化工傳遞-4邊界層課件

Ch4：邊界層理論基礎(chǔ)Ch4：邊界層理論基礎(chǔ)

邊界層理論由普朗特1904年

(Prantdl)提出，用于處理高Re數(shù)的流動問題。邊界層理論不但在動量傳遞中非常重要，它還與傳熱、傳質(zhì)過程密切相關(guān)。

本章簡要討論邊界層的概念、邊界層理論的要點以及某些簡單邊界層的求解等問題。邊界層理論由普朗特1904年(Prantdl)提出課后學習與作業(yè)：第四章的概念和例題；第四章作業(yè)：4-1，4-4，4-5，4-8，4-18課后學習與作業(yè)：第四章的概念和例題；對于某些流動問題，其慣性力>>黏性力。采用理想流體理論簡化處理時，流體的壓力與實驗結(jié)果非常吻合；但流動阻力的結(jié)果偏差很大。Prandtl發(fā)現(xiàn)，其根本原因是：在物體與流體接觸的界面附近的薄層流體內(nèi)，慣性力~黏性力，應(yīng)單獨處理------邊界層理論。為什么要提出邊界層理論？對于某些流動問題，其慣性力>>黏性力。采用理想流1邊界層的概念P74一、普朗特邊界層理論的要點二、邊界層的形成過程三、邊界層厚度的定義1邊界層的概念P74一、普朗特邊界層理論的要點二、邊界層1.當流體以高Re流過固體壁面時，由于流體的黏性作用，在壁面上流速降為零；2.在壁面附近區(qū)域存在一極薄的流體層，其內(nèi)速度梯度很大；一、普蘭德邊界層理論的要點δu0u03.在遠離壁面的流動區(qū)域，其速度梯度幾乎為零，可視其為理想流體的勢流。1.當流體以高Re流過固體壁面時，由于流體的黏性作用，在壁流體在平板間流動流體在圓管內(nèi)流動xc流體在平板間流動流體在圓管內(nèi)流動xc二、邊界層的形成過程1.平板壁面上的速度邊界層

當黏性流體（高Re）在一半無窮平板壁面上流動時，速度邊界層的形成過程見圖：

首先，在壁面附近有一薄層流體，速度梯度很大；在薄層之外，速度梯度很小，可視為零。壁面附近速度梯度較大的流體層稱為邊界層。邊界層外，速度梯度接近于零的區(qū)稱為外流區(qū)或主流區(qū)。x=0xyu0u0u0u0二、邊界層的形成過程1.平板壁面上的速度邊界層當黏層流邊界層和湍流邊界層

在板前緣附近，邊界層內(nèi)流速較低，為層流邊界層；而后逐漸過渡為湍流邊界層。湍流邊界層分為3層

近壁面的薄層流體為層流內(nèi)層；其次為緩沖層；然后為湍流核心。x=0xyu0u0u0u0層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層緩沖層湍流核心層流邊界層和湍流邊界層在板前緣附近，邊界層內(nèi)流速較臨界距離和臨界雷諾數(shù)：臨界距離xc

由層流邊界層開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚拥木嚯x；平板流動Rex—由平板前沿算起的距離，mu0—主流區(qū)流體流速，m/s。x=0xyu0u0u0u0xc層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層緩沖層湍流核心臨界距離和臨界雷諾數(shù)：臨界距離xc由層流邊界層開始對于光滑的平板壁面，邊界層由層流開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯腞exc是：臨界Rexc對于光滑的平板壁面，邊界層由層流開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯腞exc是2.管內(nèi)邊界層形成過程黏性流體以u0的流速流進管內(nèi),在進口附近形成速度邊界層。2.管內(nèi)邊界層形成過程黏性流體以u0的流速流進管內(nèi)(a)u0較小，在管中心匯合依然為層流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的層流：（a）層流邊界層（b）層流與湍流邊界層(b)u0較大，在匯合之前已發(fā)展為湍流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的湍流；Lfriu0Lfri層流邊界層湍流邊界層u02.管內(nèi)邊界層形成過程(a)u0較小，在管中心匯合依然為層流邊界層。匯流動進口段—由管進口開始至邊界層匯合以前的距離Lf充分發(fā)展的流動—邊界層匯合以后的流動Lfri層流邊界層湍流邊界層u0流動進口段—由管進口開始至邊界層匯合以前的距離Lf充管內(nèi)流動雷諾數(shù)d—圓管直徑，m；ub—主體流速，m/s。Re2000時，管內(nèi)流動為層流。Re4000時，管內(nèi)流動為湍流。管內(nèi)流動雷諾數(shù)d—圓管直徑，m；Re2000時三、邊界層厚度的定義P761.平板邊界層厚度δ

