數學模型第四版姜啟源第九章-概率模型課件

第九章概率模型9.1傳送系統的效率9.2報童的訣竅9.3隨機存貯策略9.4軋鋼中的浪費9.5隨機人口模型9.6航空公司的預訂票策略9.7學生作弊現象的調查和估計第九章概率模型9.1傳送系統的效率確定現象隨機現象統計學家和賭場經理對待隨機現象的態(tài)度幾乎一樣，只是前者用的是隨機數，后者用的是撲克牌——斯汀骰子賭博的訣竅敏感問題調查調查問卷：1.敏感問題，2.普通問題；回答：是，否已知普通問題回答“是”的先驗概率p被調查人按單雙學號回答問題1或2，答卷只有是或否調查目的：敏感問題出現的概率x有多大?設調查人數為n，其中回答“是”的人數為m確定現象隨機現象統計學家和賭場經理對待隨機現象的態(tài)度幾乎一樣確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現隨機因素影響必須考慮概率模型統計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地傳送帶掛鉤產品工作臺工人將生產出的產品掛在經過他上方的空鉤上運走，若工作臺數固定，掛鉤數量越多，傳送帶運走的產品越多.背景在生產進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑.9.1傳送系統的效率傳送帶掛鉤產品工作臺工人將生產出的產品掛在經過他上方的空鉤上問題分析進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產系統的周期性運轉，應假定工人們的生產周期相同，即每人作完一件產品后，要么恰有空鉤經過他的工作臺，使他可將產品掛上運走，要么沒有空鉤經過，迫使他放下這件產品并立即投入下件產品的生產.

可以用一個周期內傳送帶運走的產品數占產品總數的比例，作為衡量傳送帶效率的數量指標.工人們生產周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產完一件產品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內任一時刻的可能性相同.問題分析進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產系統的周期性運轉，應假可模型假設1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產相互獨立，生產周期是常數；2）生產進入穩(wěn)態(tài)，每人生產完一件產品的時刻在一個周期內是等可能的；3）一周期內m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產完一件產品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產品掛上運走；若該鉤非空，則這件產品被放下，退出運送系統.模型假設1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產相互獨立，2）生模型建立定義傳送帶效率為一周期內運走的產品數（記作s,待定）與生產總數n（已知）之比，記作D=s/n若求出一周期內每只掛鉤非空的概率p，則s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？設每只掛鉤為空的概率為q，則p=1-q如何求概率設每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則q=rn設每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內有m個掛鉤通過每一工作臺的上方模型建立定義傳送帶效率為一周期內運走的產品數（記作s,若模型解釋若(一周期運行的)掛鉤數m遠大于工作臺數n,則

傳送帶效率(一周期內運走產品數與生產總數之比）定義E=1-D(一周期內未運走產品數與生產總數之比）提高效率的途徑：增加m習題1當n遠大于1時,E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)])11(1[nmnmD--=模型解釋若(一周期運行的)掛鉤數m遠大于工作臺數n,則傳9.2報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)

>b(購進價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售賺錢少應根據需求確定購進量.每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數應是長期的日平均收入每天收入是隨機的存在一個合適的購進量等于每天收入的期望9.2報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)>建模設每天購進n份，日平均收入為G(n)調查需求量的隨機規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c建模設每天購進n份，日平均收入為G(n)調查需求量的求解將r視為連續(xù)變量求解將r視為連續(xù)變量結果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢b-c~退回一份賠的錢0rp結果解釋nP1P2取n使a-b~售出一份賺的錢0rp9.3隨機存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據庫存決定是否訂貨，供下周銷售.(s,S)存貯策略:下界s,上界S，當周末庫存小于s時訂貨，使下周初的庫存達到S;否則，不訂貨.考慮訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費用最小.9.3隨機存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量模型假設每次訂貨費c0,每件商品購進價c1,每件商品一周貯存費c2,每件商品缺貨損失費c3(c1<c3).每周銷售量r為連續(xù)隨機變量,概率密度p(r).周末庫存量x,訂貨量u,周初庫存量x+u.每周貯存量按x+u-r計算.模型假設每次訂貨費c0,每件商品購進價c1,每件商品建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標函數——每周總費用的平均值最小平均費用訂貨費c0,購進價c1,貯存費c2,缺貨費c3,銷售量rs~訂貨點，S~訂貨值建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標函建模與求解1）設x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp建模與求解1）設x<s,求u使J(u)最小，確定2）對庫存x，確定訂貨點s若訂貨u,u+x=S,總費用為

