利用建立坐標(biāo)系解決拋物線型最值問題

利用建立坐標(biāo)系解決拋物線型最值問題第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1課堂講解建立坐標(biāo)系解拋物線型建筑問題

建立坐標(biāo)系解拋物線型運(yùn)動(dòng)問題2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最

值．即當(dāng)x＝－

時(shí)，y最值＝.當(dāng)a＞0時(shí)，在頂點(diǎn)處

取得最小值，此時(shí)不存在最大值；當(dāng)a＜0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得

最大值，此時(shí)不存在最小值．（如下圖）第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1知識(shí)點(diǎn)建立坐標(biāo)系解拋物線型建筑問題知1－講1．運(yùn)用二次函數(shù)的代數(shù)模型解決實(shí)際中的問題，如拋(投)物體，拋物線的模型問題等，經(jīng)常需要運(yùn)用抽象

與概括的數(shù)學(xué)思想，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)．2．利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的基本思路是：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)把實(shí)際問題中一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(4)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)去分析、解決問題．第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知1－講3．易錯(cuò)警示：

(1)利用二次函數(shù)求最值，對(duì)于實(shí)際問題中的最值，

要注意自變量的取值范圍．(2)建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，要遵循以下兩個(gè)原則：①所建立的坐標(biāo)系能使求出的二次函數(shù)表達(dá)式比較

簡(jiǎn)單；②根據(jù)已知點(diǎn)所在位置建立坐標(biāo)系求函數(shù)表達(dá)式比

較簡(jiǎn)單．（來自《點(diǎn)撥》）第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)引：由題意可知拱橋?yàn)閽佄锞€型，因此可建立以O(shè)為坐標(biāo)原

點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸的直角坐標(biāo)

系，利用二次函數(shù)y＝ax2＋c解決問題．例1〈烏魯木齊〉如圖是一個(gè)拋物線型拱橋的示意圖，橋的

跨度AB為100m，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立

柱間的水平距離均為10m(不考慮立柱的粗細(xì))，其中距A點(diǎn)10m處的立柱FE的高度為3.6m.(1)求正中間的立柱OC的高度．(2)是否存在一根立柱，其高度恰

好是OC的一半？請(qǐng)說明理由．知1－講第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知1－講（來自《點(diǎn)撥》）(1)根據(jù)題意可得正中間立柱OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)O，如圖，

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y

軸，建立直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(50，0)．∵OF＝OA－FA＝40m，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(－40，3.6)．

由題意可設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋c，∴y＝－

x2＋10.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝10，

即正中間的立柱OC的高度是10m.解：第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知1－講（來自《點(diǎn)撥》）(2)不存在．

理由：假設(shè)存在一根立柱的高度是OC的一半，即這

根立柱的高度是5m，則有5＝－

x2＋10，

解得x＝±25.由題意知相鄰立柱間的水平距離均

為10m，正中間的立柱OC在y軸上，∴每根立柱上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為10的整數(shù)倍．∴x＝±25與題意不符．∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半．第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）

本題運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)y＝ax2＋c的表達(dá)式.第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1(2015·銅仁)河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋

物線型，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)

表達(dá)式為

y＝－

x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O

是4m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為(

)A．－20mB．10mC．20mD．－10m知1－練（來自《典中點(diǎn)》）第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2(2015·金華)圖②是圖①中拱形大橋的示意圖，橋拱

與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB

為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可近似看成

拋物線y＝－(x－80)2＋16，橋拱與橋墩AC的交

點(diǎn)C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA＝10m，則橋面

離水面的高度AC為(

)

A．16mB.mC．16mD.m知1－練（來自《典中點(diǎn)》）第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