Lf

—進口段長度，m；d—管道內(nèi)徑，m；Re—雷諾數(shù)。匯合后進口段區(qū)2.管內(nèi)邊界層的厚度邊界層厚度δ約在10-3m的量級三、邊界層厚度的定義P761.平板邊界層厚度δLf2普朗特邊界層方程11.17一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

二、普朗特邊界層方程的解

2普朗特邊界層方程11.17一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)P76

u0yx0δ(x)不可壓縮流體沿平壁作穩(wěn)態(tài)二維層流流動的變化方程：非線性二階偏微分方程uzuur一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)P76u0yx0δ(x)大Re數(shù)下的邊界層流動有兩個重要性質(zhì)：2.

邊界層內(nèi)粘性力與慣性力的量級相同。1.邊界層厚度δ<<物體特征尺寸x；對平板上流動的變化方程作量階分析：量階：指物理量在整個區(qū)域內(nèi)相對于標準量階而言的平均水平，不是指該物理量的具體數(shù)值。大Re數(shù)下的邊界層流動有兩個重要性質(zhì)：2.邊界層內(nèi)粘性力取如下兩個標準量階：

（1）取坐標x為距離的標準量階，外流速度u0為流速的標準量階，即（2）取邊界層厚度δ為另一個標準量階：

取如下兩個標準量階：（1）取坐標x為距離的標準量階，外（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3）（4）y：在邊界層的范圍內(nèi)，y由0→δ，（5）uy：由連續(xù)性方程（6）一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

u0yx0δ(x)（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3（7）11δ11/δ21/δ分析結(jié)果：獲得邊界層流動，流體的粘性要非常低

<<（7）11δ11/δ21/δ分析結(jié)果：獲得邊界層流動，流體的1δδ1δ2

δ1/δ分析結(jié)果：（1）各項的量階均小于或等于（2）y方向的運動方程較次要，可忽略不計。1δδ1（3）沿邊界層法線方向上流體的壓力梯度可忽略，即壓力可穿過邊界層保持不變。根據(jù)理想流體理論，邊界層外部邊界上的壓力分布是確定的。于是邊界層內(nèi)的壓力變成了已知函數(shù)。（3）沿邊界層法線方向上流體的壓力梯度可忽略，即壓力可二、普朗特邊界層方程的解

普朗特邊界層方程(4-9)二、普朗特邊界層方程的解普朗特邊界層方程(4-9)邊界層外為理想流體的勢流，可用Bernolli方程描述。在流動的同一水平高度上，有考慮不可壓縮流體沿平板作穩(wěn)態(tài)層流流動的情況。邊界層內(nèi)：p1p2u0yx0δp3p4邊界層外為理想流體的勢流，可用Bernolli方程描流函數(shù)(4-14)流函數(shù)(4-14)相似變換法求解

令

將流函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱形式的流函數(shù)：相似變換法求解令將流函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?？？？級?shù)解：級數(shù)解：表4-1無量綱流函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

