相平面法課件

相平面法由龐加萊1895年首先提出。該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運(yùn)動過程——位置和速度平面上的相軌跡，直觀、形象、準(zhǔn)確的反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)定精度，以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響。其特點(diǎn)——繪制方法步驟簡單、計(jì)算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。相平面法一、基本概念：設(shè)非線性二階系統(tǒng)可以常微方描述：

〈１〉

其中是x(t)和的線性或非線性函數(shù)。方程〈１〉的解可以用x(t)的時間函數(shù)曲線表示，也可以用和x(t)的關(guān)系曲線表示，而t為參變量。若已知x和的時間曲線如下圖中（b）和（c）所示，則可根據(jù)任一時間點(diǎn)的x(t)和的值，

得到以x(t)為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)的相平面上的上圖（a）所示。

相軌跡上對應(yīng)的點(diǎn)，并由此獲得一條相軌跡，如1、相平面與相變量

x(t)和——系統(tǒng)運(yùn)動的相變量（狀態(tài)變量）；由x—組成的直角坐標(biāo)平面——相平面。2、相軌跡相變量從初始時刻對應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)

隨著時間的推移，在相平面上運(yùn)動形成

的曲線基本概念（續(xù)）——相軌跡。

3、相平面圖：

根據(jù)微分方程解的存在和唯一性定理，對于任一給

定的初條，相平面上有一條相軌跡與之對應(yīng)，多個初條下的運(yùn)動對應(yīng)多條相軌跡，形成相軌跡簇。而由一簇相軌跡所組成的圖形——相平面圖。二、相軌跡的繪制：（1）解析法、（2）作圖法、（3）實(shí)驗(yàn)法（一）解析法：

求出相軌跡的解，再畫出相軌跡?；靖拍睿ɡm(xù)）適用場合：（1）運(yùn)動方程比較簡單（2）可以分段線性化例1、如圖所示，彈簧—質(zhì)量運(yùn)動系統(tǒng)，m為物體質(zhì)量，k為彈性系數(shù)。

若初條為

試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動的相軌跡。

解：

相軌跡的繪制（續(xù)）可寫為

相軌跡的繪制（續(xù)）

整理有

故該系統(tǒng)自由運(yùn)動的相軌跡為以原點(diǎn)為圓心，

為半徑的圓。

0相軌跡的繪制（續(xù)）例2、理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)試?yán)L制相軌跡。解：線性部分有，而非線性部分有相軌跡的繪制（續(xù)）

相軌跡的繪制（續(xù)）可見：直線c=r[在此r=1]

將相平面分成兩個區(qū)域I和II。1）若初始條件處于A點(diǎn)(II內(nèi)):2）過B點(diǎn)后：3）過C點(diǎn)后又進(jìn)入II區(qū)：周而復(fù)始，構(gòu)成封閉曲線。從相軌跡的繪制（續(xù)）可見：時間響應(yīng)呈周期運(yùn)動狀態(tài)。<二>圖解法繪制相軌跡的作圖方法有多種，如等傾線法、

其中等傾線法以其簡單實(shí)用而被普遍采用。相軌跡的繪制（續(xù)）1、等傾線法的基本思路：首先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而

繪制出相軌跡的切線方向場，

然后從初條出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。

2、特點(diǎn)：不需求解微分方程。對于求解困難的非線性微分方程，顯得尤為實(shí)用。3、方法：對于非線性系統(tǒng)

其中是相軌跡的斜率；圖解法（續(xù)）

則有

根據(jù)這一方程可在相平面上作一曲線，稱為等傾線。

當(dāng)軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點(diǎn)時，其切線的斜率都相

等，均為

。取為若干不同

的常數(shù)，即可在相平

相平面上繪制出若干

條等傾線。在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。

所以，根據(jù)給定的初始條件，從初始點(diǎn)出發(fā)，便可圖解法（續(xù)）沿各條等傾線所決定的相軌跡的切線方向依次畫出系統(tǒng)的相軌跡。

