資料塑性變形力學(xué)計(jì)算

圖15.2彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變￡=%+勺圖15.2彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變￡=%+勺桿件的塑性變形15.1概述工程問(wèn)題中絕大部分構(gòu)件必須在彈性范圍內(nèi)工作，不允許出現(xiàn)塑性變形。但有些問(wèn)題確須考慮塑性變形。15.2金屬材料的塑性性質(zhì)圖15.1是低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。過(guò)屈服極限后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是非線性的有圖15.1低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變之間是單值對(duì)應(yīng)的。塑性階段卻并非如此，應(yīng)力和應(yīng)變不再是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系（如圖15.2）o下面是兒種常見(jiàn)的塑性材料模型。

o5E.2lo.o.o=一一二=nnnn有時(shí)也把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似地表為慕函數(shù)，慕強(qiáng)化材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖o5E.2lo.o.o=一一二=nnnn<J=C￡n15.3拉伸和壓縮桿系的塑性分析現(xiàn)以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來(lái)說(shuō)明靜不定拉壓桿系的塑性分析,當(dāng)載荷P逐漸增加時(shí)，桿件兩端的反力是(a)F力作用點(diǎn)的位移是R.aPabEAEA(a+b)(b)如力>。則&次。隨著P的增加,(a)AC段

如力>。則&次。隨著P的增加,(a)的應(yīng)力將首先達(dá)到屈服極限。若相應(yīng)的載荷為P',載荷作用點(diǎn)的位移為名，由兩式求得由平衡方程可知R2=P-A(j3載荷作用點(diǎn)。的位移為(c)(d)街段也進(jìn)入塑性階段時(shí)，R=A%,由（。）式求出相應(yīng)的載荷為圖(P-聯(lián)

EA(c)(d)街段也進(jìn)入塑性階段時(shí)，R=A%,由（。）式求出相應(yīng)的載荷為圖P2=2Abg載荷達(dá)到乙后，整個(gè)桿件都己進(jìn)入塑性變形。例18.1在圖15.9。所示靜不定結(jié)構(gòu)中，設(shè)三桿的材料相同，橫截面面積同為人。試求使結(jié)構(gòu)開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的載荷乙、極限載荷Pp。解：以M和州分別表AC和AO桿的軸力，叫表曲桿的軸力。令旦=瓦，

…“Peosta PM=M= z—,N3= —(e)l+2cos。 l+2cos。(e)當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，AB桿的應(yīng)力首先達(dá)到劉，這時(shí)的載荷即為由(。)式的第二式得N3=Act.=——5__1+2C0SQ由此解出Pi=Acrs(1+2cos3er)載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力憶保持為人氣，兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力M也達(dá)到人久，相應(yīng)的載荷即為極限載荷乙。這時(shí)由節(jié)點(diǎn)A的平衡方程知Pp=2Acrscosa+A(7s=A(7s(2cosa+1)加載過(guò)程中，載荷P與A點(diǎn)位移的關(guān)系已表示于圖15.9人中。15.4軸的塑性扭轉(zhuǎn)15.4軸的塑性扭轉(zhuǎn)圓軸受扭時(shí)，橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性規(guī)律分布，即圖隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應(yīng)力首先達(dá)到剪切屈服極限八(圖15.10。)。若相應(yīng)的扭矩為幻，由3)式知亍 1 3匕= =5勿尸％尸2 (b)極限扭矩7p,其值為T(mén)?=\^pTzdA取dA=&pdp代入上式后完成積分，得T?=2勿/二3 - (15.4)達(dá)到極限扭矩后，軸己經(jīng)喪失承載能力。例18.2設(shè)材料受扭時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系如圖15.11"所示，并可近似地表為廣=By式中m和B皆為常量。試導(dǎo)出實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式。T(?)圖T(?)圖解：根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，可以直接引用3.4中的（^）式，求得橫截而上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)?d)d（!）式中弘是扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，Q為橫截面上一點(diǎn)到圓心的距離，心即為該點(diǎn)剪應(yīng)變。（d）式表明，沿橫截面半徑，各點(diǎn)的剪應(yīng)變是按直線規(guī)律變化的（圖15.11^）□由（c）、（d）兩式求出或者寫(xiě)成(f)4叩(f)ax橫截面上的扭矩應(yīng)為r=J/"A取dA=宜pdp,并以（f）式代入上式,T="lB"為**婦如為2m+l3m+l川廠3mT="lB"為**婦如為2m+l3m+l川廠3m+1(g)從（八和（g）兩式中消去Idx），得剪應(yīng)力的計(jì)算公式3川+1以房(h)令P=L得最大剪應(yīng)力為

