彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第六章課件

第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結點力列陣與勁度列陣第四節(jié)單元的應變列陣和應力列陣第三節(jié)單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)有限單元法的概念第一節(jié)基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié)荷載向結點移置單元的結點荷載列陣第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結點力列陣與勁第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應用變分原理導出有限單元法的基本方程第十節(jié)計算實例第九節(jié)計算成果的整理第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結構的整體分析結點平衡方程組習題的提示與答案教學參考資料第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應用變分原理導出第六章用有限單元法解平面問題概述1.有限元法(FiniteElementMethod，簡稱FEM)—是彈力的一種近似解法。首先將連續(xù)體變換為離散化結構，然后再應用結力方法或變分法進行求解。FEM2.FEM的特點

（1）具有通用性和靈活性。第六章用有限單元法解概述FEM2.FEM的特點簡史3.FEM簡史

FEM是上世紀中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應用的一種數(shù)值解法。1943年柯朗第一次在論文中提出了FEM的概念。（2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應用計算機進行計算。（3）只要適當加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。簡史3.FEM簡史（2）對同一類問題，可以編制出通用程1956年，特納等人提出了FEM。20世紀50年代，平面問題的FEM建立，并應用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀60年代后，F(xiàn)EM應用于各種力學問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。簡史導出方法5.本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應力問題來表示。4.FEM的兩種主要導出方法:應用結力方法導出。應用變分法導出。導出方法5.本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位4.§6-1基本量和基本方程的

矩陣表示

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。本章無特別指明，均表示為平面應力問題的公式。§6-1基本量和基本方程的

矩陣表面力位移函數(shù)應變應力結點位移列陣結點力列陣

基本物理量：體力基本物理量面力基本物理量：體力基本物理量物理方程其中D為彈性矩陣，對于平面應力問題是FEM中應用的方程：幾何方程應用的方程物理方程FEM中應用的方程：幾何方程應用的方程——結點虛位移，——對應的虛應變。在FEM中，用結點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。應用的方程ij虛功方程其中——結點虛位移，應用的方程ij虛功方程其中

以下來導出FEM。1.結構離散化——將連續(xù)體變換為離散化結構；§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：用方法求解彈力問題結力。即

1.將連續(xù)體變換為離散化結構。2.再應用結力方法進行求解。FEM的概念以下來導出FEM。§6-2有限單元法的概念

結力研究的對象是離散化結構。如桁架，各單元（桿件）之間除結點鉸結外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結構離散化圖6-2結力研究的對象是離散化結構。如桁架，

將連續(xù)體變換為離散化結構（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結點處用絞連結起來，構成所謂‘離散化結構’。結構離散化將連續(xù)體變換為離散化結構（圖（c））：即將連續(xù)體劃分

與相比，兩者都是離散化結構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內部仍是連續(xù)體）。結構離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。圖（c）圖（a）與相比，兩者都是離散化結2.應用結構力學方法(位移法)進行求解:

分析步驟如下：結力法求解仿照桁架的結力位移法，來求解圖（c）的平面離散化結構。其中應注意，三角形單元內部仍是連續(xù)體，應按彈力方法進行分析。2.應用結構力學方法(位移法)進行求解:分析步驟（2)應用插值公式,由單元結點位移，求單元的位移函數(shù)（1）取各結點位移

為基本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用來表示。結力法求解這個插值公式稱為單元的位移模式，表示為（2)應用插值公式,由單元結點位移（5）應用虛功方程，由單元的應力，求出

單元的結點力，表示為（4）應用物理方程，由單元的應變，求出

單元的應力，表示為（3）應用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，

求出單元的應變，表示為結力法求解（5）應用虛功方程，由單元的應力，求出（4）應用物理方——結點對單元的作用力，作用于單元，稱為結點力，以正標向為正。

——單元對結點的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結點。結力法求解——結點對單元的（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結點上，化為結點荷載，表示為結力法求解（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功結力法求解各單位移置到i結點上的結點荷載其中表示對圍繞i結點的單元求和；結力法求解(7)對每一結點建立平衡方程。各單元對i結點的結點力作用于結點i上的力有：為已知值,是用結點位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結點位移值，并從而求出各單元的應變和應力。各單位移置到i結點上的結點荷載結力法求解(7)對每一結點結力法求解

