三角函數(shù)的概念

第四章三角與向量【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化】三角函數(shù)弧長與扇形面積公式三角函數(shù)的定義誘導(dǎo)公式化簡、計(jì)算與證明三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角與向量三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)同角三角函數(shù)關(guān)系二倍角的三角函數(shù)解三角形平面向量的相關(guān)概念向量的加、減、數(shù)乘內(nèi)容要求ABC三角函數(shù)三角恒等變換三角函數(shù)的概念 √同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 一√正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式√正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)√函數(shù)y=Asin（燧+φ）的圖象與性質(zhì)√兩角和（差）的正弦、余弦及正切√二倍角的正弦、余弦及正切√幾個(gè)三角恒等式√解三角形一正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用√平面向量平面向量的概念 √平面向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算 一√平面向量的坐標(biāo)表示 一√平面向量的數(shù)量積 一√平面向量的平行與垂直 一√平面向量的應(yīng)用 一√第1課時(shí)三角函數(shù)的概念【課前自主探究】※考綱鏈接（1）理解任意角的概念；理解終邊相同的角的意義；了解弧度的意義，并能進(jìn)行弧度與角度的互化；（2）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；初步了解有向線段的概念，會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切.※教材回歸◎基礎(chǔ)重現(xiàn)：1．角的概念：（1）“正角”、“負(fù)角”與“零角”把一條射線按—時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把一條射線按—時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角.（2）“終邊相同的角”、“象限角”、“軸線角”①與ɑ角終邊相同的角的集合：；②角的頂點(diǎn)重合于，角的始邊合于X軸的，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）；③角的終邊落在坐標(biāo)軸上的角稱為..角度制與弧度制（1）弧度制：用來度量角的單位制度.（2）已知角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值IαI=-,其中l(wèi)為以角α為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，廠為圓的半徑.r弧長公式：；扇形面積公式：..任意角的三角函數(shù)：（1）任意角的三角函數(shù)定義：以角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為X軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角α的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P（X,y），點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為r,則Sinα=；CoSα=；tanα=.（2）角α的正弦線、余弦線、正切線規(guī)定了方向的MP、OM、AT分別叫角α的正弦線、余弦線、正切線，分別在下圖的單位圓中作出角α的各個(gè)三角函數(shù)線：基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1.（1）逆順(2)①{β∣β=k3600+ɑ,k∈Z}或{βIβ=2k兀+a,k∈Z}②坐標(biāo)原點(diǎn)正半軸③軸線角2．（1）弧度(2)l=IaIrS=Llr2XV3.(1)-r（2）rVX◎思維升華：4．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？相等的角終邊一定相同嗎？終邊相同的角一定相等嗎？任意角的三角函數(shù)值與其終邊上所取的點(diǎn)的位置有關(guān)系嗎？試?yán)脝挝粓A中的三角函數(shù)線探究：當(dāng)0<α<彳時(shí)，sinα<α<tanα.思維升華答案：1．銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90°的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角.2．終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍3．沒有關(guān)系，只與終邊所在的位置有關(guān)，點(diǎn)只要不在原點(diǎn)，無論在終邊上的什么位置，它們橫縱坐標(biāo)以及與該點(diǎn)原點(diǎn)的距離之比是定值.4.證明：如右圖，單位圓與α終邊OP相交于P點(diǎn)，過P作PM⊥X軸，垂

