2023年全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案11

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會

“《數(shù)學周報》杯"2023年全國初中數(shù)學競賽試題參考答

案

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是對的

的.請將對的選項的代號填入題后的括號里，不填'多填或錯填都得0分）

i.若@=2o,2=io,則土它的值為（

).

bcb+c

(A4(B)—

11?詈

解：D由題設(shè)得色電=￡-20+1210

b+ci+￡11

b喘

2.若實數(shù)4）滿足L-"+〃+2=o,則。的取值范圍是（).

2」,-

(A)a<-2(B)a>4(C)aW-2或心4(D)—2WaW4

解.C

由于b是實數(shù),所以關(guān)于人的一元二次方程〃一仍+，。+2=0

2

的判別式A=(—a)?—4xlxda+2)?0,解得aW-2或a24.

2

3.如圖，在四邊形A5CD中,N5=135。，N。=120%45=2百，B

。=4一20,。。=4正,則4。邊的長為（）.

（A）276。（B）476

（C）4+V6（D）2+2V6

解：D

如圖，過點力,。分別作AE,。尸垂直于直線6

C,垂足分別為￡尸.

由已知可得

BE=AE=V6,CF=2V2,DF=2娓,

（第3題）

于是EF=4+#.

過點/作AGLOF,垂足為G.在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得

AD=7(4+V6)2+(V6)2=J(2+南.=2+276.

4.在一列數(shù)小句與……中，已知芭=1，且當"22時,4=彳1+1_4('11平］

(取整符號［a］表達不超過實數(shù)a的最大整數(shù)，例如［2.6］=2,［().2］=0),則x2010等于

().

(A)l(B)2(C)3(D)

4

解：B

由玉=1和xk-Xj+1-4-^^--1-["42)可得

%=1,%2=2,工③—3?=4,

X5=1,%6=2,X-j=3,—4f

由于2023=4x502+2,所以x2OI0=2.

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形48。的頂點坐標分別為4(1,1),8(2,-

1)((-2,—1),〃(一1,1內(nèi)軸上一點尸(0,2)繞點A旋轉(zhuǎn)180。得點Pi,點B繞點5旋轉(zhuǎn)

180。得點尸2,點尸2繞點C旋轉(zhuǎn)180。得點尸3,點尸3繞點。旋轉(zhuǎn)

180。得點尸4,...,反復操作依次得到點尸I,尸2,…，則點

尸2023的坐標是().

(A)(2023,2)(B)(2023,-2)

(C)(2023,-2)(D)(0,2)

解：B由已知可以得到，點片,鳥的坐標分別為(2,0),(2,-2).

記a2,b2),其中g(shù)=2,仇=一2.

根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：

.（—4一％,—2一%），舄（2+生，4+仇），4（―見，一2—優(yōu)）,"（4+。2,4）.

令《（4,%）,同樣可以求得，點耳0的坐標為（4+4也），即％（4x2+4也），

由于2023=4x502+2,所以點4Ho的坐標為（2023,-2）.

二、填空題

6.已知”=石-1,貝!J2/+7a2-2d-12的值等于.

解：0

由已知得（a+1）2=5,所以a?+2a=4,于是

2/+7。,-2a-12=2/+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a—12=0.

7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時刻,

客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘，小轎車追上了貨車;

又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t

解：15

設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客

車的速度分別為a,b,c（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)九分鐘追上客車，由題意得

10（a-Z?）=S,①

15（a-c）=2S,②

一c）=s.③

由①②，得30（?！猚）=S,所以,x=30.故￡=30—10—5=15（分）.

8.如圖，在平面直角坐標系xQy中,多邊形O48CDE的頂點坐標分別是O（0,0）,A（0,6）,

5（4,6）,C（4,4）,Q（6,4）,JS（6,0）.若直線/通過點M（2,3）,且將多邊形。4BC&E

（第8題）

解：y=--x+—

33

如圖，延長交x軸于點F；連接。叢4尸；連接CE,DF,且相交于點M

由已知得點M（2,3）是。e，AF的中點，即點M為矩形/6尸0的中心，所以

直線/把矩形產(chǎn)。提成面積相等的兩部分.又由于點N（5,2）是矩形。?！闑的

中心，所以，

過點N（5,2）的直線把矩形COE/提成面積相等的兩部分.

于是，直線MN即為所求的直線/.

f2k+b=3,

設(shè)直線I的函數(shù)表達式為y="+b,則

k

解得I；,故所求直線/的函數(shù)表達式為丁=-；廿日.

b

T,

9.如圖，射線AM8N都垂直于線段48，點E為AM上一點，過點/作BE的垂線4C分別

交BE,BN于點F,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為。.若CZ）=CF,貝！j—=____________.

AD

V5-1

解:

2

見題圖，設(shè)FC=〃i,AF^n.