整體分析：建立結點平衡方程組，求解各結點的位移。2.應用結構力學方法求解離散化結構,

對單元進行分析：求出（1）單元的位移模式，（2）單元的應變和應力列陣，（3）單元的結點力列陣，（4）單元的結點荷載列陣。1.將連續(xù)體變換為離散化結構。歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要內容：結力法求解整體分析：2.應用結構力學方法求解離散化結構,

思考題1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內仍是作為連續(xù)體來分析的。試考慮后者在用結構力學方法求解時，將會遇到什么困難？2.在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？思考題FEM是取結點位移為基本未知數(shù)的。但其中每一個單元仍是連續(xù)體，所以按彈力公式求應變、應力時，必須首先解決：如何由單元的結點位移來求出單元的位移函數(shù)應用插值公式，可由求出位移d。這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式?！?-3單元的位移模式與

解答的收斂性位移模式FEM是取結點位移為基本未知數(shù)的。但其中每一

泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的?！嗳切螁卧奈灰颇Ｊ?，可取為插值公式在結點應等于結點位移值由此可求出三角形單元三角形單元其中包含將式按未知數(shù)歸納，可表示為或用矩陣表示為三角形單元其中包含N—稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元N—稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元A為三角形的面積（圖示坐標系中，按逆時針編號），其中三角形單元A為三角形的面積（圖示坐標系中三結點三角形單元的位移模式，略去了二次以上的項，因而其誤差量級是且其中只包含了的一次項，所以在單元中的分布如圖（a）所示，的分布如圖所示。三角形單元(a)(b)(c)圖6-51三結點三角形單元的位移模式，略去了二次

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎的。所以當單元趨于很小時，即時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了

保證FEM收斂性,位移模式應滿足下列條件：

收斂性條件FEM中以后的一系列工作，都是以（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。

（2）位移模式必須能反映單元的常量應變。因為當單元時，單元中的位移和應變都趨近于基本量——剛體位移和常量位移。收斂性條件（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。收斂性條件收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。即應盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij

上，之間均為線性變化，也為連續(xù)。對式（a）求應變，得收斂性條件可見常量應變也已反映。（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。對式（a）求應變，得為了保證FEM的收斂性，（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件為了保證FEM的收斂性，（1）和

思考題1.應用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選取？2.試考慮：將結構力學解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內部的分析工作都有可能進行了。

思考題§6-4單元的應變列陣和應力列陣位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為§6-4單元的應變列陣和應力列陣位移函數(shù)其中，單元中的

應用幾何方程，求出單元的應變列陣：應變應用幾何方程，求出單元的應變列陣：應變應變S——稱為應力轉換矩陣，寫成分塊形式為再應用物理方程，求出單元的應力列陣：B——稱為應變矩陣，用分塊矩陣表示，應變S——稱為應力轉換矩陣，寫成分塊形式為再應用物理方程，求對于線性位移模式，求導后得到的應變和應力，均成為常量，因此，稱為常應變（應力）單元。應變和應力的誤差量級是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應力是跳躍式的。

應力對于線性位移模式，求導后得到的應變和應思考題1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去高階小量，試考慮位移、應變和應力的誤差量級。

思考題§6-5單元的結點力列陣與

勁度矩陣現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型圖6-7在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結構的模型?！?-5單元的結點力列陣與

（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結點互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結點上去，化為等效結點荷載。故單元內已沒有外荷載。（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)（1）將作用于單元上的假想將單元與結點i切開，則其數(shù)值與相同，而方向相反。結點力以沿正坐標向為正。對單元而言，這是作用于單元上的‘外力’。

單元作用于結點的力，為

結點作用于單元上的力，稱為結點力，假想將單元與結點i切開，則其數(shù)值與相同，而方向按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于

應力的虛功。結點力而其內部有應力作用，考察已與結點切開后的單元，則此單元上作用有外力——結點力，應用虛功方程，求單元的結點力：按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于結點力而其內部有應力

假設發(fā)生一組結點虛位移則單元內任一點（x,y）的虛位移為單元內任一點（x,y）的虛應變?yōu)?/p>

代入虛功方程：在單元中，外力（結點力）在虛位移（結點虛位移）上的虛功，等于應力在虛應變上的虛功，即虛功方程虛功方程式(b)是由應力求結點力的一般公式。因為是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的均應滿足，∴得出其中與無關，故式(a)成為代入