足為M,連結(jié)AP,過單位圓與X軸正半軸的交點(diǎn)A作AT⊥X軸，交OP于T,7>α???則Sinα=MP,α=，；，tanα=AT,由斗二秋二；F一「，即?OA?iAP<^OA*AT,???：：<AT.又MP<PA<'；,因此MP<二<4.即Sina<α<tana.X基礎(chǔ)自測.鐘面上分針走了5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.兀答案：一下6.(2010?淮安市學(xué)習(xí)能力評(píng)價(jià)測試)已知角ɑ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—3,4),則sinα=LW、 4答案：5.已知扇形的周長為8,圓心角為2rad,則該扇形的面積為.「l+2r=8 1答案：4解析：設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l，則ξC，解得l=4,r=2，則S=Ir=4.11=2r 2.已知α=-，則點(diǎn)尸(Sinα,cosa)所在的象限是第 象限.8?EAL 5兀，“答案：四解析：α==為第二象限角.85.⑴若角α的終邊為第一、三象限的角平分線，則角α的集合為；⑵若角α的終邊從第二象限的角平分線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到第一象限的角平分線，則角α的集合為...、(，，?！?f 5兀 ?！炒鸢福孩拧禷|a=k兀+—，k∈Z'； ⑵<a|2k兀一一≤a≤2k兀+—,k∈Z',〔 4Jl4 4J【課堂師生共探】X經(jīng)典例題。題型一終邊相同的角的表示\o"CurrentDocument"兀 兀例1(1)寫出與一：角的終邊相同的角θ的集合，并指出在［0,4π)內(nèi)終邊與一：角的終邊相同的6 6角；(2)寫出終邊在直線y=x上的角的集合；(3)如果a是第三象限的角，那么—a,2a,￡的終邊落在何處？兀分析：(1)寫出與--終邊相同的角的一般形式，在一般形式中選取適當(dāng)?shù)膋；(2)先寫出在(0,2π)內(nèi)終邊在直線y=x上的角，再加上2kπ(k∈Z),然后對(duì)所寫出的形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?3)用不等式表示a是第三象限角，由此寫出一a,2a,a的不等式便可知道—a,2a,W的終邊的位置兀 兀解：(1)?.?θ=-—+2kπ(k∈Z),.?.θ的集合為依題意{θ|θ=--+2kπ(k∈Z)}.Vk∈Z,；.當(dāng)k=16 6時(shí)，θ=11兀623兀當(dāng)k=2時(shí)，θ=--

6兀5兀(2)在(0,2π)內(nèi)終邊在直線y=%上的角是-,—,兀???終邊在直線y=%上的角的集合為｛βIβ=-+k兀,k∈Z｝；3α3a(3)由α是第二象限的角，得π+2kπ<α<-2-+2kπ(k∈Z),貝U—-?—2kπ<一α<一π—2kπ(k∈Z),???角一α的終邊在第二象限；而2π+4kπ<2ɑ<3π+4kπ(k∈Z),???角2α的終邊在第一、二象限及y軸的正半軸；又g+kπ<:<手+kπ(k∈Z),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，:為第二象限角，當(dāng)為k奇數(shù)時(shí)，之為第四象2 2 4 2 2限角，??.y為第二或四象限角.點(diǎn)評(píng)：這類題型易錯(cuò)點(diǎn)之一是丟掉k∈Z,另外對(duì)于同一直線上的角的終邊的表示形式?jīng)]有寫出最終結(jié)果，對(duì)于k的奇偶數(shù)的討論，如果是填空題也可能取0,1來代替.變式訓(xùn)練1：終邊在X軸上的角的集合是終邊在y軸上的角的集合是終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是.答案:(xIa—kπ(k∈Z)},卜Ia—k兀+π(k∈Z)1,{aIa—-k(k∈z)j>.解析：終邊在X軸或y軸上的角應(yīng)分成兩部分，然后將它們合起來；終邊在坐標(biāo)軸上的角應(yīng)分成四部分，然后將它們合起來.變式訓(xùn)練2：如圖，a—500,β—2600,OA、OB分別是角a、β的終邊，求⑴終邊落在陰影部分(含邊界)的所有角的集合；⑵終邊落在陰影部分且在L。，3600］上所有的角的集合.解析：⑴終邊從OA到OB旋轉(zhuǎn)時(shí)角度在增大，由題意，如把終邊OA