若不訂貨,u=0,總費用為

訂貨點s

是的最小正根建模與求解不訂貨2）對庫存x，確定訂貨點s若訂貨u,u+x=S,總費最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處達到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根s最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達到最小xI(x)9.4軋鋼中的浪費軋制鋼材兩道工序粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調整方差由設備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報廢隨機因素影響精軋問題：如何調整粗軋的均值，使精軋的浪費最小.背景9.4軋鋼中的浪費軋制鋼材兩道工序粗軋(熱軋)~分析設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為.記粗軋時可以調整的均值為

m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機變量，記作x~N(m,2).切掉多余部分的概率整根報廢的概率存在最佳的m使總的浪費最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′分析設已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方建模選擇合適的目標函數切掉多余部分的浪費整根報廢的浪費總浪費=+粗軋一根鋼材平均浪費長度粗軋N根成品材PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費長度mN-lPN直接方法建模選擇合適的目標函數切掉多余部分的浪費整根報廢的浪費總浪費選擇合適的目標函數粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均浪費長度更合適的目標函數優(yōu)化模型：已知l,,求m使J(m)最小.建模粗軋N根得成品材PN根略去常數l,記選擇合適的目標函數粗軋一根鋼材平均浪費長度得到一根成品材平均求解已知,求z使J(z)最小求解已知,求z使J(z)最小求解求解例設l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費最小.=l/=10z*=–

1.78*=–

z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z例設l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費最小.軋鋼中的浪費模型假定:粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l整根報廢改為新的假定(習題8):1.粗軋鋼材長度在規(guī)定長度[l1,

l]內降級使用2.粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l1整根報廢在隨機因素影響下過程有兩種結果，其損失(或收益)各有不同，綜合考慮來確定應采取的決策，在統計意義下使總損失最小(或總收益最大).日常生產、生活中的類似問題：軋鋼中的浪費模型假定:粗軋鋼材長度小于規(guī)定長度l9.5隨機人口模型背景一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差9.5隨機人口模型背景一個人的出生和死亡是隨機事件一若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件.

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率進一步假設模型假設若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設1建模為得到Pn(t)P(X(t)=n)的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1且t內出生一人X(t)=n+1且t內死亡一人X(t)=n且t內沒有出生和死亡其他(出生或死亡二人，出生且死亡一人，…)概率Pn(t+t)Pn-1(t)bn-1t

Pn+1(t)dn+1t

Pn(t)(1-bnt-dnt)

o(t)建模為得到Pn(t)P(X(t)=n)的變化規(guī)律，考察Pn一組遞推微分方程設t=0時已知人口為n0轉而求解X(t)的期望和方差bn=n，dn=nt0,得微分方程:建模求解困難且不必要一組遞推微分方程設t=0時已知人口為n0轉而求解X(t)的期X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=kX(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比較：確定性指數增長模型X(t)的方差E(t)-(t)-=rD(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在E(t)2(t)范圍內（(t)~均方差）r~增長概率r~平均增長率求解比較：確定性指數增長模型X(t)的方差E(t)-(t)隨機人口模型這個隨機模型得到的人口期望值的結果與最簡單的確定性指數增長模型的結果相對應.如果建立與確定性阻滯增長模型相對應的隨機模型,難以得到結果,也不知道與確定性模型結果是否一致.本模型更積極的意義是可以描述一般的生滅過程,如電梯的升降、各種排隊系統等.隨機人口模型這個隨機模型得到的人口期望值的結果與最9.6航空公司的預訂票策略預訂票業(yè)務～航空公司為爭取客源開展優(yōu)質服務問題預先訂票的乘客如果未能按時登機，可以乘坐下一班機或退票，無需附加任何費用.若公司限制預訂票的數量等于飛機容量，由于會有訂了機票的乘客不按時來，致使飛機不滿員而利潤降低.如果不限制預訂票數量，若持票按時來的乘客超過飛機容量，必然引起不能走乘客的抱怨,給公司帶來損失.公司需要綜合考慮經濟利益和社會聲譽，確定預訂票數量的最佳限額.9.6航空公司的預訂票策略預訂票業(yè)務～航空公司為爭取客源問題分析公司的經濟利益可以用機票收入扣除飛行費用和賠償金后的利潤來衡量.社會聲譽可以用持票按時前來登機、但因滿員不能飛走的乘客（被擠掉者）限制在一定數量為標準.隨機因素——預訂票的乘客是否按時前來登機.經濟利益和社會聲譽兩個指標都應該在平均意義下衡量.兩目標的優(yōu)化問題，決策變量是預訂票數量的限額.問題分析公司的經濟利益可以用機票收入扣除飛行費用和社會聲模型假設1.飛機容量n，飛行費用r

