《基本不等式與最大（?。┲怠?省賽獲獎

基本不等式與最大(小)值1.進一步掌握基本不等式；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡單的實際問題.(重點)2.利用基本不等式求最大值、最小值.(難點)3.基本不等式求最值的使用條件.(易錯點、易混點)兩個正數(shù)的積為定值，它們的和一定能在兩個數(shù)相等時取得最小值嗎？提示：不一定.應(yīng)用基本不等式求最值時還要看等號能否取到.如：sinx與,x∈(0,π),兩個都是正數(shù)，乘積為定值.但是由0<sinx≤1知sinx≠2,所以不能在兩數(shù)相等時取得最小值.利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題：（1）代數(shù)式中，各項必須都是正數(shù).例如函數(shù)式x+，當x<0時，不能錯誤地認為x+≥2成立，并由此得出x+的最小值是2.事實上，當x<0時，x+的最大值是-2.（2）代數(shù)式中，含變量的各項的和或積必須是常數(shù).（3）只有當各項相等時，才能利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系求某些函數(shù)的最大值或最小值.利用基本不等式求函數(shù)的最值1.基本不等式求最值的條件(1)各數(shù)(或式)均為正；(2)和為定值或積為定值；(3)等號能成立.即“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不可.2.利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)若題目條件中無明顯“定值”，常用的技巧有“拆項”、“添項”、“常值代換”等方法，使其和為定值或積為定值.(2)若等號取不到，可利用求函數(shù)最值的其他方法，如單調(diào)性法，數(shù)形結(jié)合法，換元法，判別式法等.

解題過程中一定要注意“等號”成立的條件.【例1】(1)已知x<，求y=1-4x+的最小值.(2)已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值.【審題指導(dǎo)】(1)利用添項法把1-4x變?yōu)?-4x,使其能利用基本不等式，(2)通過變形使其和為定值.【規(guī)范解答】(1)∵x<，∴4x<5，即5-4x>0，∴y=5-4x+-4≥=2-4=-2，當且僅當5-4x=，即x=1時(x=,舍)上述不等式等號成立.∴當x=1時，y有最小值-2.(2)已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤當且僅當3x=4-3x,即x=時“=”成立.∴當x=時，x(4-3x)的最大值為.【變式訓(xùn)練】(1)當x>1時，求y=3x++1的最小值.(2)設(shè)0<x<2,求函數(shù)y=的最大值.【解題提示】(1)函數(shù)化為y=3(x-1)++4即可.(2)可利用及3x+(8-3x)=8“和”為定值這一條件求解.【解析】(1)由x>1得x-1>0，則y=3x++1=3(x-1)++4≥+4，當且僅當3(x-1)=，即x=時，取等號.∴當x=時,y=3x++1的最小值是(2)∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=當且僅當3x=8-3x,即x=時取等號,∴當x=時,y=的最大值是4.利用基本不等式求條件最值利用基本不等式求條件最值的方法(1)配湊法：根據(jù)已知條件配湊基本不等式所滿足的條件.(2)函數(shù)法：把已知條件代入所求的式子，再把所求的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.(3)構(gòu)造法：通過不等式的放縮將所給等量關(guān)系變?yōu)椴坏仁?

利用配湊法時，主要是根據(jù)條件把式子配成“和為定值”或“積為定值”的形式.【例2】已知x>0，y>0，且，求x+y的最小值.【審題指導(dǎo)】本題中已知，需求x+y的最小值，可借助“1”的特性求解，把x+y轉(zhuǎn)化為（x+y）（）求解即可.【規(guī)范解答】∵∴x+y=(x+y)·∵x>0，y>0，∴當且僅當，即y=3x時，取等號.又，∴x=4，y=12.∴當x=4，y=12時，x+y取得最小值16.【互動探究】若把本例中的條件改為,其他條件不變，求x+y的最小值.【解析】∵x+y=(x+y)·1=(x+y)·()=2+8+,x>0,y>0,∴x+y≥10+=18,當且僅當時等號成立,即y2=4x2,∴y=2x,又∴x=6,y=12,∴當x=6,y=12時,x+y有最小值18.【例】已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此時x、y的值.【審題指導(dǎo)】本題中已知3x+4y=12,要求lgx+lgy的最大值及對應(yīng)的x，y的值，即求xy的最大值及取最大值時，對應(yīng)的x、y的值，可借助基本不等式結(jié)合3x+4y=12求解.【規(guī)范解答】∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴xy=·3x·4y≤∴l(xiāng)gx+lgy=lgxy≤lg3.由解得∴當x=2，y=時，lgx+lgy取得最大值lg3.【變式備選】已知x，y∈R+，且滿足，則xy的最大值為________.【解析】∵x＞0，y＞0且1=∴xy≤3.當且僅當時取等號.答案：3利用基本不等式解應(yīng)用題1.在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點(1)設(shè)變量時一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；(4)回到實際問題中去，寫出實際問題的答案.2.利用基本不等式解決實際問題的關(guān)鍵是使用變量表示求解目標，可以建立一個變量的函數(shù)關(guān)系，也可以建立滿足一定條件的二元函數(shù)關(guān)系.