'maxT3/77+1_Tr3m+1,?■ ■?.，2幾戶m/p4/n當(dāng)〃7=1時(shí)，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)門(mén)rmax/p由(。)式知max'maxT3/77+1_Tr3m+1,?■ ■?.，2幾戶m/p4/n當(dāng)〃7=1時(shí)，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)門(mén)rmax/p由(。)式知max故有些=d_dxBr1Tr3〃7+1、二——?叭44m積分求得相距為/的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)為1(Tr3w?+1(b=—— —B[I?4m}r當(dāng)〃7=1,B=G時(shí)，上式化為1G/p這就是公式(3.17)o15.5塑性彎曲和塑性釵15.5.1純彎曲根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上距中性軸為y的點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?a)式中Q是曲線的曲率。靜力方程:(b)jadA=0(b)(c)|y<ydA=M(c)在線彈性階段，有Myb=—-/ (d)若以財(cái)】表示開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎距，由(d)式知M、=性Ymax (e)載荷逐漸增加，橫截面上塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大，且塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力保持為％(圖15.12b)。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區(qū)域內(nèi)材料是彈性的。此時(shí),無(wú)論在拉應(yīng)力區(qū)或壓應(yīng)力區(qū)，都有如以4和4分別表示中性軸兩側(cè)拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)的面積，則靜力方程(b)化為fadA=fa3dA-fazdA=az(A[-A2)=0JA JA] JA?A=a2若整個(gè)橫截面面積為a,則應(yīng)有A1+A2=A故有A=^2=42 (15.5)極限情況下的彎矩即為極限彎矩Mp,由靜力方程（C）得本_-奇_樣(b)(■)(。)（力圖MP=「)9$〃=%LydA+ydA本_-奇_樣(b)(■)(。)（力圖MP=「)9$〃=%LydA+ydA=%31頊2+人1鳧)A27式中克和界分別是4和去的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）乂可把上式寫(xiě)成“p=：人％（丸+必）“p=：人％（丸+必）(15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計(jì)算矩形截面梁和圓截面梁開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎矩和極限彎距"p。解：對(duì)矩形截面梁（圖15.13）,由（-）式得開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的彎矩心】為ybh-A/i=—=—^扁x6由公式（15.13）求得極限彎矩Mp為圖Mp=：Abs（^+貝）二：冊(cè)％(hh-+-圖Mp=：Abs（^+貝）二：冊(cè)％(hh-+-U4bh2——?dú)?和財(cái)p之比為所以從出現(xiàn)塑性變形到極限情況，彎矩增加了50%。對(duì)圓截面梁,/crs 汗/虬=一=丁q>max4Mp （丸+貝）=：刀戶％Mp （丸+貝）=：刀戶％?4r4r)——+—3tt3/r；4/些=J.73勿從開(kāi)始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%。155.2橫力彎曲橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14〃中陰影線的部分，為梁內(nèi)形成的塑性區(qū)。把坐標(biāo)原點(diǎn)放在跨度中點(diǎn)，并將坐標(biāo)為x的橫截面上的應(yīng)力分布情況放大成圖15.14力。在這一截面的塑性區(qū)

內(nèi)，b=bs；彈性區(qū)內(nèi),ycy=cyr-—〃為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應(yīng)為A/=JyadA=2ya3-內(nèi)，b=bs；彈性區(qū)內(nèi),ycy=cyr-—〃為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應(yīng)為A/=JyadA=2ya3-bdy+2[y?crs—?bdyJo(15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為—-x2)令以上兩式相等，得P(l\J/r——x=b—2U(f)這就是梁內(nèi)塑性區(qū)邊界的方程。設(shè)開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的截面的坐標(biāo)為。，在（/）h〃=—式中，令x=a, 2,得P(I——a212bh2由此求得塑性區(qū)的長(zhǎng)度為2a=11-bh2Mmax式中Plbh2Pl隨著載荷的增加，跨度中點(diǎn)截面上的最大彎矩最終達(dá)到極限值Mpo15.6梁的塑性分析mPI對(duì)圖15.14。中的靜定梁，跨度中點(diǎn)截面上的最大彎矩為皿"—3。當(dāng)Mm”達(dá)