(b)式(b)是由應力求結點力的一般公式。因為是獨立式（c）是由結點位移求結點力的一般公式，k

—稱為單元的勁度矩陣其中再將應力公式代入上式，得單元勁度矩陣式（c）是由結點位移求結點力的一般公式，k—稱為單元的勁對于三角形單元，B矩陣內均為常數(shù)，有代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。對于三角形單元，B矩陣內均為常數(shù)，有代入B，D，得出k如書（1）是6×6的方陣，中每一個元素都表示發(fā)生單元結點位移時所引起的結點力。（2）由反力互等定理，所以是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質：（3）當單元作剛體平移時，如ui=uj=um=1，三角形內不產生應力和應變，結點力也為0。（1）是6×6的方陣，中每一個元素都表示發(fā)生單元結點（4）由（3）可導出行列式|

|=0。（5）

的元素與單元的形狀和方位等有關，但與單元的大小和剛體的平動及作度轉動無關。因此,

中每一行（或列）的元素之和為零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也為0）。（4）由（3）可導出行列式||=0。（5）的元素與

例題（書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應力轉換矩陣S和單元勁度矩陣。從例題中可以看出，將單元邊界上的應力向結點移置，化為作用于結點上的力，正好就是結點力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結點簡化，歸結成為結點的鉸結和結點力。

思考題試求出書中例題的位移模式。例題（書中P.117頁），以直角三角形單元為§6－6荷載向結點移置

單元的結點荷載列陣在FEM中，與結力相似，須將作用于單元中的外荷載向結點移置，化為等效結點荷載，§6－6荷載向結點移置

單元的結（2）變形體靜力等效原則——在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。剛體靜力等效原則只從運動效應來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應，在一定的位移模式下，其結果是唯一的，且也滿足了前者條件的。

∴在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。1.移置原則（1）剛體靜力等效原則——使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則（2）變形體靜力等效原則——在任意的虛位移上，使原荷載與移置

2.集中力的移置公式

原荷載作用于單元中任一點為單位厚度上的作用力；移置荷載作用于結點假設發(fā)生一組結點虛位移，則點的虛位移為使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：

集中力集中力對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得3.單元邊界上面力的移置公式

應用式，將代之為并在邊界上積分，得

面力對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得面力應用式，將代之為并對單元域A積分，得當位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結點荷載相同。4.單元內體力的移置公式

體力應用式，將代之為并對單元域A積分思考題1.試導出書中例題的荷載移置公式。

思考題在單元分析中，從單元的結點位移→求位移分布→求應變→求應力→求結點力，為單元的內力分析；外荷載移置到結點荷載，為單元的外力分析。下面考慮整體分析。假設將結點i與周圍的單元切開，則圍繞i結點的每個單元，對i結點有結點力(）的作用,也有外荷載移置的結點荷載（）的作用?！?－7結構的整體分析

結點平衡方程組在單元分析中，從單元的結點位移→求位§6－7結構的

i結點的平衡條件為其中是對圍繞i結點的單元求和。對某一個單元，結點平衡條件i結點的平衡條件為結點平衡條件代入式，可表示為在式中，

是單元內部的結點編號，稱為局部編號；是整體結構的結點編號，稱為整體編號。將式按整體結點編號排列，得整個結構的平衡方程組。代入式，可表示為其中——整體結點位移列陣，——整體結點荷載列陣，——整體勁度矩陣，中元素是相同整體編號的單元勁度矩陣元素疊加而成。考慮結構的約束條件后，從式求出，就可以求出各單元的位移和應力。結點平衡方程組其中結點平衡方程組例1列出圖示結構i結點的平衡條件。例2（見書中P.121）②①③④例1列出圖示結構i結點的平衡條件。例2（見

有限單元法的具體計算步驟，主要是1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結點編號。2、選定直角坐標系，按程序要求填寫和輸入有關信息。讀者須要注意：直角坐標系應與書中規(guī)定的方向一致，單元內的ijm的局部編號應按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號?！?－8解題的具體步驟

