第7章梁的變形分析與剛度計算課件

第7章梁的變形分析與剛度計算2023年8月1日第7章2023年7月31日1

位移是指彈性體受力變形后，一點位置的改變。對于桿件則指橫截面在桿件受力變形后的位置改變。

位移是桿件各部分變形累加的結(jié)果。位移與變形有著密切聯(lián)系，但又有嚴格區(qū)別。有變形不一定處處有位移；有位移也不一定有變形。這是因為，桿件橫截面的位移不僅與變形有關，而且還與桿件所受的約束有關。

只要在彈性范圍內(nèi)加載，不管產(chǎn)生什么位移，桿件均保持為連續(xù)體，并在約束處滿足變形協(xié)調(diào)要求。位移是指彈性體受力變形后，一點位置的改變。對2

在數(shù)學上，確定桿件橫截面位移的過程主要是積分運算，積分限或積分常數(shù)則與約束條件和連續(xù)條件有關。

若材料的應力一應變關系滿足胡克定律，又在彈性范圍內(nèi)加載，則位移與力（均為廣義的）之間均存在線性關系。因此，不同的力在同一處引起的同一種位移可以相互疊加。

本章將在本書第4章和第5章中有關變形分析的基礎上，建立位移與桿件橫截面上的內(nèi)力分量以及剛度之間的關系，進而建立彈性桿件剛度設計準則。在數(shù)學上，確定桿件橫截面位移的過程主要是積分運37.1梁的變形與梁的位移7.2梁的小撓度微分方程及其積分7.3疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角7.5簡單靜不定梁7.6

結(jié)論與討論7.4梁的剛度問題7.1梁的變形與梁的位移7.2梁的小撓度微分方程及其47.1梁的變形與梁的位移7.1梁的變形與梁的位移5梁彎曲時的微段變形梁彎曲時的微段變形6梁彎曲時的總體變形微段變形累加的結(jié)果梁的軸線變成光滑連續(xù)曲線梁彎曲時的總體變形微段變形累加的結(jié)果梁的軸線變成7橫截面形心鉛垂方向的位移－撓度

w橫截面相對于初始位置轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)角

梁的橫截面產(chǎn)生兩種主要位移：梁彎曲時的總體變形微段變形累加的結(jié)果橫截面形心鉛垂方向橫截面相對于初始位置梁的橫截面產(chǎn)生兩種主要8梁彎曲時的總體變形橫截面相對于初始位置轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)角二者之間的關系：橫截面形心鉛垂方向的位移－撓度w梁彎曲時的總體變形橫截面相對于初始位置轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)角二者9約束對梁位移的影響沒有約束無法確定絕對位移約束對梁位移的影響沒有約束無法確定絕對位移10連續(xù)光滑曲線；支承確定了曲線的空間位置約束對梁位移的影響連續(xù)光滑曲線；支承確定了曲線的空間位置約束對梁位移的影響11約束對梁位移的影響連續(xù)光滑曲線；支承確定了曲線的空間位置約束對梁位移的影響連續(xù)光滑曲線；支承確定了曲線的空間位置12二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？

正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相依關系。關于變形和位移的相依關系二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？13關于變形和位移的相依關系

BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？FPABC

總體變形是微段變形累加的結(jié)果;

有位移不一定有變形。關于變形和位移的相依關系BC段有沒有變形？有沒有位移14

關于梁的連續(xù)光滑曲線關于梁的連續(xù)光滑曲線15梁的連續(xù)光滑曲線

由M

的方向確定軸線的凹凸性;

由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓曲線的大致形狀及位置。梁的連續(xù)光滑曲線由M的方向確定軸線的凹凸性;由約16梁的連續(xù)光滑曲線

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀梁的連續(xù)光滑曲線試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束17梁的連續(xù)光滑曲線

梁的連續(xù)光滑曲線18梁的連續(xù)光滑曲線

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀梁的連續(xù)光滑曲線試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束19梁的連續(xù)光滑曲線梁的連續(xù)光滑曲線20梁的連續(xù)光滑曲線

