高數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式

【高3數(shù)學(xué)】12-復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式基礎(chǔ)概念一、基礎(chǔ)知識(shí)概述由于解方程的需要，我們引進(jìn)了復(fù)數(shù)和及其四則運(yùn)算，并建立了復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一對(duì)立，我們還學(xué)過向量及其運(yùn)算，在些基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在一起來學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算的幾何意義.二、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1、復(fù)數(shù)的向量表示：復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)的向量集合OZ(O為原點(diǎn))對(duì)應(yīng).說明：零向量表示復(fù)數(shù)0,相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)；向量OZ的模r就是復(fù)數(shù)Z二a+bi(a、beR)的模，即IZ1=1a+bil二r=32+b2.2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算：復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)Z=a+bi對(duì)應(yīng)向量OZ，以x軸的正半軸為始邊，向量OZ所在的射線(起點(diǎn)為O)為終邊的角0，叫做復(fù)數(shù)Z的輻角，記作ArgZ，其中適合0<0<2兀的輻角0的值，叫做輻角的主值，記作argZ.說明：不等于零的復(fù)數(shù)Z的輻角有無限多個(gè)值，這些值中的任意兩個(gè)相差2兀的整數(shù)倍.復(fù)數(shù)的三角形式：r(cos0+isin0)叫做復(fù)數(shù)Z=a+bi的三角形式，其中a.br=a2+b2>0，cos0=，sm0=.rr說明：任何一個(gè)復(fù)數(shù)Z=a+bi均可表示成r(cos0+isin0)的形式.其中r為Z的模，0為Z的一個(gè)輻角.復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算：設(shè)Z=r(cos0+isin0)，Z=r(cos0+isin0)，Z=r(cos0+isin0).貝y111122221)乘法：Z-Z=rr[cos(0+0)+isin(0+0)]；121212121/9高高3數(shù)學(xué)】12-復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式高高3數(shù)學(xué)】12-復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式#/9???-1<IZI-丄<1，”Z|2+1Z1-1'0，?IZIIZ|2-1ZI-1<0而當(dāng)Z=,,11IZI-=而當(dāng)Z=,,11IZI-=Z+—IZIZ(keR+)時(shí),rmin=字；而當(dāng)Z=±哥i時(shí),rmax=J5+1-2方法二:設(shè)Z=r(cos0+isin0).TOC\o"1-5"\h\z丨Z+—1=1r(cos0+isin0)+—(cos0-isin0)1Zr1—I——=1(r+)cos0+(r一)-isin0I=：(r+)2cos20+(r一)2sin20rr\rr111=.'r2++2cos20-2sin20=.'r2++2cos20=1.r2r213一i^5?/0<r2+=1-2cos20<3，.:r4-3r2+1<0，<r2<r2rmin<5-1v5+1口v'5-1rmin2<r<2，且當(dāng)Z=±22時(shí)'J5+1r=max2高考中對(duì)復(fù)數(shù)的考查多集中在復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)復(fù)數(shù)的三角形式的考查不多.有時(shí)可能采取一題多法，即設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的三角形式均可解，只不過運(yùn)用三角形式解答時(shí)較方便.基礎(chǔ)練習(xí)一、選擇題1、復(fù)數(shù)Z=2i4n+2-(1-i)2(neZ)的輻角主值是()兀3兀3兀5兀A.4B才CWD?7~42、設(shè)2、設(shè)aeC,3兀<0<4兀，給出復(fù)數(shù)：Z—=a2(cos20+isin20),Z=1aI(sin+isin),^2^20Z3=一1a1sin2(cos0+isin0)其中能確定為復(fù)數(shù)的三角形式的有()

A.A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)y3、已知Z=x+yi，（x>0，y<0），則arctan—=（3、x3兀A.argZB.2兀一argZC.argZ-2兀D.argZ-A.^24、A.54、A.5、A.若ee（2,兀），則復(fù)數(shù)Z=（1+i）（cos0—isin9）的輻角主值是（）——0B.殳+0C.—+0D.2兀-04442兀.2兀若w=cos^^+isin—，貝y①+①2345=（）iB.—1C.0D.16、兀6、兀設(shè)Z=cos-..?！?isin-3，若Zn=Z，則最小的正整數(shù)n=（）A.1B.2C.5D.77、在復(fù)平面內(nèi),把復(fù)數(shù)3-<3i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)才，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.2*3B.—2、：3iC.A.1B.2C.5D.77、在復(fù)平面內(nèi),把復(fù)數(shù)3-<3i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)才，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A.2*3B.—2、：3iC.\3—3iD.3H3i8、Z「Z2是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，且分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)"三，則笑丄OZ的充要條件是A.Z=土ZiB.12翠的實(shí)部為0Z兀C.arg2=Z21D.舉的虛部為09、復(fù)數(shù)Z滿足條件:12Z+11=1Z-iI,則IZI的最大值是（A.<5—1C.3運(yùn)—2D.310、設(shè)Z=x+yi（x、yeR），且IZ-2I=x,則復(fù)數(shù)Z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡是（）A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線綜合題_z+311、已知Z和Z0均為復(fù)數(shù)，且Z=Z0+3—3^3i，0_-為純虛數(shù)，求1Z|和argZ11、00Z—30值范圍.12、設(shè)復(fù)數(shù)Z、Z分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的Z、Z點(diǎn)，Z、Z的輻角分別為0、121212兀-0（0<0<；7），且AOZZ的面積為定值S（O為原點(diǎn)），若AOZZ的重心Z點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)21212數(shù)Z?（1）求Z點(diǎn)的軌跡方程，并指明軌跡類型；（2）求IZI的最小值.1