那

.nnnn00oooa-noooona-ooo

"uaoa-n00-ono=-7--^-------源才，

通分后分子=一］■咨+的（徭++K叫-的（用+為+艮口瓦一如（用+矽］,

=一〃［?%%）’+叭品+的+/+/（%咫+4獷一眥-助+〃（附%+nDcf-

口由一口刈=一況4生％）0+S（用+為+必+〃％%（%+%）+〃（%+殳）一

心（咫+矽-ODLP］,=-0\隊(duì)比%）"+ifonon（%+%）+加（殳+%）-必］,

=-Z7M_好+/-外孫+改口?-喇=口

即77/物-%-%°=Z7,則直線(xiàn)Z7Z7,Z7Z7,面的斜率成等差數(shù)列，因此C正確.

D.如圖所示，

過(guò)點(diǎn)祚Z7Z71必，垂足為。，???黑=粵，.?.黑=女/,

I陽(yáng)—Ug\UU\—Ug

又需喑，喟=誓?,?附=粵=粵=個(gè)?=與因此。正琳

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=xlgx-x-lgx(x>1)的零點(diǎn)為X［，函數(shù)g(x)=x?10*-x-10?x>

1)的零點(diǎn)為X2，則()

A.%1+%2=%1%2B.%i+x2>11

C.與一%2V1°*2—lg;qD.久1—%2>9

【答案】ABD

【分析】由題意可得%Jg%-殳一lg%=。，（%>。，令lg%=Z7>。，可得%=a九代

入方程可得加必-27=0,變形為（+3-Z7=Z7,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及已知％而%-

旅=27,（%>0,可得％=。=口口外,口產(chǎn)吁,進(jìn)而根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以

及導(dǎo)數(shù)判斷出結(jié)論的正誤.

【詳解】由題意可得%?lg%-%-lg%=%（%>0，

令lg&7=Z7>Z7,則殳=a/7,

代入方程可得z7M7-Off-D=0,（Z7>0}

變形為介焉-〃=〃，

令仄⑦=（+!一O'a>a,

可知函數(shù)仄。在（0+0）上單調(diào)遞減，

又為*-%-必。5+嬴一/7=/7,(4>0,

%。=|g%,即％=000°.

由外譏涉一%一3=Z7,二=Z7,即%+%=1；%,因此A正確；

%+%=%+冊(cè)>￡7+以7=如因此B正確；

%一%=〃M-lg%,因此C不正確；

令艮0)=Olf-0。>U),則=Z7Z70lnZ7Z7-Z7>Z7,

；,函數(shù)貧。在(0+0)上單調(diào)遞增，二貿(mào)。>貧0=/7,

二年一%=Z7曲一%>Z7,因此D正確.

故選：ABD

第n卷

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2z+三=6-i(i是虛數(shù)單位)，則z的虛部為.

【答案】-1

【分析】令口=口”,則萬(wàn)=/7-凡通過(guò)復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】令。=。+4,則力=。一4,

所以以7+5=仄Z7+￡1)+(Z7-4)=Z7Z7+4=口一口，故冰J虛部為一以

故答案為：-1.

14.已知圓G：(x—a)?+y2=4與+(y—b)2=l(a,b6R)交于4B兩點(diǎn).若存在a,使

得|4B|=2,則b的取值范圍為.

【答案】［-

【分析】根據(jù)圓與圓相交弦所在直線(xiàn)方程性質(zhì)求得直線(xiàn)。。的方程，利用直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)

公式，求得a端足的等式關(guān)系，根據(jù)方程有解，即可得用J取值范圍.

【詳解】圓生:(77-0，+/=用J圓心殳(0。，半徑生=4圓%:/+(〃-0"=岫圓心

以。0,半徑%=。

若兩圓相交，貝！1|生一⑷<所以Z7<Z7,即。</+/</7,

又兩圓相交弦處所在直線(xiàn)方程為：(￡7-00+Z/7-〃一(Z7-D)°=H-啷口如一口口口-田、

〃+Z7=Z7

所以圓心殳⑷。到直線(xiàn)%的距離為=\"—"圓心殳(00到直線(xiàn)的距離殳=

l/T-Z^-Z/W+q

《口田+皿9

則弦長(zhǎng)|因=幅二歷=幅二歷=〃,所以嚶，則，所以/+/=〃,

\4口中+口中

若存在Z7,使得|因=Z7,則加￡4即一匹WZ74麗所以領(lǐng)取值范圍為［-而制.