看成是2600的角，則終邊OB則是4100的角，從而陰影部分的角可表示為

IIk-3600+2600≤θ≤4100+k-3600,k∈Z］而如把終邊OA看成是-1000的角，則終邊OB則是500的角，即陰影部分的角可表示為

θIk-3600-1000≤θ≤500+k-3600,k∈Zt則更為簡潔.⑵由⑴知終邊落在陰影部分且在0。，360°］上所有的角就分啜部分，即∣00,500］和∣2600,360°］,所以此此時(shí)所有角的集合是θI00≤θ≤500或2600≤θ≤3600?。題型二用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)的值例2已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為X軸的非負(fù)半軸.若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(√3,y)且sina—E(yW0),判斷角a所在的象限，并求cosa和tana的值.4分析：解決本題要牢牢抓住三角函數(shù)的定義，求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)以及點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離.解：依題意，P到原點(diǎn)O的距離為r—IPOI— V+y2―Q+y2,?C,yy.?.Sina———Jr \；3+y2/3丁?.?八一一 7 v;21?.?yW0,.?.9+3y2=16,λy2=_,y=±——√3r= 4一點(diǎn)P在第二或第三象限.21 -X 3,Cy S當(dāng)點(diǎn)P在第一■象限時(shí)，y ,CoSα ——-,tanα ———3 r 4 X 321 3 萬當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，y=——--,cosa=—：,tantt=——3 4 3點(diǎn)評(píng)：已知角的終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)的值，只需確定X,y,r三個(gè)量,利用三角函數(shù)的定義求之即可，同時(shí)必須判斷該角所在的象限.變式訓(xùn)練：已知角α的終邊過點(diǎn)P(4a,—3aXz≠0)，求2sinα+cosα的值.解析：依題意，P到原點(diǎn)O的距離為r=IPOI=JGa1+J3a1=5IaI，?.?a≠0，.當(dāng)a>0時(shí)，r=5a，.y—3a 3.Sina=—= =——r 5a 5cosax_4ar5a=4,即2sinα+cosa=(3、2義——I5)4+—=525y —3a 3 x 4a 4當(dāng)a<0時(shí)，r=—5a,.Sina= —= =_,cosa=—= =——r —5a 5 r —5a5-? - 3 4 2即2sina+cosa=2×——=—.5 5 5。題型三根據(jù)角的終邊所在的位置判斷三角函數(shù)值的正負(fù)例3(1)若角a滿足條件sina<0,sina—cosa>0，則角a是第幾象限角？(2)如果點(diǎn)P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象限，試判斷角。所在的象限.分析：(1)由sina<0和sina—cosa>0分別判斷角a的終邊所在位置，再取它們的公共部分；(2)由點(diǎn)P在第三象限得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都為負(fù)，再進(jìn)一步判斷角a的終邊所在位置.解：(1)由sina<0知：a的終邊可能在第三、第四象限或在y軸的負(fù)半軸；又由Sina—cosa>0知：a的終邊可能在第一、第二、第三象限或在X軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸.綜上所述，可知a是第二象限角.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象限，所以sinθ?cosθ<0,2cosθ<0,即Sinθ>0,cosθ<0,所以。為第二象限角.點(diǎn)評(píng)：熟練掌握各個(gè)三角函數(shù)值在四個(gè)象限內(nèi)的正負(fù)情況，對(duì)于判斷三角函數(shù)式的正負(fù)以及求三角函數(shù)值都非常重要.它們的正負(fù)情況有一般的規(guī)律，第一象限全是正的，第二象限只有正弦為正，第三象限只有余弦為正，第四象限只有正切為正，因而可簡記為“全STC”.變式訓(xùn)練：若θ是第二象限角，則sin(cosθ)

