函數(shù)的單調(diào)性及凹凸性

函數(shù)的單調(diào)性及凹凸性2023/7/301第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月問題的提出若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)增加若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)減少一、函數(shù)單調(diào)性的判定法2023/7/302第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月若定理1.

設(shè)函數(shù)則

在

I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在

I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間

I

內(nèi)可導(dǎo),證畢2023/7/303第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為2023/7/304第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:

單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,2023/7/305第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月單調(diào)區(qū)間求法⑴問題：如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)。⑵定義：若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。⑶分界點：導(dǎo)數(shù)等于零的點(駐點)和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點。⑷單調(diào)區(qū)間求法:2023/7/306第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

證明時,成立不等式證:令從而因此且后面證2023/7/307第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月*證明令則從而即2023/7/308第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/309第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月另例證2023/7/3010第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月二、曲線的凹凸與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方ABMN2023/7/3011第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點.圖形是凸的.2023/7/3012第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線凹凸的判定圖形分析定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則

在I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)2023/7/3013第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)證畢2023/7/3014第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在

兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,2023/7/3015第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.求曲線的拐點.

解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸2023/7/3016第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點

(0,1)

及均為拐點.凹凹凸2023/7/3017第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在

I

上單調(diào)遞增在

I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點2023/7/3018第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月思考與練習上則或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在2023/7/3019第19頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14