故答案為：［-詼

15.若定義在R上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足:Vx,yeR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)/(y)「llf(0)=1,

則滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)f(x)可以為.(寫(xiě)出一個(gè)即可)

【答案】仄。=Z7(答案不唯一仄。=C0SZ7她可)

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)仄。為偶函數(shù)，可取仄0=口,在證明這個(gè)函數(shù)符合題意即可.

【詳解】令口=口,則仄0+艮-0)=以。，

所以貧-0="0,所以函數(shù)仄0為偶函數(shù)，

可取貧0=口,則仄〃+Z7)=0=ZX0==Z7,

所以V0Z7CR,仄Z7+0+仄Z7-0=Z7仄。仄。，

所以函數(shù)式0=。符合題意.

故答案為：艮6=工(答案不唯一仄。=cos。。也可)

16.三棱錐。-4BC中，DCJ_平面48C,AB1BC,AB=BC=CD=1,點(diǎn)P在三棱錐。-ABC

外接球的球面上，且N4PC=60°,則DP的最小值為.

【答案】書(shū)酒

【分析】本題婕離最小時(shí)，Z7點(diǎn)的位置不好確定，可考慮用空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題.

【詳解】如圖所示：

分別取期Z7Z粕中點(diǎn)27、Z7,連接Z7Z7、曲則a7II00,

由題意知㈤1平面磔所以“7100,DDL00.

因?yàn)閆7Z7=□口，所以口口100,即Z7。、口口、。曬兩垂直.

以媯坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則如40,。(一機(jī)耳⑷，

。(-也哨，口(-繆小嗚器,q

3=/(-?”+得)"=1口口△幽斜邊a7=e易知媯?cè)忮F。以7。外接球球心，且半

徑口罟

設(shè)點(diǎn)貧則〃7+Z/7+/=T

前=(-*-口,-'一區(qū)-心,而=v一*一口

由題意口口口皿箭a

?

四'解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫(xiě)出

文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟.

17.在銳角△由中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a，b，c,滿(mǎn)足袈一1二sin27l-sin2C

sin2F

且工豐C.

⑴求證：B=2C；

⑵已知BD是ZABC的平分線(xiàn)，若a=4,求線(xiàn)段BC長(zhǎng)度的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)(當(dāng)砌

【分析】(1)由正弦定理得/=/+Z7Z7,又由余弦定理得獷=if+成一OODCOS。,結(jié)合整

理可得角的關(guān)系；

(2)由正弦定理得—行,=累又因?yàn)榈臑殇J角三角形且。=Z7Z7,結(jié)合三角函數(shù)值域可

求得線(xiàn)段。冰度的取值范圍.

?、*/八u,HKjbc.zsSinZ7-8inZ7sin'+sin%Z7sinZ7+sinZ7

【詳解】(l)由題意得一7—=--5—,即RnT：=—E~.

smZ7sinZ7smZ7sinZ7

由正弦定理得/=〃+〃〃，

又由余弦定理得小=/+[f-Z7Z7￡tOSZ7,

所以Z7=Z7-頌os/7,故sin〃=sin/7一%in/Tcos。，

故sin〃=sin(Z7+0)-的in應(yīng)os〃，整理得sin〃=sin(Z7-0,

又△Z7Z7ZZ為銳角三角形，則Z76(口3，。一3

所以□=口-0,因此77=如

(2)在的機(jī)由正弦定理得_^=告所以_^=名

s\x\OODDsin//sin/TZWsinZ/

所以3=懸=鬻

因?yàn)椤?7媯銳角三角形，且，=的，所以Z7<Z7/7<2，解得

"一27y

故當(dāng)<COSZ7<4,所以噂<oo<D4O-

18.數(shù)列｛%｝的前/i項(xiàng)和為S,且3■+號(hào)+普+—卜曰=3-2；；

n

⑴求數(shù)列｛Qn｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足瓦⑦&???bn=Sn,求數(shù)列｛lnbn｝的前〃項(xiàng)和〃.

