不等式證明的常用基本方法(自己整理)

不等式證明的常用基本2會用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比較簡單的不等式.[自主梳理] ,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立.立.3.證明不等式的常用五種方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法．也叫順推證法或由因?qū)Ч?(3)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立為止，這種證明方法叫分析法．也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.①反證法的定義等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛②反證法的特點②思路：分析觀察證明式的特點，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵.題型一用比差法與比商法證明不等式1.設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關(guān)系是(A.s≥tB.s>tC.s≤tD.s<tA．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)≤bD．a(chǎn)≥b2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－3.設(shè)a,b∈R,給出下列不等式:①lg(1+a2)>0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab>2b2;④,其中所有恒成立的不等式序號是②.?3②【解析】①a=0時不成立;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1④a=2,b=1時不成立,故恒成立的只有②.題型二用綜合法與分析法證明不等式1x2－2xy＋y2?x－y?2?x－y?22xx2－2xy＋y2?x－y?2?x－y?22＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2b2＋c2c2＋a2而ab＋bc＋ca≤──+──+──=a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)所以原不等式成立.證明：法一因為a、b都是正實數(shù)，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4.所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.=2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.a=2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.a22b22思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.題型三放縮法證明不等式--的大小關(guān)系是(A)A.M>NB.M<NC.M＝ND.不能確定1證明當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．當(dāng)|a＋b|≠0時，4 ＝1＋|a|＋|b|＋1＋|a|＋|b|≤1＋|a|＋1＋|b|.思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧．常見的放縮變換①變換分式的分子和分母，如-上面不等式中k∈N*，k>1；2<kk2>kk③真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0<a<b，m>0，則b<b＋m”．(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度．證明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)＝-≤…＋題型四用反證法證明不等式9.設(shè)a>0,b>0,且a+b=.證明:(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.10.若a>0，b>0，且a＋b＝ab.3＋b31.證明不等式的常用方法有五種，即比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法．2.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟5斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不真，于斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真．分式值增大；縮小分子、擴(kuò)大分母，分式值減小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮有時需便于求和．(縮小)，如k2<k2>k1.設(shè)a、b是正實數(shù)，給出以下不等式：①ab>a＋b；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－23b2；④ab＋ab>2，其中恒成立的序號為(D)A.①③B.①④C.②③D.②④22.設(shè)M＝210＋210＋1＋210＋2＋…＋211－1，則(B)A．M＝1B．M<1C．M>1D．M與1大小關(guān)系不定【解析】∵210＋1>210，210＋2>210，…，211－1>210，210210＋1210＋2211－1210210210∴M＝-210210＋1210＋2211－121021021099【解析】由已知22的最小值為(C)A．7B．8C．9D．10633=3b>0，①【解析】因為a>0=3b>0，①5.下列結(jié)論正確的是(B)116.若P＝1＋x＋1＋y＋1＋z(x>0，y>0，z>0)，則P與3的大小關(guān)系為____P<3____.【解析】∵1＋x>0，1＋y>0，1＋z>0，∴--z<3.即P<3.【答案】P<37.某品牌彩電廠家為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價銷售，(4)一次性降價(a＋b)%.其中a>0，b>0，a≠b，上述四個方案中，降價幅度最小的是__解析：設(shè)降價前彩電的價格為1，降價后彩電價格依次12，x＝1－(a＋b)%<1－(a＋b)%＋a%·b%＝x＝x，7所以當(dāng)x＝y(tǒng)＝-時，z有最小值-.2＋22＋…＋n2<2(n∈R*)．證明2＋22＋…＋n2<1＋(1－2)＋(2－3)＋…＋(n－1－n)＝1＋(1－n)＝2－n<2.三個不等式相加即得a＋b＋c≥ab＋bc＋ac≥a＋b＋b＋c＋a＋c當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號11.已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集13當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝-時，等號成立．因此a＋2b＋3c≥9.3解：∵a＋b＋c＝1，a，b，c為正數(shù)，∴(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥(1＋1＋1)2，∴2a＋1＋2b＋1＋2c＋1≥5.當(dāng)且僅當(dāng)2a＋1＝2b＋1＝2c＋1，答案：方案(3)83(3)由(1)(2)歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.2121(a＋b)111