例3、若已知試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：圖解法（續(xù)）在作好等傾線的相平面圖上，從初始點(diǎn)出發(fā)順時針將各小線段光滑的連接起來，便圖解法（續(xù)）4、使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意的問題：<1>坐標(biāo)軸x和應(yīng)選用相同的比例尺，否則等傾線斜率不準(zhǔn)確。得到一條相軌跡。如從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過B、C、D、E‥‥‥最后逐漸趨于原點(diǎn)。<2>在相平面的上半平面，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；相反，在下半平面

相軌跡的走向應(yīng)是由右向左。圖解法（續(xù)）

<3>除平衡點(diǎn)外，相軌跡與x軸的相交處的切線斜率

，即相軌跡與x軸垂直相交。<4>一般的，等傾線分布越密，繪制的相軌跡越準(zhǔn)確，但同時工作量也增大，而且還會使作圖產(chǎn)生的積累偏差增大，因此可采用平均斜率法——取相鄰兩條等傾線所對應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。圖解法（續(xù)）三、線性系統(tǒng)的相軌跡：

線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例。對于許多非線性一階和二階系統(tǒng)（系統(tǒng)所含非線性環(huán)節(jié)可用分段折線表示），?？梢苑殖啥鄠€區(qū)間進(jìn)行研究。而在每個區(qū)間內(nèi)，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動特性可用線性微分方程描述。另外，對于某些非線性微方，為研究各平衡狀態(tài)附近的運(yùn)動特性，可在平衡點(diǎn)附近作小偏差法近似處理。因此，研究線性一階、二階系統(tǒng)的相軌跡及其特點(diǎn)就顯得尤為重要。因此得出的結(jié)論是非線性一、二階系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。

<一>線性一階系統(tǒng)的相軌跡：

設(shè)初始條件

<二>線性二階系統(tǒng)的相軌跡：

其中A是初條決定的積分常數(shù)，此為同心橢圓?？梢姡簾o論初條如何，經(jīng)過衰減振蕩，系統(tǒng)最終趨于平衡點(diǎn)——原點(diǎn)。其中由第三章知：都是由初條決定的常數(shù)。由例3可知，相軌跡為向心螺旋線，最終趨于原點(diǎn)。

此時系統(tǒng)的暫態(tài)分量為非振蕩衰減形式。由第三章可知：可以證明：此時的相軌跡是一簇通過原點(diǎn)的拋物線。存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為：4、負(fù)阻尼：（分三種）<1>系統(tǒng)特征根為一對具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根。系統(tǒng)自由運(yùn)動為發(fā)散振蕩形式。其相軌跡從原點(diǎn)向外卷，為離心螺旋線。

<2>系統(tǒng)特征根為兩個正實(shí)根：

系統(tǒng)自由運(yùn)動呈非振蕩發(fā)散。其相軌跡存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為：相軌跡的曲線的形式與

運(yùn)動方向相反。的情況相同，只是<3>正反饋二階系統(tǒng)：

相軌跡存在的兩條特殊的等傾線也是相軌跡，其斜率分

別為：

同時它們又是其他相軌跡的漸近線

此外作為相平面的分割線，還將相平面劃分為四當(dāng)初條位于斜率為的直線上時，系統(tǒng)的運(yùn)動將趨于原點(diǎn)，但只要受到極其微小的擾動，系統(tǒng)的運(yùn)動將偏離該相軌跡，并最終沿著斜率為的相軌跡的方向發(fā)散至無窮。所以正反饋二階

系統(tǒng)的運(yùn)動是不穩(wěn)定的。個具有不同運(yùn)動狀態(tài)的區(qū)域。正反饋二階系統(tǒng)（續(xù)）四、奇點(diǎn)與奇線