【答案】⑴％=00-0

(2)Z^=ZHDZ7

【分析】（1）利用“退一作差〃法求得生

（2）先求得為,然后求得為,進(jìn)而求得口口生,利用裂項(xiàng)求和法求得外

【詳解】（1）由*+*+*+…+，=〃一半

當(dāng)〃=zM,/=口—一口口=口1

嘴+$*+…+簧=口-耨（0叫

啜=（。一爺”倒=等￡（〃20,Z7fl=DO-Z^Z7>0）,

■.Z7=耐上式也符合，

團(tuán)47=口口-Z7,

（2）0數(shù)列｛㈤是等差數(shù)列，

啊=（竄=凡

得：…殳=鞏

當(dāng)口N口,且時(shí)，殳殳殳…見(jiàn)0=（Z7-0。，

叫=晝=（言）'g。）,

當(dāng)〃=zM,na=n,

（o,o=orn,n=n

叫寸（￡）%〃皿%=沁總心〃’

0Z7=屈*j9口口=口,

當(dāng)Z7N曲

DQ—口口%+口口為+口口%+…+口口％

=Z7+0口口〃一D0Z74-DDZ7-DDZ7+…+DDZ7-DD（Z7-0）］

=ZUDZZ

團(tuán)％=ZDDZZ

19.如圖，在多面體ABC-AmiQ中,AA\“BB\“CG，4411平面/當(dāng)使,△48停1為等

邊三角形，&Bi=BBi=2,4&=3,CC1=1,點(diǎn)M是4c的中點(diǎn).

⑴若點(diǎn)G是△&B1G的重心，證明；點(diǎn)G在平面B&M內(nèi);

(2)求二面角%-BM-G的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

喈

【分析】(1)取A0殳中點(diǎn)N,連接％Z7,MN,由點(diǎn)G是△%%%的重心，得出。€%。，

再證明四邊形〃殳如是平行四邊形，即可證明點(diǎn)減平面Z7殳訥；

(2)解法1：由磔)平面%為外,口口0||OOu||叩口,得出平行四邊形〃殳。。為矩形,得出以7100,

再由點(diǎn)理Z70的中點(diǎn)得出以71%殳，證明出加7_L平面為&/Z7,得出Z7Z71/即可得出Z7/7Z7彼

是所求二面角的平面角，求出Z7/7ZM的正弦值即可得出答案；解法2：建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求出平面殳加和平面Z7/7生的一個(gè)法向量，求出兩平面夾角的余弦，再求出正弦即可.

【詳解】(1)證明：取A0%中點(diǎn)N,連接口曲MN,如圖所示，

因?yàn)辄c(diǎn)6是4仇%火的重心，

故G一定在中線(xiàn)%狂，

因?yàn)辄c(diǎn)虛面的中點(diǎn)，點(diǎn)慮47%的中點(diǎn)，

所以是梯形，殳生勵(lì)中位線(xiàn)，

所以*□□□+00g)=0=00D,且Z7Z7IIODo||DD0,

又口口oII叫IIm口,

所以必II叫,

所以四邊形，殳凝平行四邊形，

因?yàn)辄c(diǎn)Z76000,瓦口u平面皿〃7,

所以點(diǎn)Z76平面皿龍7,

即點(diǎn)族平面做7訥.

(2)解法1:

因?yàn)闆_平面生殳外,onD||0Dniinna.

所以Z7//1平面為火外,

又因?yàn)闉閆7u平面殳%%，

所以Z7%1%。，

因?yàn)樗倪呅??；?。。是平行四邊形?/p>

所以四邊形a方位是矩形，Z7Z7H□孫

所以Z7Z71Z7Z7,

因?yàn)椤黛癁殪癁榈冗吶切?，點(diǎn)虛殳為中點(diǎn)，

所以為Z71nooD,

所以Z7Z71Oono,

又因?yàn)?%U平面%%Z7,DOU平面口抵口,殳為n/7Z7=Z7,

所以Z7Z71平面殳殳Z7,

又因?yàn)榭诳诳趗平面口曲口,

所以叫,

所以Z7a7。就是所求二面角的平面角，

因?yàn)闉閆7=小皿+口利=>/〃+/=6

所以sin切題=穿靠=孑，

故二面角%-0D-%的正弦值為*

解法2：以生為原點(diǎn)，為為所在直線(xiàn)為x軸，垂直于殳％的直線(xiàn)為y軸，生晰在直線(xiàn)為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則為(40,0},0^0,0,0,0^0,40,0),嗯與0，