某公園有一個(gè)拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如

圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線對(duì)應(yīng)的函

數(shù)表達(dá)式為y＝－

x2＋c且過點(diǎn)C(0，5).(長(zhǎng)度單位：m)(1)直接寫出c的值；(2)現(xiàn)因做慶典活動(dòng)，計(jì)劃沿拱橋的

臺(tái)階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地

毯，地毯的價(jià)格為20元/m2，求購買地毯需多少元；(3)在拱橋加固維修時(shí)，搭建的“腳手架”為矩形EFGH(H，G分別在拋物線的左右側(cè)上)，并鋪設(shè)斜面EG.已知矩形EFGH的周長(zhǎng)為27.5m，求斜面EG的傾斜角∠GEF的度

數(shù)．(精確到0.1°)知1－講第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)引：(1)將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)首先應(yīng)求出鋪設(shè)

地毯的臺(tái)階的表面積，而求表面積的關(guān)鍵在于求得

所有臺(tái)階的水平和豎直的總長(zhǎng)度，進(jìn)而求得所需錢

數(shù)；(3)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，在Rt△EFG中，利用三角

函數(shù)求∠GEF的度數(shù)．

解：(1)c＝5.(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－

x2＋5＝0，

解得x1＝10，x2＝－10.∴地毯的總長(zhǎng)度為AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)．∴購買地毯需要900元．知1－講第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)可設(shè)G的坐標(biāo)為

其中a＞0，

則EF＝2am，GF＝

由已知得2(EF＋GF)＝27.5m，即2

解得a1＝5，a2＝35(不合題意，舍去)．當(dāng)a＝5時(shí)，

＋5＝－×52＋5＝3.75，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是(5，3.75)．∴EF＝10m，GF＝3.75m.在Rt△EFG中，tan∠GEF＝0.375，∴∠GEF≈20.6°.知1－講（來自《點(diǎn)撥》）第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）

本題實(shí)際上是一道函數(shù)與幾何的綜合題．主要考查根據(jù)題意和已知圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等來解決問題，是中等難度的試題．第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3(中考·紹興)如圖的一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時(shí)，

橋洞頂部離水面4m，已知橋洞的拱形是拋物線，以

水平方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若選取點(diǎn)A為

坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝－(x－6)2＋4，則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)

表達(dá)式是______________________．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2知識(shí)點(diǎn)建立坐標(biāo)系解拋物線型運(yùn)動(dòng)問題知2－講例3〈一題多解〉如圖，某灌溉設(shè)備的噴

頭B高出地面1.25m，噴出的拋物線

型水流在與噴頭底部A的距離為1m

處達(dá)到距離地面最大高度2.25m，試

建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出與該拋物線型水流對(duì)應(yīng)

的二次函數(shù)關(guān)系式．導(dǎo)引：解決問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把

實(shí)際問題中的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用待定

系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式．第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知2－講解：方法一：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則拋物

線的頂點(diǎn)為O(0，0)，且經(jīng)過點(diǎn)B(－1，－1)．于是

設(shè)所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2，

則有－1＝a·(－1)2，得a＝－1.∴拋物線型水流對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝－x2.第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知2－講方法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)為D(0，2.25)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(－1，1.25)．于是設(shè)所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋2.25，則有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴拋物線型水流對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝－x2＋2.25.第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月知2－講方法三：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)為D(1，2.25)，且經(jīng)過點(diǎn)B(0，1.25)．于是設(shè)所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－1)2＋2.25，則有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴拋物線型水流對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝－(x－1)2＋2.25.（來自《點(diǎn)撥》）第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）解決拋物線型問題，其一般步驟為：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求表達(dá)式，再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)解題．在解題過程中要充分利用拋

物線的對(duì)稱性，同時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平

地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

水在空中劃出的曲線是拋物線y＝－x2＋4x(單位：m)

的一部分，則水噴出的最大高度是(

)A．4mB．5mC．6mD．7m知2－練（來自《典中點(diǎn)》）第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2小敏在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y＝－

x2

＋3.5的一部分(如圖)，若命中籃筐中心，則他與籃底

的水平距離l是(

)A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m知