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀梁的連續(xù)光滑曲線試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束21梁的連續(xù)光滑曲線梁的連續(xù)光滑曲線227.2梁的小撓度微分方程及其積分7.2梁的小撓度微分方程及其積分237.2.1小撓度微分方程力學中的曲率公式數(shù)學中的曲率公式7.2.1小撓度微分方程力學中的曲率公式數(shù)學中的曲率公式24彈性曲線的小撓度微分方程小撓度情形下7.2.1小撓度微分方程彈性曲線的小撓度微分方程小撓度情形下7.2.1小撓度微分257.2.1小撓度微分方程7.2.1小撓度微分方程26

對于等截面梁，應用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

7.2.2小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)對于等截面梁，應用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M27

積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。積分常數(shù)的確定積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是28

應用舉例應用舉例29例題

1

求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。例題1求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最30例題

1

解：1．建立Oxw坐標系

建立Oxw坐標系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。

2．建立梁的彎矩方程Oxw例題1解：1．建立Oxw坐標系31例題

1解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)

從坐標為x的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

例題1解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)323．

建立微分方程并積分Oxw

解：2．建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

例題

13．

建立微分方程并積分Oxw解：2．建立梁的彎矩方程將上33例題

13．

建立微分方程并積分Oxw積分后，得到

例題13．

建立微分方程并積分Oxw積分后，得到34例題

1解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

例題1解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束35例題

1解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程例題1解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程36例題

1解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

例題1解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角從撓度曲37例題

2

求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。

已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。例題2求：加力點B的撓度和支承A、C處的38例題

2

解：1．

確定梁約束力

因為B處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應用靜力學方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

2．

分段建立梁的彎矩方程

在圖示坐標系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。例題2解：1．

確定梁約束力39例題

2AB段

解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

例題2AB段解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC40例題

2解：3．

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分

例題2解：3．

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積41解：3．

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。例題

2解：3．

將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分積分后42例題

2解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

在支座A、C兩處撓度應為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2例題2解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)43例題

2解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0例題2解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x44例題

2解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角

將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

例題2解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的45

確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段

分段建立撓度微分方程

微分方程的積分

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)

分段寫出彎矩方程確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微46梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀yx討論分析方法？梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀yx討47梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)48梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答案：D分析方法？梁的連續(xù)光滑撓曲線(1)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答49梁的連續(xù)光滑撓曲線(2)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答案：D分析方法？正確答案是哪個？梁的連續(xù)光滑撓曲線(2)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答50梁的連續(xù)光滑撓曲線(3)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答案：C分析方法？正確答案是哪個？梁的連續(xù)光滑撓曲線(3)判斷梁變形后撓曲線的大致形狀正確答51C為正確答案的根據(jù)？結(jié)論與討論cc還有其它方法嗎？C為正確答案的根據(jù)？結(jié)論與討論cc還有其它方法嗎？52長為L重為G的均質(zhì)梁放置于剛性地面如圖所示，當力F=G/3作用于該梁一端，求離地長度a=？例解：根據(jù)變形連續(xù)條件離地處曲率為零FaL長為L重為G的均質(zhì)梁放置于剛性地面如圖所示，例解：根據(jù)變形連537.3疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角7.3疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角54

在很多的工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達式一一列出，簡稱為撓度表。

基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。計算梁位移的疊加法在很多的工程計算手冊中，已將各種支承條件下的557.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形7.3.2

疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形7.3.3

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移7.3.1疊加法應用于多個載荷作用的情形7.3.2567.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形7.3.1疊加法應用于多個載荷作用的情形57

當梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。

7.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形

當梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷58已知：簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B例題

37.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形

已知：簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓59解：1.將梁上的載荷變?yōu)?種簡單的情形。例題

37.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形

解：1.將梁上的載荷變?yōu)?種簡單的情形。例題37.360例題

3解：2.由撓度表查得3種情形下C截面的撓度；B截面的轉(zhuǎn)角。7.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形

