數(shù)學(xué)分析III課程教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)分析(III)》教學(xué)大綱【課程編號】BJ25103【課程類別】專業(yè)基礎(chǔ)課【學(xué)分?jǐn)?shù)】7【開設(shè)學(xué)期】3【學(xué)時數(shù)】110【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，信息與計算科學(xué)【先修課程】先修課程：高等代數(shù)，解析幾何，數(shù)學(xué)分析（I），數(shù)學(xué)分析（II）一、課程性質(zhì)與任務(wù)性質(zhì)：本課程是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)研究能力有著重要的意義，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、概率論、實(shí)變函數(shù)與泛函分析等后繼課程的階梯。對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)本課程也為深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。

任務(wù)：本課程的任務(wù)是使學(xué)生獲得極限論、一元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的系統(tǒng)知識。通過本課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生：1

對極限的思想和方法有較深刻的認(rèn)識，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。2

正確理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，基本上掌握數(shù)學(xué)分析中的論證方法，獲得較熟練的演算技能和初步應(yīng)用能力。3對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，能應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的有關(guān)知識深入淺出地處理好中學(xué)教材。二、課程的基本要求1、正確理解以下概念和它們之間的聯(lián)系函數(shù)、極限、連續(xù)、一致連續(xù)、實(shí)數(shù)集的確界、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分、兩類曲面積分、兩類廣義積分的斂散性、數(shù)項級數(shù)的斂散性、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。2、正確理解以下基本定理和公式，并能正確應(yīng)用極限的主要定理、實(shí)數(shù)的基本定理、微分中值定理、泰勒定理、微積分基本定理、隱函數(shù)存在定理、一致連續(xù)與一致收斂性定理、格林公式、斯托克斯公式三、課程主要內(nèi)容及學(xué)時分配第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

[教學(xué)內(nèi)容]：平面點(diǎn)集概念（鄰域，內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，開域，閉域等），平面點(diǎn)集的基本定理——區(qū)域套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則、致密性定理。二元函數(shù)的概念，二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n維空間與n元函數(shù)（距離，三角形不等式，極限，連續(xù)）*。[教學(xué)時數(shù)]：13學(xué)時。第十七章多元函數(shù)的微分學(xué)

[教學(xué)內(nèi)容]：偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，高階導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性,高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。[教學(xué)時數(shù)]：19學(xué)時。第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用[教學(xué)內(nèi)容]：隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關(guān)，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。[教學(xué)時數(shù)]：13學(xué)時。第十九章含參量積分

[教學(xué)內(nèi)容]：含參量積分概念，連續(xù)性，可積性與可微性，積分順序的交換，含參量廣義積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法，連續(xù)性，可積性與可微性，Γ函數(shù)與β函數(shù)。[教學(xué)時數(shù)]：15學(xué)時。第二十章曲線積分

[教學(xué)內(nèi)容]：第一型和第二型曲線積分概念與計算，第一型曲線積分與第二型曲線積分二者之間形式上的轉(zhuǎn)化關(guān)系。[教學(xué)時數(shù)]：9學(xué)時。第二十一章重積分

[教學(xué)內(nèi)容]：二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計算（化為累次積分），格林公式以及曲線積分與路徑無關(guān)條件，二重積分的換元法（極坐標(biāo)變換與一般變換），三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換與一般變換）。重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心*，轉(zhuǎn)動慣量*），n重積分*。無界區(qū)域上廣義二重積分的收斂性概念*，無界函數(shù)的廣義二重積分的收斂性概念*。[教學(xué)時數(shù)]：25學(xué)時。第二十二章曲面積分

[教學(xué)內(nèi)容]：曲面的側(cè)，第一型曲面積分與第二型曲面積分概念與計算，奧—高公式，斯托克斯公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。場論初步*（場的概念，梯度場，散度場，旋度場，管量場與有勢場），微分形式*，外微分與一般斯托克斯公式*。[教學(xué)時數(shù)]：16學(xué)時。四、教學(xué)方法的原則建議教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)、極限、無窮小量的階、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、中值定理、泰勒公式、函數(shù)的性態(tài)研究、不定積分的概念與計算、實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理、定積分應(yīng)用、無窮級數(shù)斂散性定義、正項級數(shù)斂散性判別、絕對收斂于條件收斂的概念、函數(shù)項級數(shù)的收斂于一致收斂定義、冪級數(shù)收斂半徑半徑及收斂域、函數(shù)的傅里葉級數(shù)及函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分及多元函數(shù)微分法、二重積分概念與計算、三重積分的概念與計算、兩類線積分的概念與計算、兩類面積分的概念與計算、格林公式、奧高公式、斯托克斯公式、曲線積分與路徑無關(guān)條件。教學(xué)難點(diǎn)：極限“”定義、海涅極限存在判定定理、確界定義及實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理證明、一致連續(xù)性判別、泰勒公式、分段函數(shù)（分段點(diǎn)的積分、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的討論）、定積分存在條件及定積分的應(yīng)用、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別、二重極限的計算、隱函數(shù)存在性定義的分析證明、含參量無窮積分的計算、重積分化為累次積分的積分限確定、格林公式、奧高公式、斯托克斯公式的應(yīng)用。教學(xué)方法提示與指導(dǎo)：教師備課不應(yīng)該拘泥一本教材，多參考幾本，在不影響幾本要求的前提下，對大綱所列順序可做適當(dāng)調(diào)整。為避免教學(xué)上難點(diǎn)過于集中。有些定理課現(xiàn)提并應(yīng)用，定理證明推遲進(jìn)行。在教授函數(shù)概念時，用映射的觀點(diǎn)定義函數(shù)、多元函數(shù)、函數(shù)組及反函數(shù)，與坐標(biāo)變換的概念；教授關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理時，可以區(qū)間套定理為主要工具證明其他定理；在定積分應(yīng)用中用微元法教授，配合一定數(shù)量習(xí)題課精講多練，培養(yǎng)學(xué)生計算技能及邏輯分析推理能力。五、考核方式及成績構(gòu)成閉卷考試，平時占30%,考試占70%六、推薦教材與參考書目1授課教材:數(shù)學(xué)分析(上、下冊)(第三版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社,2001年。該教材是面向21世紀(jì)課程教材，普通高等教育“九五”國家教委重點(diǎn)教材，獲國家優(yōu)秀獎。2指導(dǎo)書目：(1)數(shù)學(xué)分析教程，常庚哲、史濟(jì)懷，高等教育出版社，2003年。推薦理由：本書是“十五”國家級規(guī)劃教材，書中對當(dāng)代理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)中的分支作了純數(shù)學(xué)分析的介紹?？晒┹^為優(yōu)秀的學(xué)生閱讀，增