0000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591表4-1無量綱流函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)0普朗特邊界層方程的精確解P80對于給定的位置（x,y）解題思路：（無因次流函數(shù)f(η)及其導(dǎo)數(shù)表）查表求出ux，uy找出對應(yīng)的

f和f’普朗特邊界層方程的精確解P80對于給定的位置（x,y邊界層內(nèi)的速度分布

對于給定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy(4-26)

(4-25)

邊界層內(nèi)的速度分布對于給定的位置（x，y）→η，f，f’邊界層厚度當時，壁面的法向距離y即為邊界層厚度，此時平板壁上層流邊界層厚度(4-28)

邊界層厚度當局部摩擦曳力系數(shù)

局部壁面剪應(yīng)力：(4-30)

局部摩擦曳力系數(shù)局部壁面剪應(yīng)力：(4-30)

流體流過長度為L、寬度為b的平板壁面的總曳力平均曳力系數(shù)

(4-33)流體流過長度為L、寬度為b的平板壁面的總曳力平均曳力系數(shù)【4-3】25oC的空氣在常壓下以6m/s的速度流過一薄平板壁面。試求距平板前緣0.15m處的邊界層厚度，并計算該處y方向上距壁面1mm處的、及在y方向上的速度梯度值。已知空氣的運動粘度為1.55密度為。解：首先計算距平板前緣0.15m處的雷諾數(shù)，確定流型<流動在層流邊界層范圍之內(nèi)。（1）計算邊界層厚度【4-3】25oC的空氣在常壓下以6m/s的速度流（2）計算y方向上距壁面1mm處的、及已知x=0.15m,y=0.001m,得查表，當時得得u0=6m/sx=0.15my=1mm（2）計算y方向上距壁面1mm處的、得得3邊界層積分動量方程P84

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

普朗特邊界層方程雖然比一般化的奈維—斯托克斯方程簡單，但仍然只有在少數(shù)幾種簡單的流動情形例如平板、楔形物體等才能獲得精確解。工程實際中，許多較復(fù)雜的問題直接求解普蘭德邊界層方程相當困難。本節(jié)介紹一種計算量較小、工程上廣泛采用的由卡門（Karman）提出的積分動量方程法。3邊界層積分動量方程P84一、邊界層積分動量方程的推

基本思想是：在邊界層內(nèi)，選一微分控制體作微分動量衡算，導(dǎo)出一個邊界層積分動量方程；然后用一個只依賴于的單參數(shù)速度剖面近似代替真實速度側(cè)形，將其代入邊界層積分動量方程中積分求解，從而可以得到若干有意義的物理量如邊界層厚度、曳力系數(shù)的表達式?？ㄩT積分動量方程法基本思想是：在邊界層內(nèi)，選一微分控制體作微分動量衡算，導(dǎo)在距壁面前緣x處，取一微元控制體

dV=δdx（1）

將動量守恒原理應(yīng)用于微元控制體dV，得

x方向：（1）卡門積分動量方程法yxu0δ0dx1423將動量守恒原理應(yīng)用于微元控制體dV，得x方向：（1）卡1-2截面：流入3-4截面：流出

yxu0δ0dx14231-2截面：流入3-4截面：流出yxu0δ0dx14232-3截面：流入

1-4截面：無對流

yxu0δ0dx14232-3截面：流入1-4截面：無對流yxu0δ0dx142整個微元控制體內(nèi)的凈動量變化速率為流出與流入之差，即（2）u0yxδ0dx1423整個微元控制體內(nèi)的凈動量變化速率為流出與流入之差，即（作用在控制體x方向上的力（取x坐標方向為正號）①1-4截面（壁面剪應(yīng)力）②1-2截面（壓力）：

yxu0δ0dx1423作用在控制體x方向上的力（取x坐標方向為正號）③3-4截面（壓力）：④2-3截面（壓力）因該截面與理想流體接壤，故無剪應(yīng)力，僅存在著流體的壓力

y0xu0δdx1423③3-4截面（壓力）：④2-3截面（壓力）y0xu0δd作用在整個微元控制體上的x方向的合外力為

（3）將式（2）和（3）代入（1）中，得僅沿x方向流動Karman邊界層積分動量方程卡門：用ux（y）近似代替真實速度ux（x，y）(4-39)作用在整個微元控制體上的x方向的合外力為（3）將式（2適用條件（1）對于層流邊界層和湍流邊界層均適用；（2）可用于曲面物體邊界層。對于平板壁面的層流邊界層，

