任意角三角函數(shù)的定義及相關課題教學初探

精品文檔-下載后可編輯任意角三角函數(shù)的定義及相關課題教學初探摘要:掌握數(shù)學概念是學習數(shù)學知識最重要的基礎,任何體系都是從概念的嚴密定義開始構建起來的。沒有準確的概念就談不上具體的數(shù)學對象和數(shù)學模型,也談不上建立數(shù)學運算法則及其應用。

關鍵詞:任意角;三角函數(shù);課題;教學;數(shù)值

因為,數(shù)學概念定義的教學往往是數(shù)學新知識教學最重要的開端。整式,方程、函數(shù)如此,極限、導數(shù)乃至概率、群論等同樣如此。所以,一個定義的出現(xiàn)和學生掌握的情況如何,直接關系到完成這段教材的教學和這段教材編寫的成功與否。

我們來看“任意角三角函數(shù)的定義”及相關課題,筆者根據(jù)在職業(yè)培訓學院進行的教學實踐談談個人的體會和意見。

首先,給出任意角三角函數(shù)的定義,這是借助“比”而同時對六個三角函數(shù)進行定義的,這種坐標定義建立了“角”到“比值”的多對一對應,它是以角為自變量,以比值為函數(shù)的函數(shù)。這里應當特別指出,有了弧度制,就建立了一個以實數(shù)為自變量的函數(shù)。我們應當特別注意六個三角函數(shù)即六個比,這是三角函數(shù)定義的核心問題,我們在教學中強調,在這六個比中,r、x、y三者是如何有規(guī)律的變化,那種比法為角的那個三角函數(shù),這必須要求學生了如指掌、熟練掌握。只有真正掌握了三角函數(shù)的定義,那么由此產(chǎn)生的許多相關課題,便能順理成章,迎刃而解了。

一、由定義得出三角函數(shù)的定義域:

六個三角函數(shù)是六個不同的比,我們抓住分母若為o就使比失去意義輕松的得出三角函數(shù)的定義域。在sin=,cos中,r為正數(shù),無論x、y為何值均有意義,既得正弦、余弦定義域為全體實數(shù);對tan=,sec=,當x=o即的終邊落在y軸上時沒有意義所以正切、余切的定義域為x≠K(k);對cot=,csc=,當y=o時即終邊在x軸上時沒有意義,所以余切和余割定義域為x≠K(KZ)。

1、由定義確定三角函數(shù)的值域:

現(xiàn)在,我們用定義證明我們都熟悉的三角函數(shù)值域。

(1)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1

證明:+=,r>o

-r≤y≤r

即-1≤≤1

由sin=得

-1≤sin≤1,

類似可得-1≤cos≤1

(2)sec≤-1或sec≥1;

csc≤-1或csc≥1

證明:+=

o≤x≤r

當x≠o,有

≥1

由sec=可得

sec≤-1或sec≥1;

類似可得:csc≤-1或csc≥1

(3)-∞

這里,可根據(jù)學生的接受情況,做一些說明。當?shù)慕K邊在K(K∈Z)終邊的右邊無限接近K(K∈Z)時,因為x無限接近于o,所以tan=無限增大,即tan趨向于+∞;當?shù)慕K邊在K(K∈Z)的終邊的左側無限接近K(K∈Z)時,tan=無限減小,即趨向于-∞。這就說明-∞

教學中為便于學生記憶,可將sin∈〔-1,1〕,cos∈〔-1,1〕;tan∈〔-∞,+∞〕,cot∈〔-∞,+∞〕;sec∈〔-∞,-1〕∪〔1,+∞〕,csc∈〔-∞,-1〕∪〔1,+∞〕。

應當指出,雖然多數(shù)教材在給出三角函數(shù)定義后只強調定義域,而沒有立即研究值域,但用定義的方法研究值域是非常有意義的,這實際上使定義更加完整,且能培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。當然,在學習三角函數(shù)圖像時提出值域似乎也好,但筆者認為要精減教材的話,是否只講y=sinx及y=sin(Ax+)這里常用的圖像就夠了。如果這樣,在定義之后引入值域問題就更顯必要了。

由定義導出三角函數(shù)值的符號:

在這之前,已知終邊上某點的坐標,由定義直接計算過一些三角函數(shù)值,我們已經(jīng)注意到這些數(shù)值的符號問題。我們可以啟發(fā)提問,根據(jù)三角函數(shù)定義,三角函數(shù)值的符號取決于誰的符號?拿出定義中的六個比來看,問題非常明顯,三角函數(shù)值的符號取決于x、y的符號,從而說明在哪個象限時它們分別是正值還是負值。因此聯(lián)系定義容易確定sin與csc當在一、二象限時為正,其余為負,tan與cot當在一、三象限時為正,其余為負,而cos與sec當在一、四象限時為正,其余為負。

順便指出,這段教材學生掌握容易但熟練卻不易,后來往往因一個符號釀出一個大錯,教學中我們做過這樣的實踐。

如果我們只記前三個函數(shù),且我們只記正號的函數(shù),其余為負,所在象限簡稱為一、二、三、四,可以有簡單的口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦?！边@是簡單記的,當然這只為了記憶和使用的方便,其含意必須徹底清楚,實踐證明,這種方法容易記,方便用,出錯少。

2、由定義引出終邊相同的角的同名各三角函數(shù)值相等:

因為任意角的三角函數(shù)定義只與角的終邊及終邊上某點坐標有關,而不管這個終邊旋轉的方向或旋轉了幾轉而終止在此,這說明只有終邊相同其同名三角函數(shù)值應相等,于是求任意角的三角函數(shù)值問題就可轉化為0到2間的角的三角函數(shù)值問題了。

這里應當指出:f(2+)=f()(K∈Z)說明了三角函數(shù)的對應關系是“多對一”的對應,明確這個問題對于學習三角函數(shù)的周期性,明確三角函數(shù)在整個定義域內不存在反函數(shù)且只有置x于單調區(qū)間才有反函數(shù)或三角方程的解集等都是十分有意義的。

3、有定義證明同角三角函數(shù)基本恒