例題3解：2.由撓度表查得3種情形下C截面的撓度；B截面61例題

3解：3.應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加

將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

7.3.1

疊加法應用于多個載荷作用的情形

例題3解：3.應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊627.3.2

疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形7.3.2疊加法應用于間斷63疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形

對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應用疊加法。

疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形對于間斷性分布64已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度和轉(zhuǎn)角wC和C例題

4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓65例題

4解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為利用撓度表中關于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

例題4解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形66例題

4

分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。

例題4分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于67例題

4

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。

例題4兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為解：268例題

4解：3．將簡單載荷作用的結(jié)果疊加

例題4解：3．將簡單載荷作用的結(jié)果疊加69第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架

用疊加法求AB梁上E處的撓度wE注意結(jié)構的幾何特征、載荷特征和變形特征第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架用疊加法求注意結(jié)構70wE2

第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架wE=wE1+wE2

=wE1+wB/2wB=?wE1逐段剛化后進行變形疊加wE2第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架wE=w71

第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架wB=wB1+wB2+wB3第二類疊加法應用于彈性支承與簡單剛架wB=wB1+w72§用疊加法求彎曲變形（討論題）例：長度為L的矩形截面梁如圖所示放置，求桿中部撓度0.5LA問題轉(zhuǎn)化為，計算A截面的撓度L根據(jù)變形特征進行模型轉(zhuǎn)化法查表法§用疊加法求彎曲變形（討論題）例：長度為L的矩形截面梁如圖73用疊加法求彎曲變形例：自重W，長度為3L的矩形截面桿如圖所示放置，求桿中部間隙，AB力學計算模型1.5L0.5L0.5WA問題轉(zhuǎn)化為，計算A截面的撓度力學建模訓練用疊加法求彎曲變形例：自重W，長度為3L的矩形截面桿如圖所示74

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移疊加法應用于確定斜彎曲時的位移75

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移

為了確定斜彎曲情形下梁的撓度和轉(zhuǎn)角，根據(jù)疊加原理，在小變形和線彈性的條件下，斜彎曲可以分解為兩個平面彎曲的疊加，即將作用線與主軸不一致的載荷FP沿兩個形心主軸方向（y與z）分解為FPy和FPz，二者分別在y和z方向產(chǎn)生撓度wy和wz。兩個方向的撓度wy和wz都是矢量。將二者疊加就是確定其矢量和，即得梁在斜彎曲情形下的總撓度矢量w。

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移為了確定斜彎曲情76

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移疊加法應用于確定斜彎曲時的位移77

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移=?疊加法應用于確定斜彎曲時的位移=?78

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移

綜合第5章和本章中關于斜彎曲的分析結(jié)果，斜彎曲與平面彎曲的主要區(qū)別在于：

斜彎曲加載方向與橫截面的形心主軸方向不一致。

斜彎曲情形下中性軸雖然通過橫截面形心，但與加載方向不垂直。

斜彎曲情形下總撓度的方向與加載方向不一致。

疊加法應用于確定斜彎曲時的位移綜合第5章和本章中797.4梁的剛度問題7.4梁的剛度問題807.4.1

剛度計算的工程意義變形后的齒輪軸7.4.1剛度計算的工程意義變形后的齒輪軸81

對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據(jù)對零件和構件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度設計準則：wmax

[w],max

[]w和θ分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構件的工藝要求而確定。

7.4.2

剛度設計準則對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根82

需要指出的是，剛度設計與強度設計的重要區(qū)別是，它不是以應力是否達到屈服應力或強度極限作為設計的依據(jù)，而是以限制彈性位移的大小作為設計的依據(jù)。以剛度要求作為依據(jù)設計出的桿件，其應力在多數(shù)情形下都在比例極限以下。

7.4.2

剛度設計準則需要指出的是，剛度設計與強度設計的重要區(qū)別是，它不是83

剛度設計示例剛度設計示例84剛度設計的工程意義

對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響構件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機床主軸的撓度過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會增加軸承的磨損等等。

剛度設計的工程意義對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和85例題

7已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。

B例題7已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，86例題

7

解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。

1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B例題7解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足87例題