(4-39)適用條件（1）對于層流邊界層和湍流邊界層均適用；（2）可二、平板層流邊界層的近似解P87

平板層流邊界層內(nèi)的速度分布可近似表示為—待定系數(shù)，由以下B.C.確定：（1）在y=δ(邊界層外緣）二、平板層流邊界層的近似解P87平板層流邊界層內(nèi)的速（2）在y=0(壁面處）為何y=0處滿足上述B.C.？請證明。采用線性多項式

(4-44a)（2）在y=0(壁面處）為何y=0處滿足上述B.C.2.采用二次多項式

(4-45a)2.采用二次多項式(4-45a)3.采用三次多項式

(4-46a)3.采用三次多項式(4-46a)4.采用四次多項式

(4-47a)4.采用四次多項式(4-47a)以最常用的三次多項式為例求解平板層流邊界層：積分得二、平板層流邊界層的近似解P89

(4-49)以最常用的三次多項式為例求解平板層流邊界層：積分得二、平板層聯(lián)立得一階常微分方程

邊界層厚度

(4-52)聯(lián)立得一階常微分方程邊界層厚度(4-52)局部摩擦曳力系數(shù)

平均曳力系數(shù)二、平板層流邊界層的近似解

(4-53)(4-54)局部摩擦曳力系數(shù)平均曳力系數(shù)二、平板層流邊界層的近似解

平板層流邊界層近似解與精確解的比較

3.460.2891.1555.480.3651.4604.640.3231.2925.830.3431.3725.00.3321.3284.790.3271.310精確解平板層流邊界層近似解與精確解的比較平板層流邊界層積分動量方程近似解平板層流邊界層積分動量方程精確解平板層流邊界層積分動量方程近似解平板層流邊界層積分動量方程精【例4-5】常壓下溫度為20的空氣以5的流速流過一塊寬1m的平板壁面。試計算距平板前緣0.5m處的邊界層厚度的質(zhì)量流率，并計算這一段平板壁面的曳力系數(shù)和承受的摩擦曳力。設(shè)臨界雷諾數(shù)。解：由有關(guān)數(shù)據(jù)表中查處空氣在1和20下的物性值為計算的雷諾數(shù)故距平板前緣0.5m處的邊界層為層流邊界層。（1）求邊界層厚度

【例4-5】常壓下溫度為20的空氣以5（2）求算進入邊界層的質(zhì)量流率ωx在任意位置x處，進入邊界層的質(zhì)量流率ωx可根據(jù)下試求出式中，b為平板的寬度；ux為距平板垂直距離y處空氣的流速，層流邊界層內(nèi)的速度分布可采用將式（2）代入式（1）積分=0.0214kg/s（2）求算進入邊界層的質(zhì)量流率ωx=0.021（3）求算曳力系數(shù)及曳力（3）求算曳力系數(shù)及曳力4流體在管道進口段的流動P91管道進口段的流動分析

僅討論進口段為層流邊界層的情況：邊界層內(nèi)為二維流動

uzuur4流體在管道進口段的流動P91管道進口段的流動分析對于不可壓縮流體、穩(wěn)態(tài)流動，由于流動沿管軸對稱

運動方程可簡化為管道進口段的流動分析

對于不可壓縮流體、穩(wěn)態(tài)流動，由于流動沿管軸對稱運動方程Langhaar給出的近似解為式中，I0、I1—分別是第一類修正的貝塞爾函數(shù)（Besselfunction）；r、ri—分別是距管中心的距離坐標和管半徑；