繪制相軌跡的目的是為了分析系統(tǒng)的運(yùn)動特性。由于系統(tǒng)平衡點(diǎn)有無窮多條相軌跡離開或到達(dá)，所以平衡點(diǎn)附近的相軌跡最能反映系統(tǒng)的運(yùn)動特性。因此平衡點(diǎn)是非常重要的特征點(diǎn)，很有必要加以討論和研究。另外，系統(tǒng)的自激振蕩狀態(tài)也是人們非常關(guān)心的問題。前者叫奇點(diǎn)，后者為極限環(huán)（奇線最常見的形式）。<一>奇點(diǎn)：

1、定義：

以微方表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每一點(diǎn)切線的斜率為若在某點(diǎn)處

同時為0，

則稱該點(diǎn)為相平面的奇點(diǎn)。

2、性質(zhì)：⑴相軌跡在奇點(diǎn)處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點(diǎn)處可以按任意方向趨近或離開奇

點(diǎn)。因此在奇點(diǎn)處多條相軌跡相交。

⑵在相軌跡的非奇點(diǎn)（稱為普通點(diǎn)）處，不同時滿足

相軌跡的切線斜率是一個確定

的值，故經(jīng)過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。

⑶由奇點(diǎn)定義知，奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上。⑷在奇點(diǎn)處系統(tǒng)運(yùn)動的速度和加速度同時為0。

⑸對于二階系統(tǒng)來說，系統(tǒng)在奇點(diǎn)處不再發(fā)生運(yùn)動，處于平衡狀態(tài)，故相平面的奇點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。且二階系統(tǒng)的平衡點(diǎn)即為原點(diǎn)(0，0)。奇點(diǎn)（續(xù)）3、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型：

⑴焦點(diǎn)——特征根為共軛復(fù)根

⑵節(jié)點(diǎn)——特征根為同號實(shí)根⑶鞍點(diǎn)——一個特征根為正實(shí)根，另一個為負(fù)實(shí)根。

⑷中心點(diǎn)——一對共軛純虛根。奇點(diǎn)（續(xù)）4、線性一階系統(tǒng)的奇點(diǎn)：只有原點(diǎn)是奇點(diǎn)

5、線性二階系統(tǒng)的特殊情況：奇點(diǎn)（續(xù)）當(dāng)b=0時，即，此時奇點(diǎn)為橫軸。1）0奇點(diǎn)（續(xù)）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。相軌跡有漸近線：0②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。相軌跡有漸近線：02）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。相軌跡有漸近線：②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。相軌跡有漸近線：3）004）①b>0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。00②

b<0:系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)。4）5）06、非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)：<二>奇線由上知，不同的奇點(diǎn)形式，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動特性不同，線性系統(tǒng)可由奇點(diǎn)附近的運(yùn)動特性解析，可在某奇點(diǎn)附近進(jìn)行小偏差法近似，然后按線性二階系統(tǒng)分析其類型。不解析，多含有用

分段折線表示的非線性因素，可將相平面分區(qū)，再分析，若對應(yīng)的奇點(diǎn)位于本區(qū)域內(nèi)，則叫實(shí)奇點(diǎn)，否則為虛奇點(diǎn)。

若完全確定其性能。而非線性系統(tǒng)不能由奇點(diǎn)的形式確定整個相平面上的運(yùn)動狀態(tài)，還需研究相平面上遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的相軌跡。在離奇點(diǎn)較遠(yuǎn)的相平面上，非線性系統(tǒng)有時會產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動特點(diǎn)的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線，最常見的形式是極限環(huán)。1、極限環(huán)的定義：相平面圖上的一根孤立的封閉相軌跡稱為極限環(huán)，它對應(yīng)的系統(tǒng)會產(chǎn)生自激振蕩。奇線（續(xù)）2、極限環(huán)的類型：2）不穩(wěn)定的極限環(huán)：