由于Rt△AF'BsRt△ABC,所以AB2=AFAC.（第9題）

又由于FC=DC=AB,所以=〃（〃+，〃），即（與+J=0,

mm

解得%痔L或小?（舍去）?

T7n人“LLnACLCcci,iAEAEAFnV5-1（：1nAEV5-1

又Rt/XAF￡sRt/xcbB,所以——=—=—=—=------,即——=------.

ADBCFCm2AD2

10.對于j=2,3,…，k,正整數(shù)〃除以/所得的余數(shù)為M.若〃的最小值〃。滿足

2000<〃0<3000,則正整數(shù)k的最小值為.

解：9由于〃+1為2,3,…，左的倍數(shù)，所以〃的最小值期滿足

%+1=〔2,3>,,,>%],

其中[2,3,…，修表達2,3,…，左的最小公倍數(shù).

由于[2,3,…,8]=84（）,[2,3,…,9]=2520,

[2,3,…，1（）]=2520,[2,3,…，11]=27720,

因此滿足2000<%<3000的正整數(shù)k的最小值為9.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11.如圖，△ABC為等腰三角形，4尸是底邊8c上的高，點。是線段尸。上的一點,8E

EF

和C尸分別是和刀的外接圓直徑，連接EF.求證：tanZPAD=—.

BC

（第11題）

證明：如圖，連接ED,FD.由于夕后和CF都

是直徑，所以

EDI.BC,FDLBC,

因此D,E,廣三點共線.（5分）

連接AE,AF,則

ZAEF=ZABC=ZACB=ZAFD,

所以,△ABCsEF....（10分）（第11題）

作AHLEE垂足為"，則AH=PD由AABCs2X4所可得

EFAH

麗—左，

EFPD

從而茄一族，

EF

所以tanZPAD=—.....（20

AP~BC

分）

12.如圖，拋物線y=ax2+云*>0）與雙曲線>=幺相交于點A,氏已知點A的坐標為

x

（1,4）,點5在第三象限內(nèi)，且△A05的面積為3（O為坐標原

點）.

（1）求實數(shù)a,仇*的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC//x軸,交拋物線于另一

點C,求所有滿足△EOCS/XZOB的點E的坐標.

k

解：（1）由于點力（1,4）在雙曲線丫=一上，

X

4

所以％=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為y=—

x

4

設(shè)點8（6一）,￡vO,A8所在直線的函數(shù)表達式為y=/nv+〃，則有

4=m+n,

,44Q+D

,4解得m=—,n=

—=mt+n,

于是，直線A8與y軸的交點坐標為（0,笠』]，故

4（Z+1）2

SMOB=1x^（l-r）=3,整理得2t+3t-2=0,

解得「=-2,或t=L（舍去）.所以點B的坐標為（-2,-2）.

2

由于點力，8都在拋物線＞=以2+〃元（，＞0）上，所

。+/?=4,,a=l

以1解得1(10分)

4a-2b=-2,b=3

（2）如圖，由于4。〃/軸,所以。（一4,4）,于是。0=4

V2.又80=2后，所以空=2.

BO

設(shè)拋物線丁=ax?+及色＞0）與，軸負半軸相交于點D,

則點。的坐標為(—3,0).

（第12題）

由于NCO￡>=NBOD=45°,所以NCOB=90°.

（i）WABOA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'OA].這時，點B'（-2,2）是CO的中

點，點A的坐標為（4,-1）.

延長。4到點￡,，使得。&=2。&,這時點￡,（8,-2）是符合條件的點.

（Ii）作4BOA關(guān)于x軸的對稱圖形△B'OA,,得到點A,（l,T）;延長OA2到點E,,

使得。芻=2。4，這時點與（2,-8）是符合條件的點.

所以，點￡的坐標是（8,-2），或（2,-8）.（20分）

13.求滿足2/+〃+8=＞-2m的所有素數(shù)p和正整數(shù)初

.解：由題設(shè)得〃(2〃+1)=(m—4)(m+2),

所以p|（加一4）（加+2）,由于p是素數(shù)，故p|（加一4）,或p|（〃z+2）....（5分）

（1）若p|（加一4）,令，〃一4=切，左是正整數(shù)，于是〃?+2＞切，

3P2>p(2p+l)=(相一4)(m+2)>k2p2,

故尸<3,從而％=1.

_m-4=〃，入，(〃=5,、

所以《/解得一........(10分)

m+2=2p+L[m=9.

(2)若〃|(m+2),令加+2=切水是正整數(shù).

當〃>5時，有加—4=切一6>切一〃=〃(4—1),

3P2>〃(2〃+1)=(m-4)(m+2)>k(k-Y)p2,

故伙2—1)<3,從而左=1,或2.

由于“(2〃+1)=(m-4)(/n+2)是奇數(shù)，所以Zw2,從而攵=1.

fm-4=2/?+l,

J7E5

m+2=p,

這不也許.

當p=5時，m2-2m=