管道進口段的流動分析

(4-58)Langhaar給出的近似解為式中，I0、I1管道進口段的流動分析

P91圖4-4管道進口段的流動分析P91流動進口段長度管道進口段的流動分析

(4-59)流動進口段長度管道進口段的流動分析(4-59)一、邊界層分離的概念二、形成邊界層分離的過程三、邊界層分離的條件5邊界層分離與形體曳力P92一、邊界層分離的概念二、形成邊界層分離的過程三、邊界層分離的

●邊界層分離指原來緊貼壁面運動的邊界層流動在某些條件下,脫離壁面而進入外部流場。

●分離出來的流體在物體后面形成尾渦區(qū),從而產(chǎn)生很大的尾部阻力。

●因此有必要研究邊界層為什么會從物面分離,又應(yīng)該如何防止或推遲分離邊界層分離。一、邊界層分離的概念●邊界層分離指原來緊貼壁面運動的邊界層流動在某些條件下,脫●現(xiàn)以流體繞長圓柱流動為例,考察邊界層分離的大致過程，見圖：二、形成邊界層分離的過程

●當粘性流體以大Re繞過圓柱體流動時，由于流體的粘性作用，沿柱體表面的法線上將建立起速度邊界層，并沿流動方向逐漸加厚。

●現(xiàn)以流體繞長圓柱流動為例,考察邊界層分離的大致過程，見圖A→B點（上游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面減小，u↑，p↓邊界層內(nèi)—黏性流：u↑，p↓p推動流體向前流動，一部分轉(zhuǎn)化為動能，其它用于摩擦阻力消耗。順壓區(qū)，①作用＞②黏性力作用流體質(zhì)點沿流動方向，貼壁面向前運動。A→B點（上游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面減小，u↑，p↓B點以后（下游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面變大，u↓

，

p

↑邊界層內(nèi)—黏性流：u↓，p↑

，p阻止流體向前流動，摩擦阻力阻止流體流動。逆壓區(qū)，①作用+②黏性力作用，二者阻止流體質(zhì)點向前運動。B點以后（下游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面變大，u↓●在逆壓梯度和摩擦阻力雙重作用下，邊界層內(nèi)流體的流速愈來愈慢，以致于在壁面附近的某一點P處，質(zhì)點的動能消耗殆盡而停滯下來，形成一個新的停滯點P。在P點處，流體速度為零?！裼捎赑點處的壓力較上游壓力大，后繼的流體質(zhì)點因P點處的高壓不能接近該點，被迫脫離壁面和原來的流向向下游流去，造成邊界層脫離壁面—邊界層分離，P點為分離點?！裨谀鎵禾荻群湍Σ磷枇﹄p重作用下，邊界層內(nèi)流體的流速愈來愈

●P點下游的壁面區(qū)域形成一個流體的空白區(qū)。在逆壓梯度作用下，必然有倒流的流體來補充。但這些倒流的流體又不能靠近處于高壓下的P點而被迫倒退回來，由此點下游的區(qū)域產(chǎn)生流體的旋渦?！馪點下游的壁面區(qū)域形成一個流體的空白區(qū)。在逆壓梯度作用

●邊界層分離是產(chǎn)生形體曳力Fdf的主要原因。由于邊界層分離時產(chǎn)生大量的旋渦，消耗了流體能量?！窳黧w流經(jīng)管件、閥門、管路突然擴大與突然縮小以及管路的進、出口等局部地方，由于流向的改變和流道的突然變化的原因，都會出現(xiàn)邊界層的分離現(xiàn)象?！襁吔鐚臃蛛x是產(chǎn)生形體曳力Fdf的主要原因。由于邊三、邊界層分離的條件●外部條件●內(nèi)部條件上述條件稱為：發(fā)生邊界層分離的必要條件。（外部流體具有逆壓性質(zhì)）（流體有粘性）三、邊界層分離的條件●外部條件（外部流體具有逆壓性質(zhì)1.某粘性流體以速度