cos(sin2θ)的符號(hào)是什么？解析：：2k∏+g?<θ<2k∏+∏(k∈Z),Λ-1<cosθ<0,Λ4k∏+∏<2θ<4k∏+2∏(k∈Z),一1八 八 八Sin(Cosθ)≤sin2θ<0,Λsin(cos。)<0,cos(sin2。)>0,Λ ———o—<0.cos(sin2θ)。題型四扇形的周長和面積的計(jì)算例4若一扇形的周長為20cm，則當(dāng)扇形的的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大值是多少？分析：此扇形的周長為定值，可設(shè)出此扇形的弧長和半徑，可得弧長和半徑之間的關(guān)系，代入扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.解:設(shè)扇形的半徑為rcm，則弧長為l=(20-r)Cm，面積為y=1(20-2).而y=-(r-5)2+25,則當(dāng)r=5Cm時(shí)，面積最大.此時(shí)l=10,α=-=2.所以當(dāng)弧度α=2時(shí)，扇形有最大面積為25cm2.r點(diǎn)評(píng)：由于弧度制的引入，三角函數(shù)就可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，但是在解題中若以圓心角為自變量來表示周長和面積，則比較麻煩.因此，我們常以半徑為自變量建立目標(biāo)函數(shù)來解題.變式訓(xùn)練：圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是.解析：設(shè)圓半徑為r,則其內(nèi)接正三角形邊長為?√3r,當(dāng)弧長l=r時(shí)，其所對(duì)圓心角α=-=√3.r※高考新題零距離兀(2010?天津高考題改編)設(shè)0<x<—，則Uxsin2X<1是XsinX<1的條件..兀 .答案：必要而不充分解析：當(dāng)0<X<—時(shí)，0<SinX<1,則0<Sin2X<1,而sin2X<SinX,故由2“XsinX<1”可得到“Xsin2X<1"，但“XsinX<1”, “Xsin2X<1”不一定成立.(2010?廣東高考題改編)已知扇形OAB的圓心角為4弧度，其面積為2cm2,求扇形周長和弦AB的長．解析：設(shè)悵為l,OA=r,扇形OAB的面積為S .H：S扇形=2lr，λ2lr=2.① "設(shè)扇形的圓心角/AOB的弧度數(shù)為α，則⑼I=r=4,② "由①②解得r=1,l=4,，扇形的周長為l+2r=4+2×1=6(cm).2兀一4如圖所示，作OH⊥AB于H,則AB=2AH=2rsin-2—=2rsin(∏-2)=2sin2(cm).※典型錯(cuò)誤警示1.忽視字母的取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤，如例1的求解經(jīng)常會(huì)忽視了k∈Z的情形.2．在一個(gè)式子中即有角度又有弧度導(dǎo)致錯(cuò)誤.3．寫出角的范圍不能寫成最簡形式導(dǎo)致錯(cuò)誤,如例1.4．求三角函數(shù)值時(shí),需要分類討論沒有分類討論,特別是結(jié)果會(huì)合并在一起寫出,如例3要分類討√,21 3 77論，而且結(jié)果不能寫成y=±亍，Cosα=-4,tanα=±=.◎典型錯(cuò)題反思反思是自覺地對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行分析、總結(jié)、評(píng)價(jià)和調(diào)控的過程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學(xué)習(xí)方法、最佳的糾錯(cuò)手段，是走出“題海”的最有效途徑._請(qǐng)整理出本課時(shí)的典型錯(cuò)誤，找出錯(cuò)因」并從審題、知識(shí)、方法和策略的層面進(jìn)行反思！「我的錯(cuò)瓦:一一…一“…一—一…一“…一—一…一“…一—一…一“…一—一…一“…一—一…一“…一—一…—“…一一"1I錯(cuò)因： I1反思： I※學(xué)以致用第1課時(shí)三角函數(shù)的概念［基礎(chǔ)級(jí)］.與1840°終邊相同的最小正角為，與一1840°終邊相同的最小正角是.答案：40°320°.若α為第四象限角，則角1800-a所在的象限是第象限.答案：三解析：由k360—90<α<k360，得一k360+180<1800-α<-k360+270（k∈Z）,OO O OO OO則角1800-α為第三象限角..已知集合A={X12kπ≤X≤2kπ+π,k∈Z},B={x|一4≤X≤4},則A∩B為.答案：{x∣-4≤x≤-∏或0≤x≤π}解析：求出集合A在［一4,4］附近區(qū)域內(nèi)的X的數(shù)值，k=0時(shí)，0≤X≤∏;k=1時(shí)，X≥2π≥4;在k=—1時(shí)，一2π≤X≤-π,而一2π<-4,一π>-4此時(shí)一4≤X≤-π,從而求出A∩B..若角α終邊上有一點(diǎn)PQ,1a1）。∈R）,且a≠0，則Sina的值為2 ., .. . ；—— ,, .yIaI√2答案：一解析：此時(shí)x=a,y=Ia|,r~-aa2+|a|2—√2IaI,則USinα=——―= ——.2 ' r?√2IaI2.已知點(diǎn)P（Sina-cosα,tana）在第一象限，則在［0,2π］內(nèi)，α的取值范圍是答案：A，與∪l∏,5∏）解析：點(diǎn)P在第一象限，其縱坐標(biāo)y=tanα〉0,因此α是第一、三象限角，且π 兀一 5πSinα>cosα,4<α<2或∏<α<4..設(shè)ɑ為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P（m,√5）,且cosα=gm，則Sinα的值為.答案：j40解析：設(shè)P（m,\：5）點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為r，則m=cosα=j42m,Λr=2?12,sinα=金=2^2√^1Q4..已知a的經(jīng)過點(diǎn)PGa-9,a+2),且cosa≤0,sina>0,則a的取值范圍是._一 一 - 3a-9C答案：-2<a≤3解析：本題只需設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r,則由COSa=F—≤0,.a+2sinɑ= >0，即可得-2<a≤3.r.兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1：2,則兩個(gè)扇形周長的比為1L S2r2ar2 1答案：1：飛'2解析：?.?Si=1 ===222R2a.r1 .G2r+11 2r+Ya_r_ 1R==M??C2=2R+12=2R+RaR—√2,.函數(shù)y=χl,sin