71．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑

根據(jù)設計要求，

例題71．查表確定B處的轉(zhuǎn)角B2．根據(jù)剛度設計準則確定軸88例題

7B2．根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑

根據(jù)設計要求，

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

例題7B2．根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑其中，的單位為897.5簡單靜不定梁7.5簡單靜不定梁90

靜不定問題的基本概念

求解靜不定問題的基本方法

幾種簡單的靜不定問題示例靜不定問題的基本概念求解靜不定問題的基本方法91

靜不定問題的基本概念靜不定問題的基本概念92靜不定次數(shù)——未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)構——未知力（內(nèi)力或外力）個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結(jié)構——未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結(jié)構靜定多余的約束靜不定問題的基本概念靜不定次數(shù)——未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)937.5.2

求解靜不定問題的基本方法7.5.2求解靜不定問題的基本方法94求解靜不定問題的基本方法

靜定與靜不定的辯證關系

由于多余約束的存在，使問題由靜力學可解變?yōu)殪o力學不可解，這只是問題的一個方面。問題的另一方面是，由于多余約束對結(jié)構位移或變形有著確定的限制，而位移或變形又是與力相聯(lián)系的，因而多余約束又為求解靜不定問題提供了條件。

求解靜不定問題的基本方法靜定與靜不定的辯證95求解靜不定問題的基本方法

根據(jù)以上分析，求解靜不定問題．除了平衡方程外，還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程（compatibilityequation）,并建立力與位移或變形之間的物理關系，即物理方程或稱本構方程（constitutiveequations）。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程。

可見，求解靜不定問題，需要綜合考察結(jié)構的平衡、變形協(xié)調(diào)與物理等三方面，這就是求解靜不定問題的基本方法。這與第8章中分析正應力的方法是相似的。求解靜不定問題的基本方法根據(jù)以上分析，求解963-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB簡單的靜不定梁3-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAF97簡單的靜不定梁5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy簡單的靜不定梁5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAF98

應用小變形概念可以推知某些未知量

由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx

＝FBx=0。FBxBlAMAFAyFAxFBy應用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條99

應用小變形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFAxFBy

因此，求解這種靜不定問題只需1個補充方程?？梢詫懗鲎冃螀f(xié)調(diào)方程為應用小變形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFA100

應用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB

對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時的多余約束力除FBy外，又增加了MB。于是需要兩個補充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結(jié)構和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定：MBBlAMAFAyFBy應用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0101

應用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2應用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0102

應用對稱性分析可以推知某些未知量MBBlAMAql/2ql/2

與未知力偶MB對應的約束是對截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為

應用對稱性分析可以推知某些未知量MBBlAMAql/103例題

6求:

梁的約束力已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI、長度為lBAl例題6求:梁的約束力已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛104例題

6解：1、平衡方程:2、變形協(xié)調(diào)方程：

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB例題6解：1、平衡方程:2、變形協(xié)調(diào)方程：FAy+FBy105例題

63、物性關系：2、變形協(xié)調(diào)方程：

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB例題63、物性關系：2、變形協(xié)調(diào)方程：wB=wB(q)+106例題

6BlAFB解：4、綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0由平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物性關系聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,例題6BlAFB解：4、綜合求解FAy+FBy-q107§

6-5簡單靜不定梁（疊加法）結(jié)構能否再優(yōu)化使Mmax減小§6-5簡單靜不定梁（疊加法）結(jié)構能否再優(yōu)化使Mma108（疊加法）RA變形協(xié)調(diào)條件RARBAyBMB

Mx彎矩圖簡單靜不定梁（疊加法）RA變形協(xié)調(diào)條件RARBAyBMBMx彎矩圖簡單1097.6.4

關于求解靜不定問題的討論7.6.4關于求解靜不定問題的討論110BlA靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立解除一端的固定端約束，使結(jié)構變成靜定的懸臂梁MBFByMAFAyBlAMAFAyMBFByBlA靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立解除一端的固定端約111靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立解除一端的固定端約束，使結(jié)構變成靜定的懸臂梁lABMBMAFByFA