最經(jīng)典總結(jié)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

最經(jīng)典總結(jié)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性第11講：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性在高考中，了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是非常重要的。多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次的單調(diào)區(qū)間的求解也是常見的考點(diǎn)，通常占5~12分。函數(shù)的單調(diào)性可以通過導(dǎo)數(shù)來判斷。如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增加的；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是減少的。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是：f'(x)>0（或f'(x)<0）是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）的充分不必要條件；f'(x)≥0（或f'(x)≤0）是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）的必要不充分條件（f'(x)=不恒成立）。自測(cè)題：1.函數(shù)f(x)=x^3-6x^2的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(0,4)B.(0,2)C.(4,+∞)D.(-∞,0)解析：f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)，由f'(x)<0，得0<x<4，因此單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4)。答案：A。2.函數(shù)f(x)=cosx-x在(0,π)上的單調(diào)性是()A.先增后減B.先減后增C.增函數(shù)D.減函數(shù)解析：f'(x)=-sinx-1<0，在(0,π)上是減函數(shù)，因此選D。答案：D。3.已知f(x)=x^3-ax在[1,+∞)上是增函數(shù)，則a的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x^2-a≥0，即a≤3x^2，又因?yàn)閤∈[1,+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3。答案：C。題型一：判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性（基礎(chǔ)拿分題，自主練透）例題：已知函數(shù)f(x)=ax^3+x^2(a∈R)在x=-處取得極值。1.確定a的值；2.若g(x)=f(x)ex，討論g(x)的單調(diào)性。解：1.對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3ax^2+2x，因?yàn)閒(x)在x=-處取得極值，所以f'(-)=0，解得a=-2/3。2.由(1)得g(x)=(x^3-2/3x^2)e^x，求導(dǎo)得g'(x)=(x^2-2x+2/3)e^x，令g'(x)=0，解得x=1±√(1/3)，因此g(x)在(-∞,1-√(1/3))和(1+√(1/3),+∞)上單調(diào)遞增，在(1-√(1/3),1+√(1/3))上單調(diào)遞減。f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，3a/3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3a/3，+∞)。求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：方法一：1.確定函數(shù)y=f(x)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)；3.解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；4.解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間。方法二：1.確定函數(shù)y=f(x)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)，令f'(x)=0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；3.把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；4.確定f'(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性?？紤]題型三，已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍：1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax-1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-a，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，即f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<√(a/3)時(shí)，f'(x)>0，即f(x)在(0，√(a/3))上單調(diào)遞增；當(dāng)x>√(a/3)時(shí)，f'(x)<0，即f(x)在(√(a/3)，+∞)上單調(diào)遞減。綜上可知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，√(a/3))上單調(diào)遞增，其余部分單調(diào)遞減；當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞減。(2)當(dāng)f(x)在R上為增函數(shù)時(shí)，即a>0時(shí)，根據(jù)單調(diào)性可知，0<√(a/3)，即a>0。所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>0。1.