同濟(jì)版大一高數(shù)第十章第一節(jié)二重積分概念課件

高等數(shù)學(xué)第十四講1高等數(shù)學(xué)第十四講1第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分2第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)第十章3三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.１．曲頂柱體的體積問題的提出4柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.１．求曲邊梯形面積的解題步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i個窄曲邊梯形上任取窄曲邊梯形面積得3)近似和.4)取極限.5求曲邊梯形面積的解題步驟:1)大化小.在區(qū)間[a,解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”6解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體71)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚?)“取極限”令84)“取極限”令82.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.92.平面薄片的質(zhì)量有一個平面薄片,在xoy平面上占2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量102)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:11兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),12二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D任意分成n個引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作13引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果關(guān)于二重積分定義的幾點(diǎn)說明:1、二重積分的值與D域的分法及的取法無關(guān)。2、二重積分是個極限值，是個數(shù)值。其大小只與及D有關(guān)而與積分變量的記號無關(guān)。3、對D的分割是任意的，若用平行于坐標(biāo)軸的直線段來劃分D,那么除了靠邊的一些小區(qū)域外，絕大部分的小區(qū)域都是矩形的，由于靠邊的小區(qū)域不作計較。14關(guān)于二重積分定義的幾點(diǎn)說明:1、二重積分的值與D域的分法及的上方的體積－下方的體積。二重積分的幾何意義15上方的體積－下方的體積。二重積分的幾何意義15二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點(diǎn)或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有16二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則（共8個）17三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則（特別,由于則5.若在D上6.（二重積分的估值定理）D的面積為,則有設(shè)18特別,由于則5.若在D上6.（二重積分的估值定理）D7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此此性質(zhì)的幾何意義是：總可以在D內(nèi)找到一點(diǎn)使得以D為底為曲頂?shù)那斨w的體積等于以D為底，為高的平頂柱體體積。197.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有208.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上21例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界2.

設(shè)D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有222.設(shè)D是第二象限的一個有界閉域,且0<y例2.判斷的正負(fù).解：當(dāng)時，故又當(dāng)時，于是23例2.判斷的正負(fù).解：當(dāng)時，故又當(dāng)時，于是23例3.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D1、24例3.估計下列積分之值解:D的面積為由于積分性質(zhì)2、解：先求在D上的最值令得駐點(diǎn)：在D的邊界上為D的面積252、解：先求在D上的最值令得駐點(diǎn)：在D的邊界上為D的面內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的