實(shí)際問題與二次函數(shù)橋拱問題

活動一、情境引入我們可以利用二次函數(shù)解決最大利潤問題以及幾何圖形的面積問題，今天我們來利用二次函數(shù)解決“拋物線形拱橋類”或“拋物線形物體運(yùn)動類”問題實(shí)際問題與二次函數(shù)——橋拱問題

探究.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時，水面寬度增加了多少？活動二、合作交流l=4ml=4m解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.∴可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為:∵拋物線過點(diǎn)(2,-2)∴當(dāng)水面下降1m時,水面的縱坐標(biāo)為y=-3,這時有:∴當(dāng)水面下降1m時,水面寬度增加了還有其他建立坐標(biāo)系的方法嗎？11解二如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.∵拋物線過點(diǎn)(2,0)∴當(dāng)水面下降1m時,水面的縱坐標(biāo)為y=-1,這時有:∴當(dāng)水面下降1m時,水面寬度增加了∴可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為:此時,拋物線的頂點(diǎn)為(0,2)11解三如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為x軸，以其中的一個交點(diǎn)(如左邊的點(diǎn))為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.∴可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為:∵拋物線過點(diǎn)(0,0)∴當(dāng)水面下降1m時,水面的縱坐標(biāo)為y=-1,這時有:∴當(dāng)水面下降1m時,水面寬度增加了此時,拋物線的頂點(diǎn)為(2,2)∴這時水面的寬度為:11123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoFABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoFABCDE2-2xy1234-1-2-3-4o13456-1-3-42-2xy1234-1-2-3-4o13456-1-3-4ABCD2-2xy1234-1-2-3-4o13456-1-3-4ABCDABCD還有其他建立坐標(biāo)系的方法嗎?123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yo123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yoABCDE123456-1-2-3-4-5-6x1234-1-2-3-4yo變式1:一座拋物線拱橋當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2m,水面寬4m，一艘寬2m,長5m，高1.4m的矩形貨船能否順利通過這座橋？l=4m如何建立坐標(biāo)系解決問題最方便?xy0變式2:一座拋物線拱橋當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2m,水面寬4m，一艘寬2m,長5m，高1.4m的矩形貨船現(xiàn)在裝完貨物后，高為2m.能否順利通過這座橋？l=4m變式3:一座拋物線拱橋當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2m,水面寬4m，一艘寬2m,長5m，高1.4m的矩形貨船現(xiàn)在裝完貨物后，高為2m.若水面以10cm/h的速度下降,則要等多長時間才能通過該橋？l=4m用二次函數(shù)的知識解決“拋物線形拱橋類”或“拋物線形物體運(yùn)動類”問題的一般方法：恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系求出二次函數(shù)的解析式求出數(shù)學(xué)問題的解得出實(shí)際問題的答案總結(jié)練習(xí).某幢建筑物，從10m高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直，如圖所示），如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面m，則水流落地點(diǎn)B離墻距離OB

是（）

(A)2m(B)3m(C)4m(D)5m活動三、應(yīng)用遷移例1.有一座拋物線拱橋,正常水位時橋下水面寬度為20米,拱頂距離水面4米.(1)如圖所示直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；

(2)在正常水位的基礎(chǔ)上,當(dāng)水位上升h(米)時,橋下水面的寬度為d(米),求出d關(guān)于h的函數(shù)解析式

(3)設(shè)正常水位時橋下的水深為2米,為保證過往船只順利航行,

橋下水面的寬度不得小于18米,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下順利航行。20mABCDxy正常水位h0分析:(1)設(shè)y=ax2,在正常水位時B(10,-4)

求得(2)當(dāng)水位上升h米時,D點(diǎn)縱坐標(biāo)為-(4-h)

設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x,則(3)當(dāng)橋下水面寬為18米時,得即橋下水深超過2.76米時,就會影響過往船只在橋下順利航行2+0.76=2.76(米)20mABCDxy正常水位h02m0.4m0.5m練習(xí).某公司草坪的護(hù)欄是由50段形狀相同的拋物線組成的,為了牢固起見,每段護(hù)欄需按間距0.4m加設(shè)不銹鋼管如圖做成的立柱,為了計算所需不銹鋼管立柱的總長度，設(shè)計人員測得如圖所示的數(shù)據(jù)

(1)求該拋物線的解析式

(2)計算所需不銹鋼管的總長度.0.5m2m0.4myxA0提示:(1)拋物線頂點(diǎn)(1,0.5),0(0,0),A(2,0),

設(shè)其解析式為y=ax(x-2)0.5=a×1×(1-2)(2)當(dāng)x=0.4時,y=0.32(m)

當(dāng)x=0.8時,y=0.48(m)

當(dāng)x=1.2時,y=0.48(m)

當(dāng)x=1.6時,y=0.32(m)∴所需不銹鋼管的總長度為

50×2(0.32+0.48)=80(m)例2.如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，

OM所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，

(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求這條拋物線的解析式;(3)若要搭建一個矩形“支撐架”AD-DC-CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點(diǎn)D在AC上，CD=3厘米.點(diǎn)P、Q分別由A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動，速度為每秒1厘米.設(shè)運(yùn)動的時間為x秒（0<x<8），△DCQ的面積為y1平方厘米,△PCQ的面積為y2平方厘米.（1）求y1與x的函數(shù)關(guān)系式，并在圖2中畫出y1的圖象；活動四、思維拓展例3.3x（2）如圖2，y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,12)，求點(diǎn)P的速度及AC的長；（3）在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)（0<OG<6）,過G

作EF垂直于x軸，分別交y1、y2于點(diǎn)E、F.①說出線段EF的長在圖1中所表示的實(shí)際意義；②當(dāng)0<x<6時,求線段EF長的最大值.3x3x3xkxEF函數(shù)應(yīng)用題的解題模型實(shí)際問題分析、抽象、轉(zhuǎn)化解答數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)模型二次函數(shù)活動五、課堂小結(jié)恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系求出二次函數(shù)的解析式求出數(shù)學(xué)問題的解得出實(shí)際問題的答案用二次函數(shù)的知識解決“拋物線形拱橋類”或“拋物線形物體運(yùn)動類”問題的一般方法：解題思想歸納(1)建模思想：根據(jù)題意構(gòu)造二次函數(shù)(2)數(shù)形結(jié)合思想：根據(jù)圖象特征來解決問題解題方法歸納1.某工廠的大門是一拋物線型的建筑物,大門的地面寬度為8米,

兩側(cè)距地面3米高處各有一個壁燈,兩壁燈之間的水平距離為

6米,如圖所示,則廠門的高是多少?(水泥建筑物的厚度忽略不計,精確到0.1米)8m6m3m提示：建立如圖所示的平面坐標(biāo)系8m6m3mAB0xy活動六、反饋練習(xí)2.一個涵洞成拋物線形,它的截面如圖,現(xiàn)測得,當(dāng)水面寬

AB=1.6m時,涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m,這時,離開水