環(huán)內(nèi)的相軌跡和環(huán)外的相軌跡都逐漸遠(yuǎn)離極限環(huán)。

3）半穩(wěn)定的極限環(huán)：

要么環(huán)內(nèi)的相軌跡向極限

環(huán)逼近，環(huán)外的遠(yuǎn)離而去；

1）穩(wěn)定的極限環(huán)：環(huán)內(nèi)的相軌跡和環(huán)外的相軌跡都向極限環(huán)逼近，如右圖。要么環(huán)外的相軌跡向極限

環(huán)逼近，環(huán)內(nèi)的遠(yuǎn)離而去。

3、說明：①極限環(huán)將相平面分割成內(nèi)部平面和外部平面，相軌跡不能從內(nèi)部直接穿過極限環(huán)而進(jìn)入外部平面，或者相反。

②時的二階系統(tǒng)的相軌跡雖然是一簇封閉的曲

線，但它不是極限環(huán)。③只有穩(wěn)定的極限環(huán)所對應(yīng)的周期運(yùn)動在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)動過程中才可以觀察得到。奇線（續(xù)）將奇點(diǎn)類型的分析和極限環(huán)類型的判斷結(jié)合起來，就能對整個系統(tǒng)的運(yùn)動特性做出分析。例4、已知一非線性系統(tǒng)

試分析其運(yùn)動特性。解：

ro奇線（續(xù)）最后得到以極坐標(biāo)變量描述的運(yùn)動方程<1>當(dāng)時，為系統(tǒng)平衡點(diǎn)即奇點(diǎn)

（在原點(diǎn)的附近小偏差法近似）。為確定奇點(diǎn)的類型，

需計(jì)算奇點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)。奇線（續(xù)）

將⑴⑵在奇點(diǎn)附近線性化有在此可令奇線（續(xù)）

在此a=1,b=1,c=-1,d=1，則此時方程的特征根為一對

具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，所以奇點(diǎn)（0，0）為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。奇線（續(xù)）①若r<1，所以圓內(nèi)的相軌跡亦向單位圓逼近。②若r>1，所以圓外的相軌跡亦向單位圓逼近。

<2>，方程為即為時的相軌跡為單位圓且奇線（續(xù)）五、由相軌跡求取時間間隔：★該系統(tǒng)的奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，說明平衡點(diǎn)的運(yùn)動特性是不穩(wěn)定的。而單位圓外的相軌跡是逼近單位圓的，振蕩幅值會越來越小。這說明：系統(tǒng)產(chǎn)生的是衰減振蕩，且是有界的。相軌跡能清楚地反映系統(tǒng)的狀態(tài)變化，而確定時間響應(yīng)。周期運(yùn)動的周期和過渡過程時間，都要涉及到由相軌跡確定時間t。常用下列三種方法：

（由軌跡平均斜率求t）：1、增量法設(shè)相軌跡上兩點(diǎn)的位移增量較小。設(shè)為兩點(diǎn)處的平均值，則相軌跡狀態(tài)變量同理可求

以及時域指標(biāo)。

★注意：在選擇相軌跡穿過橫軸段的點(diǎn)時，應(yīng)避免出最好是將其中一點(diǎn)選在橫軸上。現(xiàn)

2、積分法（即面積法）

根據(jù)相軌跡圖，以x為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，曲線。畫出當(dāng)時間軸由時有：

即為陰影面積，用解析法或圖解法均可求得此面積。

3、圓弧法⑴基本思路：在橫軸上確定圓心和半徑，用對應(yīng)圓上的一段圓弧近似表示相軌跡上的兩點(diǎn)

線，再計(jì)算系統(tǒng)沿著諸圓弧運(yùn)動所需的時間。

之間的曲⑵

方法：設(shè)圓心坐標(biāo)(A，0)，半徑為r，圓心到的連線與x軸正方向的夾角分別為弧上任一點(diǎn)