單元的劃分有限單元法的具體計算步驟，主要是§6－8解題否則會使三角形的面積出現(xiàn)負號等問題。3、使用已編好的程序進行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進行整理、分析。對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負號等問題。關于單元的劃分：注意幾點,（1）單元大小問題,（2）單元在不同部位的合理布置問題,（3）三角形三個內角最好較接近,（4）利用對稱性和反對稱性,,（5）厚度突變之處和材料不同之處,（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處,（7）水利閘壩工程問題,（8）結構具有凹槽或孔洞等應力集中處等。關于單元的劃分：注意幾點,對于結點位移的成果，可以直接采用。三結點三角形單元的應力的成果，由于采用的是線性位移模式，不但應力的精度在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6－9計算成果的整理對于結點位移的成果，可以直接采用。在有限較低，而且還產生了所謂應力的波動性。即在相鄰的兩單元中，如果一個單元的應力比真解低，則相鄰單元的應力會比真解高，如圖。圖6-9較低，而且還產生了所謂應力的波動性。即在相鄰的兩單元中，

應力的波動性在三結點三角形單元中較為顯著。原因是，由于計算出的應力的精度較低。假設Ⅰ單元的應力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在i，j結點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應力趨近于。這就產生了應力的波動性。

應力的波動性在三結點三角形單元中較為為了提高應力的精度，解決應力波動性問題，可以采用兩種應力成果的整理方法：一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。（1）兩相鄰單元平均法。（2）繞結點平均法。為了提高應力的精度，解決應力波動性問題，可此外，在受面力邊界線附近，由于應用了靜力等效原理將面力簡化為結點荷載，因而得出的應力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。

彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第六章ppt課件為了提高應力的精度，可以采用兩種方法。一是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應力的精度。二是可以采用較多結點的單元，并使位移模式中包含一些高冪次的項，從而提高位移和應力的精度。一般在位移模式中若包含較高次冪的項，不但可使位移和應力的精度提高，而且應力的波動性和邊界應力的精度低等問題也可得到改善。為了提高應力的精度，可以采用兩種方法。一是加密網(wǎng)§6－10計算實例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。2.簡支梁受均布荷載。3.圓孔附近的應力集中。書中應用三結點三角形單元，計算了下列例題：§6－10計算實例1.楔形體受自重及齊頂在整理應力成果時，讀者應注意，應用三角形單元時，（1）采用兩單元平均法和繞結點平均法的應力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。（2）邊界面的應力,應采用向外插值的方法求出。在整理應力成果時，讀者應注意，應用三角形單元§6－11應用變分原理導出

有限單元法基本方程在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結構之后，有兩種導出FEM公式的主要方法：

§6－11應用變分原理導出

（2）建立單元的位移模式，求出單元中的位移分布，1.按結力方法導出FEM公式（1）取結點位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應變，（4）由物理方程求出單元的應力，按結力方法導出FEM公式（2）建立單元的位移模式，求出單元中的1.按結力方法導出FE（5）由虛功方程求出單元的結點力，（6）由虛功方程求出單元的結點荷載

，（7）建立結點平衡方程組，按結力方法導出FEM公式（5）由虛功方程求出單元的結點力，（6）由虛功方程求出單元的（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分法導出FEM公式

保留上述（1）-（4）步驟，然后應用極小勢能原理導出FEM基本方程。按變分法導出FEM公式對于平面問題，（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分法導出FEM公式對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù)變分方程可表示為總勢能對的導數(shù)等于0，即對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù)變分方程可表變分宗量由變換成（2）將經典變分原理應用到離散化結構，則總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示變分宗量由變換成（2）將經典變分原理應用到離散化結構其中為三角形單元的面積。應用前面記號,內力勢能為其中為三角形單元的面積。應用前面記號,內力勢能為其中為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號外力勢能為總勢能為其中為三角形單元的受面力邊界。引用外力勢能為總故總勢能極小值條件變換為（3）對于離散化結構，泛函數(shù)的宗量變換為則式(n)成為引用矩陣運算公式，故總勢能極小值條件變換為（3）對于離散化結構，泛函數(shù)其中其中代入式(o)，得出與結力方法導出的相同方程，從物理意義上講，將連續(xù)體的經典變分原

理(g)或(i)應用到離散化結構，成為式(p)。代入式(o)，得出與結力方法導出的相同方程比較物理意義：式(g)表示總勢能的整體極值條件;式(p)表示總勢能在所有結點處的極值條件。凡是與微分方程對應的變分原理存在的任何問題，均可應用變分法導出FEM。比較物理意義：凡是與微分方程對應的變第六章例題例題1例題2例題3例題4例題第六章例題例題1例題2例題3例題4例題