甌=O'-@質(zhì)=(凱當(dāng)@，

而。=《與-4,

設(shè)平面3%與平面Z7Z7礴法向量分別為方=(%%,%),方=(%%%),

-Dn--na-ODn=a

則°D,不妨取%=〃則//=(a匹0,

.研一片瓦=口

-O--D=0

o0n

n°r^，不妨取％=0Z7=(〃歷0,

2+?%一〃％=27

所以cos04=j^=萼,

故二面角為-Z7Z7-4的正弦值為當(dāng)

20.盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性.某品牌推出

2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2

款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購(gòu)買(mǎi)與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)

買(mǎi)1件盲盒套餐.開(kāi)售第二日，銷(xiāo)售門(mén)店對(duì)80名購(gòu)買(mǎi)了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得

到如下列聯(lián)表:

4款盲盒套餐B款盲盒套餐合計(jì)

年齡低于30歲183048

年齡不低于30歲221032

合計(jì)404080

⑴根據(jù)2x2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為A,8款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān);

(2)甲、乙、丙三人每人購(gòu)買(mǎi)1件8款盲盒套餐，記隨機(jī)變量f為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求f的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶某消費(fèi)者在開(kāi)售首日與次H分別購(gòu)買(mǎi)了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件

單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,求該隱藏款來(lái)自于8款

盲盒套餐的概率.

n(ad-bc)2

附：K2=.其中n=a+b+c+d,

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>fc0)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.6350.828

【答案】⑴表格見(jiàn)解析，有

(2)分布列見(jiàn)解析，a0=(

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算Z/7,在進(jìn)行判斷即可；

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，進(jìn)行計(jì)算得分布列及數(shù)學(xué)期望即可；

(3)根據(jù)全概率公式及條件概率公式分析計(jì)算即可.

【詳解】(1)零假設(shè)為：殳：A,5款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得/=風(fēng)、鬻:黑=0.00.000,

ULrUl/uLrUU

根據(jù)小概率值殳=〃/70的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷殳不成立，

即有Z7咯的把握認(rèn)為A,5款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān).

(2)底所有可能取值為0,1,2,3,

“口=m=c爬f=B，KU=U)=C^=*,仄0=O)=C%T，艮U=m=

C颼吟

所以用］分布列為：

Z70123

DZ70Z7

P

~O~D~D~D

00=Z7X.Z7X*Z7X*Z7X\"或爪0=Z7X;今.

(3)設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,

設(shè)事件%:隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于4款盲盒套餐，

設(shè)事件如隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于8款盲盒套餐，

/0=火㈤?仄㈤㈤+仄%).仄㈤％)=訝+(?鋁=}

故由條件概率公式可得

如刖=幽=硒）,譬㈤=■1=2

則h00

22

21.已知點(diǎn)4（2,1）在雙曲線(xiàn)C套一3三=l（a>1）上，直線(xiàn)/交C于P,。兩點(diǎn)，直線(xiàn)4P,AQ

的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2vL求^PAQ的面積.

【答案】（1）—27；

（2呼

''0

【分析】（1）由點(diǎn)/在雙曲線(xiàn)上可求出。，易知直線(xiàn)/的斜率存在，設(shè)ZZZ7=Z7Z7+Z7,

仄%,%）,仄生㈤，再根據(jù)％7+4。=Z7,即可解出/的斜率；

（2）根據(jù)直線(xiàn)典Z7。的斜率之和為0可知直線(xiàn)如。。的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)口口口的727=WZBP可

求出直線(xiàn)的崎斜率，再分別聯(lián)立直線(xiàn)的砥雙曲線(xiàn)方程求出點(diǎn)ZZ硒坐標(biāo)，即可得到直

線(xiàn)磷方程以及a7的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)A到直線(xiàn)Z70的距離，即可得出a7

的面積.