用相平面法分析非線性系統(tǒng)時，通常會遇到兩類問題。一類是系統(tǒng)的非線性方程可解析處理的，稱為非本質(zhì)性非線性，即在奇點(diǎn)附近將非線性方程線性化，然后根據(jù)線性化方程式中根的性質(zhì)確定奇點(diǎn)的類型，并用圖解法或解析法畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡。另一類非線性方程是不可解析處理的，稱為本質(zhì)性非線性。對于這類非線性系統(tǒng)，一般將非線性元件的特性作分段線性化處理，即把整個相平面分成若干個區(qū)域，使每一個區(qū)域成為一個單獨(dú)的線性工作狀態(tài)，有其相應(yīng)的微分方程和奇點(diǎn)，再應(yīng)用線性系統(tǒng)的相平面分析方法，求得各個區(qū)域內(nèi)的相軌跡，將他們拼接起來，就得到整個系統(tǒng)的相平面圖。非線性系統(tǒng)的相平面分析（續(xù)）

這些曲線中折線的各轉(zhuǎn)折點(diǎn)，構(gòu)成了相平面區(qū)域的分界線，稱為開關(guān)線。這種方法不僅能分析二階系統(tǒng)自由運(yùn)動特性，也能分析系統(tǒng)在外界作用下的運(yùn)動特性，并能確定系統(tǒng)運(yùn)動的性能指標(biāo)，如運(yùn)動時間、運(yùn)動速度、超調(diào)量等。

8.6.1非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)

【例1】求由下列方程所描述系統(tǒng)的相軌跡圖，并分析該系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）解系統(tǒng)相軌跡微分方程為則求得系統(tǒng)的兩個奇點(diǎn)為為確定奇點(diǎn)類型，需計(jì)算各奇點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）(1)奇點(diǎn)（0，0）處:增量線性化方程為特征根為

故奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。(2)奇點(diǎn)（-2，0）處:增量線性化方程為特征根為

故奇點(diǎn)（-2，0）為鞍點(diǎn)。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）

根據(jù)奇點(diǎn)的位置和奇點(diǎn)類型，結(jié)合線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類型和系統(tǒng)運(yùn)動形式的對應(yīng)關(guān)系，繪制本系統(tǒng)在各奇點(diǎn)附近的相軌跡，應(yīng)用等傾線法繪制其它區(qū)域的相軌跡，獲得系統(tǒng)的相平面圖。

非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）圖中相交于鞍點(diǎn)（-2，0）的兩條相軌跡為奇線，將相平面劃分為兩個區(qū)域，相平面中陰影線內(nèi)區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，陰影線外區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域。如果狀態(tài)的初始點(diǎn)位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，則其相軌跡將收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果狀態(tài)的初始點(diǎn)位于圖中的陰影區(qū)域外，則其相軌跡會趨于無窮遠(yuǎn)處，表示相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可見，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）【例2】設(shè)一階非線性系統(tǒng)的微分方程為試確定系統(tǒng)有幾個平衡狀態(tài)，分析各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并作出系統(tǒng)的相軌跡。所以系統(tǒng)有3個平衡狀態(tài)。

在每一個平衡點(diǎn)處，將系統(tǒng)線性化處理，省略增量符號“

Δ

”，則有：非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）所以線性化方程為其特征方程為：所以線性化方程為其特征方程為：所以線性化方程為其特征方程為：非本質(zhì)性非線性系統(tǒng)（續(xù)）8.6.2本質(zhì)性非線性系統(tǒng)本質(zhì)性非線性系統(tǒng)相平面分析法的步驟如下：(1)根據(jù)非線性特性將相平面劃分為若干區(qū)域，建立每個區(qū)域的線性微分方程來描述系統(tǒng)的運(yùn)動特性。(2)根據(jù)分析問題的需要，適當(dāng)選擇相平面坐標(biāo)軸，

通常為(3)根據(jù)非線性特性建立相平面上開關(guān)線方程。必須注意：開關(guān)線方程的變量應(yīng)與坐標(biāo)軸所選坐標(biāo)變量一致。

(4)求解每個