對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^3-ax-1$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-a$。當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)\geq0$，因此$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上為增函數(shù)。當(dāng)$a>0$時(shí)，令$3x^2-a=0$，解得$x=\pm\sqrt{\frac{a}{3}}$。當(dāng)$x>\sqrt{\frac{a}{3}}$或$x<-\sqrt{\frac{a}{3}}$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$-\sqrt{\frac{a}{3}}<x<\sqrt{\frac{a}{3}}$時(shí)，$f'(x)<0$。因此$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{\frac{a}{3}})\cup(\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty)$上為增函數(shù)，在$(-\sqrt{\frac{a}{3}},\sqrt{\frac{a}{3}})$上為減函數(shù)。綜上可知，當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f(x)$在$R$上為增函數(shù)；當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{\frac{a}{3}})\cup(\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty)$上為增函數(shù)，在$(-\sqrt{\frac{a}{3}},\sqrt{\frac{a}{3}})$上為減函數(shù)。2.因?yàn)?f(x)$在$(1,+\infty)$上為增函數(shù)，所以$f'(x)=3x^2-a\geq0$在$(1,+\infty)$上恒成立，即$3x^2-a\geq0$在$(1,+\infty)$上恒成立，所以$a\leq3$，即$a$的取值范圍為$(-\infty,3]$。3.由1題可知，$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$(-\infty,-\sqrt{\frac{a}{3}})\cup(\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty)$。而要使$f(x)$在$(-1,1)$上單調(diào)遞減，則$-\sqrt{\frac{a}{3}}<1$且$\sqrt{\frac{a}{3}}>-1$，解得$a=3$。4.$f(x)$在$(-1,1)$上不單調(diào)，意味著$f'(x)=3x^2-a$在$(-1,1)$上既有正值又有負(fù)值。解得$-\sqrt{\frac{a}{3}}<-1$或$\sqrt{\frac{a}{3}}>1$，即$a<0$或$a>9$。因此$a$的取值范圍為$(0,3)$。5.設(shè)$f(x)=-x^3+x^2+2ax$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-3x^2+2x+2a$。若$f(x)$在某區(qū)間上為單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$在該區(qū)間上恒成立，即$-3x^2+2x+2a\geq0$在該區(qū)間上恒成立。解得$\frac{1-\sqrt{1-6a}}{3}\leqx\leq\frac{1+\sqrt{1-6a}}{3}$。因?yàn)樵搮^(qū)間存在，所以$1-6a\geq0$，即$a\leq\frac{1}{6}$。因此$a$的取值范圍為$(-\infty,\frac{1}{6}]$。2.若函數(shù)$f(x)=kx-\lnx$在區(qū)間$(1,+\infty)$單調(diào)遞增，則$k$的取值范圍是$[1,+\infty)$。解析：由于$f'(x)=k-\frac{1}{x^2}>0$，即$k>\frac{1}{x^2}$，在$(1,+\infty)$上恒成立。而$x^2>1$，所以$\frac{1}{x^2}<1$，因此$k$的取值范圍為$[1,+\infty)$。答案：$D$5.函數(shù)$f(x)=x^2+2m\lnx(m<0)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,-m)$。解析：首先由條件可知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?(0,+\infty)$。其次，由于$m<0$，則$f'(x)=2x+\frac{2m}{x}<0$，即$2x<-\frac{2m}{x}$，即$x^2>-m$，即$x\in(0,-m)\cup(-m,+\infty)$。又因?yàn)?f(x)$在$x=0$處無定義，所以單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,-m)$。答案：$B$已知函數(shù)$f(x)=-\lnx-a$，其中$a\inR$，且曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線垂直于直線$y=x$。(1)求$a$的值；(2)求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。解：(1)對(duì)$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x}$，由曲線在點(diǎn)$(1,f(1))$處的切線垂直于直線$y=x$知$f'(1)=-1/a=-2$，解得$a=-1/2$。(2)由(1)知$f(x)=-\lnx-1/2$，則$f'(x)=\frac{-1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=5$。因?yàn)?x=-1$不在$f(x)$的定義域$(0,+\infty)$內(nèi)，故舍去。當(dāng)$x\in(0,5)$時(shí)，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(0,5)$內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)$x\in(5,+\infty)$時(shí)，$f'(x)>0$，故$f(x)$在$(5,+\infty)$內(nèi)為增函數(shù)。