到極限彎矩“P時(shí)，梁就在最大彎矩的截面上出現(xiàn)塑性餃。這就是梁的極限狀態(tài),

這時(shí)的載荷也就是極限載荷Pp。Mp=——二若梁的截面為矩形， 4。，于是極限載荷為對(duì)其他形式的靜定梁，也可按同樣的方法進(jìn)行塑性分析。以圖15.15〃所示靜不定梁為例，說(shuō)明靜不定梁塑性分析的特點(diǎn)。根據(jù)塑性鉉上的力偶矩為"p,并利用平衡方程，便可求得極限載荷。由圖15.15。/所示極限狀態(tài)為例，由段的平衡方程2＞上=0，得B/再由整條梁的平衡方程=0,得TOC\o"1-5"\h\z時(shí) B(a)II ,~~1 T 1 1爰⑴ ‘^rffllTnTnTrTTTT^(d)圖心/一4?+州=0把Rb的值代入上式后，解出%件例15.4在均布載荷作用下的靜不定梁如圖15.16。所示。試求載荷0的極限值％。 一一 q (?> ；I1111I11I川I11I11川11川1川II川II川llllllllC { 1 { 1解：梁的極限狀態(tài)一般是跨度AB或跨度變成機(jī)構(gòu)?，F(xiàn)將上述兩種情況分別進(jìn)行討論。要使跨變成機(jī)構(gòu)，除人、8兩截面形成塑性餃外，還必須在跨度內(nèi)的某一截面。上形成塑性釵(圖15.16力)。由于對(duì)稱(chēng)的原因，塑性校D一定在跨度TOC\o"1-5"\h\zR=R=吸 _中點(diǎn)，且人B2。再由人。部分的平衡方程￡〃如=°，得/ q(l\Ra——2Mp一」一=0A2P2⑵將心代入上式，解出l~ (a)這是使AX跨達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的均布載荷。現(xiàn)在討論跨度BC。要使它變成機(jī)構(gòu)，除支座截面B要成為塑性釵外，還要在跨度內(nèi)的某一截面E上形成塑性釵。設(shè)截面E到支座。的距離為嘰這樣可把跨分成圖15.16d中的和EC兩部分。對(duì)這兩部分分別列出以下平衡方程:=0, Mp--a2z >ZmB=0, 2A/p—幺(/一。尸=02 (b)從以上兩式中消去Mp,得a2+2al-l2=QC7=(-1,土V2)/顯然應(yīng)取VI前的正號(hào)，即ci=(V2—1)I將"的值代入(b)式的第一式，即q=7 —=11.6A/p/I2(V2-l；/2 (c)這是使跨達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的均布載荷。比較（a）、（c）兩式，可見(jiàn)整個(gè)靜不定梁的極限載荷是％=1166Mp〃二15.7殘余應(yīng)力的概念載荷作用下的構(gòu)件，當(dāng)其某些局部的應(yīng)力超過(guò)屈服極限時(shí)，這些部位將出現(xiàn)塑性變形，但構(gòu)件的其余部分還是彈性的。如再將載荷解除，己經(jīng)發(fā)生塑性變形的部分不能恢復(fù)其原來(lái)尺寸，必將阻礙彈性部分的變形的恢復(fù)，從而引起內(nèi)部相互作用的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱(chēng)為殘余應(yīng)力。例15.6在矩形截面梁形成塑性區(qū)后，將載荷卸盡，試求梁截面邊緣處的應(yīng)力。設(shè)材料是理想彈塑性的。解：當(dāng)矩形截面梁的橫截面上出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)，應(yīng)力分布表示于圖15.14^0根據(jù)公式（15.7）,截面上的彎矩為M=b6匚匚s4 3這時(shí)梁內(nèi)的最大應(yīng)力為％。卸載過(guò)程相當(dāng)于把與上列彎矩?cái)?shù)值相等、方向相反的另一彎矩加于梁上，且它引起的應(yīng)力按線彈性公式計(jì)算，即最大應(yīng)力為M_6布=味圖15.M_6布=味圖15.18殘余應(yīng)力疊加兩種情況，得截面邊緣處的殘余應(yīng)力為h2由正彎矩引起的殘余應(yīng)力，在上邊緣處為拉應(yīng)力，下邊緣處為壓應(yīng)力，如圖15.18所示。15.8塑性條件和塑性曲面受力構(gòu)件一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，由它的三個(gè)主應(yīng)力來(lái)表示。按照第三強(qiáng)度理論，如對(duì)主應(yīng)力的記號(hào)采取力2外2%的規(guī)定，材料開(kāi)始屈服的塑性條件為公式（15.2）。如對(duì)主應(yīng)力的記號(hào)不采取力2外2貝的規(guī)定,即中的任一個(gè)都可能是最大或最小的主應(yīng)力，這時(shí)塑性條件（15.2）應(yīng)寫(xiě)成------2.3?1bcrb---在二向應(yīng)力狀態(tài)下，馬=0,以上條件變?yōu)閳D15.19當(dāng)“3=°時(shí)的塑性條件圖15.19當(dāng)“3=°時(shí)的塑性條件圖15.20在主應(yīng)力空問(wèn)中的特雷斯卡塑性條件(b)塑性條件（b）在％%平面中是一個(gè)六角形，如圖15.19所示。在三向應(yīng)力的情況下，塑性條件（a）在應(yīng)力空間中是六個(gè)平面。這就是特雷斯卡塑性條件的凡何表示。如圖15.20所示。柱面以內(nèi)的點(diǎn)代表不發(fā)生塑性形變的應(yīng)力狀態(tài)，而柱面上的點(diǎn)代表進(jìn)入塑性形變的應(yīng)力狀態(tài)