探究正方體的展開圖

探究正方體的展開圖將一個正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面，共有哪些不同的圖形呢？要搞清這個問題，最好是動手實踐，比如找一些正方體紙盒，沿著棱按不同方式將其剪開（但不要剪斷，六個面要通過邊連在一起），展成平面，再觀察、對比一下不同形狀的圖形有哪些。如果不容易找到足夠的正方體紙盒，還可以找一些不太厚、易折疊的正方體紙板，利用逆向思維，先猜測正方體展開圖會有哪些不同形狀，并將它們畫在紙板上，再將周圍多余部分剪去，然后沿所畫直線直行折疊，看看哪些圖形紙板可以折疊成正方體。這種探究方法雖然有點麻煩，但操作簡便易行，快速有效。事先可多畫一些紙板（六個正方形邊與邊對齊，任意連接成不同的平面圖形），經過逐個驗證，記錄下所有可以折疊成正方體的圖形，再將這些圖形分類，總結并尋找出其中的規(guī)律。那么，沿棱剪開展開一個正方體，究竟有哪些不同的形狀呢？如果不考慮由于旋轉或翻折等造成相對位置的不同，只從本質上講，有以下三類共11種。一、“141型”（共6種）特點：這類展開圖中，最長的一行（或一列）有4個正方形（圖1～圖6）。理解：有4個面直線相連，其余2個面分別在“直線”兩旁，位置任意。二、“231型”與“33型”（共4種）特點：這類展開圖中，最長的一行（或一列）有3個正方形（如圖7～圖10）。理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必須在中間，“2”、“1”所在行（列）分屬兩邊（前后不分），且“2”與“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一個正方形格旁邊，這種情況共有3種，而“33型”只有1種。三、“222型”（只有1種）特點：展開圖中，最多只有2個面直線相連（圖11）。評注：⑴將上面11個圖中的任意一個，旋轉一定角度或翻過來，看上去都與原圖似有不同，但這只是圖形放置的位置或方式不同。實際上，它與原圖能夠完全重合，不能算作一個獨立的新圖，而從上面11個圖中任取兩個，不論怎樣操作（旋轉、翻折、平移等），它們都不可能完全重合，即彼此是獨立的、不同的圖形。⑵對于由大小一樣的六個正方形通過邊對齊相連組成的平面圖，如果圖中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方體。概括地說，只要不符合上述“141”、“231”和“33”、“222”的特點，就不能折成正方體。如圖12，如果將其看作“231”型，那么，無論怎么看，“2”和“3”都不是同向，故不能折成正方體。其實，它屬于“123”（或“321”）型。引導學生感悟：①正方體展開圖各小圖形的特點（正方體的六個面大小都相等）②正方體展開圖不唯一的特點（剪開的方法不同，得到的展開圖形也不相同）③正方體展開圖中相對面的位置特點等（相對的面隔一個出現(xiàn)）正方體表面展開圖共有11種形式，觀察這11種展開圖我們發(fā)現(xiàn)，按最長的一行（或一列）的不同可把它們分為以下4類:

（1）一四一型(3行4列)（2）二三一（一三二）型（3行4列）

（3）二二二型（3行4列）（4）三三型（2行5列）總結歸納出判斷圖形是否可以折疊成一個正方體的方法：=1\*GB3①數(shù)：小正方形的個數(shù)（6個）=2\*