解決實際問題時一定要注意自變量的取值范圍.【例3】如圖,某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800平方米的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地，當矩形溫室的長寬各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？【審題指導(dǎo)】本題可用未知量表示溫室的一邊長，把種植面積表示為自變量的函數(shù)，利用基本不等式求解.【規(guī)范解答】設(shè)矩形的一邊長為x米，則另一邊長為米，則種植蔬菜的區(qū)域一邊長為（x-4）米，另一邊長為（）米.由得4＜x＜400,∴其面積為S=(x-4)(-2)=808-（2x+）≤808-2=648當且僅當2x=，即x=40∈(4,400)時等號成立.答:當矩形溫室的長寬分別為40米、20米時,蔬菜的種植面積最大，為648平方米.【變式訓(xùn)練】(2011·鹽城模擬)如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現(xiàn)欲將其擴建成一個更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點C，其中AB=30米，AD=20米.記三角形花園APQ的面積為S.(1)當DQ的長度是多少時，S最小？并求出S的最小值.(2)要使S不小于1600平方米，則DQ的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

【解題提示】設(shè)DQ為x,根據(jù)△QDC和△QAP相似，用x表示AQ和AP,再利用基本不等式求最值.【解析】(1)設(shè)DQ=x(x>0)，則AQ=x+20，∴AP=，則S=×AP×AQ==15(x++40)≥1200，當且僅當x=20時取等號.(2)∵S≥1600，∴3x2-200x+1200≥0，∴0<x≤或x≥60答：(1)當DQ的長度是20米時，S最小，且S的最小值為1200；(2)要使S不小于1600平方米，則DQ的取值范圍是0<DQ≤或DQ≥60.【典例】(12分)求函數(shù)f(x)=4x+(x<0)的最值.【審題指導(dǎo)】本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題時要注意基本不等式成立的條件.【規(guī)范解答】∵x<0,則-x>0,由基本不等式得:-f(x)=-(4x+)………3分=(-4x)+()≥=12,所以：f(x)≤-12…………8分當且僅當-4x=即x=時,f(x)=4x+取得最大值-12.……………12分【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：常見錯誤錯誤原因f(x)=4x+≥=12函數(shù)的最小值為12基本不等式“a+b≥”成立的條件是a和b都是正數(shù).前面解法沒有注意到題目中給出了x<0這個條件，誤用了基本不等式a+b≥，得出了錯誤的結(jié)果.在解題時如果a,b為負值，需要先把a,b轉(zhuǎn)化為正值，再利用基本不等式解題.【即時訓(xùn)練】求函數(shù)y=1-2x-(x<0)的最值.【解析】∵x<0，∴y=1-2x-=1+(-2x)+(-)≥1+，當且僅當x=時取等號，故y有最小值1+.1.設(shè)x、y為正實數(shù)且x+4y=40，則xy的最大值為()(A)200(B)100(C)10(D)400【解析】選B.∵40=x+4y≥，∴≤10，即≤100，當且僅當x=4y=20，即x=20，y=5時，等號成立.2.已知x>1，則f(x)=有()(A)最大值2(B)最小值-2(C)最大值-4(D)最小值4【解析】選D.f（x）===(x-1)+≥4，當且僅當x-1=，即x=3時等號成立.3.已知t>0，則函數(shù)y=取得最小值時t的值為_____.【解析】y=因為t>0，y=t+-4≥-4=-2.等號在t=，即t=1時