例題1平面問題中采用的四結點矩陣單元，如圖所示。該單元的結點位移列陣是

第六章例題ba例題1平面問題中采用的四結點矩陣單第六章采用的位移模式是其中的系數(shù),由四個結點處的位移值,應等于結點位移值的條件求出。ab采用的位移模式是其中的系數(shù),ab讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計位移和應力的誤差量級。第六章例題第六章例題

例題2平面問題中采用的六結點三角形單元，如圖所示。該單元的結點位移列陣為

其位移模式取為第六章例題例題2平面問題中采用的六結點三角形單第可以相似地表示。然后由六個結點處的條件求出讀者試檢查其位移模式的收斂性，并估計其位移和應力的誤差量級?？梢韵嗨频乇硎?。然后由六個結點處的條件求

例題3

在空間問題中，采用的最簡單的單元，是如圖所示的四結點四面體單元，其位移模式是第六章例題例題3在空間問題中，采用的最簡單的單元，試考慮如何求出其系數(shù)并檢查位移模式的收斂性條件,并估計其位移和應力的誤差量級。試考慮如何求出其系數(shù)并檢查位移模式的

例題4圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取試用有限單元法求解跨中的位移。第六章例題返回例題4圖（a）所示的深梁，在跨中受集第六章例題返回第六章例題返回解：1.將圖劃分網(wǎng)格，化為離散化結構，如圖（b）所示。由于結構具有對稱性，可取1/2

部分進行分析，如所示。（a）圖（c）解：（a）圖（c）2.中，只有兩個未知結點位移其余的結點位移均為零。

未知的結點位移列陣是對應的結點荷載列陣是

3.下面我們直接來建立對應于未知結點位移的平衡方程式，第六章例題圖（c）2.4.對于三角形單元，按照結點的局部編號結點力一般公式是第六章例題4.對于三角形單元，按照結點的局部編號第六章當且結點的局部編號如圖時，單元的單元勁度矩陣均如書中所示。對于單元，結點的局部編號與整體編號的關系是將書中的k和結點編號代入式，有第六章例題當且結點的局部編號如圖其中由上式，得出I單元中不存在，而第六章例題其中對于單元，結點的局部編號與整體編號的關系是。再將書中的k代入式（c），得第六章例題對于單元，結點的局部編號與整體其中由上式，可得單元的結點力5.將各單元的結點力代入式得從上兩式解出結點位移值，第六章例題其中顯然，位移第六章例題顯然，位移第六章例題

第六章習題的提示和答案6-1提示：分別代入的公式進行運算。6-2（3）中的位移，一為剛體平移，另一為剛體轉動，均不會產生應力。其余見書中答案。6-3求i結點的連桿反力時，可應用公式為對圍繞i結點的單元求和。第六章習題的提示和答案6-16-4求支座反力的方法同上題。6-5單元的勁度矩陣k，可采用書中的結果，并應用公式求出整體勁度矩陣的子矩陣。6-6求勁度矩陣元素同上題。應力轉換矩陣可采用書中的結果。6-7求勁度矩陣元素可參見的結果，再求出整體勁度矩陣元素答案見書中。習題提示和答案6-4求支座反力的方法同上題。習題提示6-8當單元的形狀和局部編號與書中圖6-10相同時，可采用的單元勁度矩陣。答案：中心線上的上結點位移下結點位移6-9能滿足收斂性條件，即位移模式不僅反映了單元的剛度位移和常量應變，還在單元的邊界上，保持了相鄰單元的位移連續(xù)性。習題提示和答案6-8當單元的形狀和局部編號與書第六章教學參考資料（一）本章的學習重點及要求有限單元法的兩種主要導出方法：(1)結構力學方法——首先將結構離散化，把連續(xù)體變換為離散化結構，再應用結構力學方法求解。這種導出方法，采用了工程技術人員熟悉的結構力學方法，它的物理概念清晰，易為工程技術人員理解和接受。故在書中主要用這種方式導出有限單元法。教學參考資料第六章教學參考資料（一）本章的學習(2)變分方法——同樣將連續(xù)體化為離散結構，再將連續(xù)體中的變分原理推廣應用到離散化結構，從而導出有限單元法。這種導出方法是連續(xù)體上的經典變分法的推廣，導出方法簡單，應用也非常廣泛。有限單元法的多數(shù)文獻是采用變分方法導出的。除此之外，加權余量法等也可以導