【詳解】⑴因?yàn)辄c(diǎn)磔0在雙曲線(xiàn)W—W=及口>0上，所以右一忌=口,解得獷=0,

即雙曲線(xiàn)〃5—〃=/7.

易知直線(xiàn)/的斜率存在，設(shè)〃￡7=a7+Z7,）,仄％殳），

（0=ZZ7+Z7

聯(lián)立可得，I□一口力中一口口口口一口#一口=口,

所以,口口、瓦=-果］瓦口口二?當(dāng)□=DDlf［P-貝必+0（必一Z7）>Z7=>if-0+Olf>

祖Z7H土耳.

所以由%.+為=阿得，臺(tái)+臺(tái)=〃，

即（為一水叫+Z7-0+（殳-0）（口瓦+0-［］）=0,

輿口口口口口"+（Z7-Z7-她（%+㈤-仄口-n）=a,

所以Z7Z7X需+（Z7-Z7—她（一黑）一“/7一。=Z7,

化簡(jiǎn)得，/+仇7—Z7+頗。+0=￡7,即（27+0（應(yīng)7—Z7+0=。，

所以27=一瞰口=0-00,

當(dāng)附，直線(xiàn)9〃=/7/7+/7=//7-0+啦點(diǎn)貿(mào)00,與題意不符，舍去，

故。=-Z7.

（2）［方法一］:【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化

不妨設(shè)直線(xiàn)如曲的傾斜角為0Z7（Z7<*0,因?yàn)椋?%〃=Z7,所以Z7+Z7=口，由（1）知,

OQU/J=Ulf+Z7>Z7,

當(dāng)〃幽在雙曲線(xiàn)左支時(shí)，0000=00,所以口口口a7二小區(qū)

即JZO口口5+ODOZ7-夜=Z7,解得口口口。=耳（負(fù)值舍去）

此時(shí)以與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，與雙曲線(xiàn)左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；

當(dāng)〃幽在雙曲線(xiàn)右支時(shí)，

因?yàn)榭诳诳谘?77=啦,所以口口口（。-0=o/b,即口口口以7=-ZA/a

即，0口口%-口口口/7-匹=Z7,解得口口口。=yjo（負(fù)值舍去），

于是，直線(xiàn)如，=/瓦Z7-0+Z7,直線(xiàn)772/7=-應(yīng)/7-0+Z7,

Z=V^（Z7-0+Z7?

聯(lián)立｝rf嚴(yán)一口可得，］/+［赤_0/7+/7。_麗=/7,

a

因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為〃，所以為=絲/，％=等,

坦,nOD+D\［O——DTO—0

同理可得，口口=——9%=——.

所以如。+。一《=/7,|而|=髭，點(diǎn)倒直線(xiàn)Z7。的距離"忸尊=緣,

uuyfuu

故4Z7切的面積為"與x萼=等.

［方法二］:

設(shè)直線(xiàn)AP的傾斜角為4由口口027/7以7=詆得口口口等=當(dāng)

由勿+血7/7=□,得％=口口口。=yfa,即色型=6

口L口

聯(lián)立髭=①及g—總=喇%=0D-0>/07D/D-0

，on=—,

0D

i=tYairi00+D^D—^0\[0-Du_—no/--no

同理，口口=-—90口=~—，故&7+17=萬(wàn)，口口口口=~

而|￡7Z7|=yfe^Og—q，|Z7Z7|=溝%—團(tuán)，

由口口口皿7/7=DyJn,得口口UZ7Z7Z7Z7=

故外儂?=(I四I四口口口血7=的％殳-0火+㈤+。=竽

22.已知函數(shù)f(x)=(mx-l)ex+n(m,neR)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線(xiàn)方程為y=ex+2-e,

g(x)=持

⑴求f(x)的值域;

⑵若f(a)=/(b)=g(c)=g(d),且a<b,c<d,證明：①c+d>0；(2)b+c>0.

【答案】(1)[?+0)

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求出/（。=（以7+Z7-0e。，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線(xiàn)方程.結(jié)合已知，

即可求出4勵(lì)值.然后利用導(dǎo)函數(shù)得出/0的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合。=e"的

取值，即可得出答案；

（2）求出a（0=肅，得出火。的單調(diào)性以及值域，根據(jù)仄0以及負(fù)0的性質(zhì)，作