(與乘客數量無關)，機票價格g=r/n，其中(<1)是利潤調節(jié)因子;

預訂票數量的限額m(>n)，每位乘客不按時前來登機的概率p，“各位乘客是否按時前來”相互獨立;

3.每位被擠掉者獲得的賠償金為常數b.（=0.6表示飛機達到60%滿員率就不虧本）模型假設1.飛機容量n，飛行費用r(與乘客數量無關)，機模型建立1.每次航班的利潤s=機票收入飛行費用賠償金若m位預訂票乘客中有k位不按時前來(按時前來者不超過容量)(按時前來者超過容量)k位乘客不按時前來的概率(二項分布)平均利潤模型建立1.每次航班的利潤s=機票收入飛行費用賠償模型建立2.公司為維護社會聲譽，要求被擠掉者不要太多，用被擠掉者超過若干人的概率作為度量指標.被擠掉者超過j人(m人中不按時前來的不超過m-n-j-1人)的概率給定n,j,若m=n+j,被擠掉的不會超過j,即Pj(m)=0若m>n+j,Pj(m)隨m增加而單調增加

以Pj(m)不超過某個給定值為約束條件，以平均利潤S(m)為單目標函數.優(yōu)化問題目標函數模型建立2.公司為維護社會聲譽，要求被擠掉者不要太多，被擠模型求解目標函數:單位費用獲得的平均利潤給定n,,p,b/g(賠償金占票價的比例),求m使J(m)最大.約束條件容量n,預訂票限額m,費用r,調節(jié)因子,賠償金b,票價g=r/n,不按時登機概率p,(<1)給定模型求解目標函數:單位費用獲得的平均利潤給定n,,模型求解mJ(m)P5(m)P10(m)b/g=0.2b/g=0.43000.58330.5833003020.59390.5939003040.60440.6044003060.61500.61500.000003080.62540.62540.000003100.63530.63510.000703120.64390.64340.00660.00003140.65030.64920.03410.00023160.65400.65170.11230.00233180.65510.65120.26120.01603200.65430.64850.46300.06503220.65230.64450.66660.1780設n=300,=0.6,p=0.05J(m)在最大值附近變化很小,而概率P5(m)

和P10(m)增加很快應參考J(m)的最大值,給定可以接受的,確定合適的m

b/g由0.2至0.4,J(m)減少小于2%,可取b/g=0.4,以贏得聲譽

給定P5(m)<0.2,P10(m)<0.05,3160.65400.65170.11230.0023取m=316模型求解mJ(m)P5(m)P10(m)b/g=0.2b/g模型改進乘客分為兩類,第一類實施上述預訂票業(yè)務,第二類降低票價,購票時付款,不按時前來登機則機票作廢.設m張預訂票中有t張是預售給第二類乘客的，其折扣票價為g(<1),平均利潤為