綜上，$f(x)$的單調(diào)增區(qū)間為$(5,+\infty)$，單調(diào)減區(qū)間為$(0,5)$?！灸芰μ嵘殹?.(2018·湛江一模)若函數(shù)$f(x)=x+b(b\inR)$的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間$(1,2)$上有零點(diǎn)，則$f(x)$在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A.$(-2,0)$B.$(0,1)$C.$(1,+\infty)$D.$(-\infty,-2)$解析：由題意知，$f'(x)=1$，當(dāng)$x\in(1,2)$時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，故當(dāng)$1-\frac{2}=0$時(shí)，$b=2$。又$x\in(1,2)$，故$b\in(1,4)$。令$f'(x)>0$，解得$x<-b$或$x>b$，即$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-b),(b,+\infty)$，因?yàn)?b\in(1,4)$，故$(-\infty,-2)$符合題意。答案：D2.(2018·河南新鄉(xiāng)三模)定義在$(0,+\infty)$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(x)>2(x+x^2)f'(x)$，其中$f'(x)$為$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式中，一定成立的是()A.$\frac{f(2)f(3)}{2}<2$B.$\frac{f(1)f(4)f(9)}{2^3}<\frac{3}{4}$C.$\frac{f(1)}{2^3}<\frac{1}{3}$D.$\frac{f(1)f(4)f(9)}{2^3}<\frac{4}{3}$解析：由題意知，$f(x)>(x+1)f'(x)$，令$g(x)=\frac{f(x)}{x+1}$，則$g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{(x+1)^2}<0$，即$g(x)$在$(0,+\infty)$上遞減。故有$\frac{f(2)}{3}<g(2)<g(1)<\frac{f(1)}{2}$，$\frac{f(3)}{4}<g(3)<g(2)$，$\frac{f(4)}{5}<g(4)<g(3)$，$\frac{f(9)}{10}<g(9)<g(4)$。將$g(x)$的不等式代入原式得到$\frac{f(2)f(3)}{2}<2$，$\frac{f(1)f(4)f(9)}{2^3}<\frac{4}{3}$，$\frac{f(1)}{2^3}<\frac{1}{3}$，$\frac{f(1)f(4)f(9)}{2^3}<\frac{4}{3}$。故選項(xiàng)C一定成立。答案：C存在，求出該實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2＋2x，f′(x)＝2x＋2，令f′(x)＝0，解得x＝－1，f(－1)＝－1，所以f(x)的極小值為－1.(2)當(dāng)a＜時(shí)，f′(x)＝2x－2a/x＋a－2，令f′(x)＝0，解得x＝√(a/2)，當(dāng)x<√(a/2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>√(a/2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，√(a/2))上單調(diào)遞增，在(√(a/2)，＋∞)上單調(diào)遞減.(3)存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的m，n∈(0，＋∞)，且m≠n，有f(m)－f(n)＞a恒成立的充要條件是f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，即f′′(x)≥0，f′′(x)＝2a/x2＋2/x2≥0，即a≥－1/2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥－1/2.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=x^2+2lnx-3x，f'(x)=x-3+2/x，當(dāng)x<1或x>2時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取極大值為-2，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取極小值為2ln2-4。當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)=x-(a-2)/(x^2+(a-2)x-2a(x-2)(x+a))，分別討論：①當(dāng)-a>2，即a<-2時(shí)，由f'(x)>0可得x<2或x>-a，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；由f'(x)<0可得2<x<-a，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減。②當(dāng)-a=2，即a=-2時(shí)，f'(x)≥0在(0,∞)上恒成立，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。③當(dāng)-a<2，即-2<a<0時(shí)，由f'(x)>0可得x<-a或x>2，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；由f'(x)<0可得-a<x<2，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減。綜上：當(dāng)a<-2時(shí)，f(x)增區(qū)間為(0,2)，(-a,∞)，減區(qū)間為(2,-a)；當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)增區(qū)間為(0,∞)，無減區(qū)間；當(dāng)-2<a<0時(shí)，f(x)增區(qū)間為(0,-a)，(2,∞)，減區(qū)間為(-a,2)。(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，證明f(m)-f(n)/(m-n)>a恒成立。由題意可知f'(2)=1-a，切線的斜率為1，所以1-a=1，即a=0。對(duì)于任意的t∈[1,2]，有f'(t)=1-t，所以f''(t)=-1/t^2<0，即f(x)在[