日常商務活動如旅店、汽車出租公司等也可以采取類似的促銷策略.模型改進乘客分為兩類,第一類實施上述預訂票業(yè)務,第二類降9.7學生作弊現象的調查和估計

背景統計調查中會遇到因涉及個人隱私或利害關系而不受調查對象歡迎或感到尷尬的所謂敏感問題,如是否有考試作弊、賭博、偷稅漏稅等.即使無記名調查也很難消除被調查者的顧慮,極有可能拒絕或故意做出錯誤的回答,難以保證數據的真實性,使得調查結果存在很大的誤差.以對學生考試作弊現象的調查和估計為例,建立數學模型研究敏感問題的調查和估計方法.9.7學生作弊現象的調查和估計背景統計調查中會遇到因設計合理的調查方案來提高應答率,降低不真實回答率,盡量準確地估計有過作弊行為的學生所占的比例.美國統計學家Wanner1965年最早提出“隨機化選答”方法.調查方案設計的基本思路

問題及分析

讓被調查者從包含是否作過弊的若干問題中,隨機地選答其中一個,讓調查者也并不知道被調查者回答的是哪一個問題,以便消除被調查者的顧慮，對自己所選的問題真實作答.設計合理的調查方案來提高應答率,降低不真實回答率,盡量準Warner模型（正反問題選答）設計兩個相反的問題供學生們選答其中一個：問題A.你在考試中作過弊嗎？問題B.你在考試中沒有作過弊嗎？方案設計選答規(guī)則準備一套13張同一花色的撲克(如紅心).被調查的學生隨機抽取一張，看后還原.學生抽取的是不超過10的數（A看作1），則回答問題A.學生抽取的是J、Q或K，則回答問題B.

Warner模型（正反問題選答）設計兩個相反的問題供學生們選Warner模型共n位被調查學生均獨立作答.被調查學生一旦選定應回答的問題,他將真實作答.選答A題的學生比例為p.對問題A，B兩題選答“是”的學生共n1位,選答“是”的比例(概率)π的估計值為模型假設

目的估計有過作弊行為學生的比例~對問題A回答“是”(或對問題B回答“否”)的比例(概率).Warner模型共n位被調查學生均獨立作答.模型假設目的估全概率公式的估計值Warner模型獨立同分布~問題A回答“是”(或問題B回答“否”)的概率π~對兩題選答“是”的概率p~選答A題的概率.全概率公式的估計值Warner模型獨立同分布~問題A回答“的性質及分析無偏性方差方差分解隨機選答機制帶來的方差.

Warner模型直接調查并真實回答下的方差(p=1,)

的性質及分析無偏性方差方差分解隨機選答機制帶來的方差.Warner模型的數值結果n=400，A,B兩題選答“是”的學生數n1=112，p=10/13，有作弊行為學生的比例的估計值=0.091估計的標準差=0.042以2倍標準差為估計標準,有作弊行為學生的比例

Warner模型的數值結果n=400，A,B兩題選答“是”的Simmons模型(無關問題選答

)Warner模型的缺陷問題A與B均為敏感性問題，且p不能為1/2.Simmons模型調查方案設計設計供學生們選答的問題：問題A.你在考試中作過弊嗎？

問題B’.你生日的月份是偶數嗎？

無關(非敏感)問題Simmons模型(無關問題選答)Warner模型的缺陷Simmons模型

模型假設

?學生對問題A回答“是”的概率為，對問題B’回答“是”的概率設為=1/2.?學生中對問題A和B’回答“是”的人數為n2，故對問題A和B’兩問選答“是”的概率的估計值為

目的估計有過作弊行為學生的比例

，即為對問題A回答“是”的概率選答規(guī)則與部分記號同Warner模型的假設.

Simmons模型

模型假設?學生對問題A回答“是”全概率公式的估計Simmons模型

無偏性方差當時的方差分解公式直接調查并真實回答下的方差

隨機選答機制帶來的方差

全概率公式的估計Simmons模型

無偏性方差當Simmons模型的數值結果n=400，n2=80，p=10/13，有作弊行為學生的比例的估計值

估計的標準差以2倍標準差為估計標準，有作弊行為學生的比例

Simmons模型的數值結果n=400，n2=80，pSimmons模型Simmons模型與War