非線性動力學(xué)-5

非線性動力學(xué)-5非線性動力學(xué)

非線性動力學(xué)-5

BeyondPerturbation

IntroductiontoHomotopyAnalysisMethod非線性動力學(xué)-5Outline

ConceptofHomotopyinTopologyBasicideasofHomotopyAnalysismethodExamplesApplicationsofthetheoryinsolvingnonlinearequationsConclusionsReferences非線性動力學(xué)-5“攝動方法”的本質(zhì)：應(yīng)用方程中的小（大）物理參數(shù)，將一個非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮多個線性子問題。優(yōu)點：物理意義明確；簡單、易懂；缺點:(1)依賴小參數(shù),當(dāng)所研究問題不含小參數(shù)時使得攝動展開法面臨困難(2)攝動展開解只在參數(shù)比較小的情況下能夠給出較好的近似,隨著“小參數(shù)”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)無法確保解的收斂非線性動力學(xué)-5怎樣的近似解析方法才是最理想的？不依賴小參數(shù)確保解的收斂性，適用于強(qiáng)非線性問題非線性動力學(xué)-5拓?fù)鋵W(xué)中的幾個基本概念拓?fù)浜屯負(fù)淇臻g

如果對一個非空集合X給予適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，使之能引入微積分中的極限和連續(xù)的概念，這樣的結(jié)構(gòu)就稱為拓?fù)洹?/p>

具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間稱為拓?fù)淇臻g。引入拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、內(nèi)部系等不同方法。非線性動力學(xué)-5同倫的基本概念兩個拓?fù)淇臻g如果可以通過一系列連續(xù)的形變從一個變到另一個，那么就稱這兩個拓?fù)淇臻g同倫。非線性動力學(xué)-5同倫的定義

設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，f和g是X到Y(jié)的連續(xù)映射，即

f：X→Y，g：X→Y，如果存在連續(xù)映射H：X×Ｉ→Y（這里Ｉ=[0,1]），使得對任何x∈X，滿足：則稱f和g是同倫的,稱H是由f到g的一個同倫或倫移,即

H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，同倫是關(guān)于映射的等價關(guān)系f（x）=H（x,0）

g（x）=H（x,1）H（x,q）示意圖非線性動力學(xué)-5二、“同倫分析方法”簡述拓?fù)淅碚搨鹘y(tǒng)的同倫概念：

其中，q為嵌入變量.易知，q=0時，H(x;0)=f(x);

q=1時，H(x;1)=g(x).因此，當(dāng)嵌入變量q從0增加到1時，函數(shù)H(x,q)從f(x)連續(xù)變化到g(x).這樣，H(x,t)建立起從f(x)到和g(x)之間的聯(lián)系.在拓?fù)?topology)〕理論中，這種連續(xù)的變化稱為同倫(homotopy)，表示為

非線性動力學(xué)-5Liao提出“廣義同倫”之概念：非線性動力學(xué)-5非線性動力學(xué)-5BasicideasofHAME1.非線性代數(shù)方程f(x)=0.(構(gòu)造同倫)

設(shè)為已知的初始猜測解,嵌入變量

為一未知的嵌入變量的函數(shù),我們構(gòu)造如下的一個單參數(shù)的非線性代數(shù)方程:

(1)當(dāng)時,上述方程為線性方程即非線性動力學(xué)-5當(dāng)時,方程(1)變?yōu)閯t,就是原非線性方程f(x)=0的解.因此,當(dāng)嵌入變量從0變化到1時,從初始猜測解變化到非線性代數(shù)方程解,因此方程(1)構(gòu)造了一個的同倫.設(shè)存在無窮階導(dǎo)數(shù)非線性動力學(xué)-5根據(jù)Taylor定理,有則如何求?(2)將(1)式對p求一階導(dǎo)數(shù)(3)非線性動力學(xué)-5令

得則將(3)式對p再求一次導(dǎo)數(shù)(4)(5)令

得(6)非線性動力學(xué)-5類似地，可以求得k階變形導(dǎo)數(shù)，則一階近似公式為（時為牛頓迭代公式）非線性動力學(xué)-5E2.非線性微分方程whereisanonlinearoperator,denotesindependentvariable,isanunknownfunction,respectively.(1)Constructzero-orderdeformationequationWhere∈[0,1]istheembeddingparameter,isanonzeroauxiliaryparameter,isanauxiliaryfunction,isanauxiliarylinearoperator,isaninitialguessof,isaunknownfunction,respectively.(7)非線性動力學(xué)-5Obviously,whenp=0andp=1,itholdsThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.ExpandinginTaylorserieswithrespectto,onehaswhere(8)非線性動力學(xué)-5Iftheauxiliarylinearoperator,theinitialguess,theauxiliaryparameter,andtheauxiliaryfunctionaresoproperlychosen,theseries(8)convergesat,onehaswhichmustbeoneofsolutionsoforiginalnonlinearequation.Asand,Eq(7)becomes(9)whichisusedmostlyinthehomotopyanalysismethod.(2)Constructmth-orderdeformationequation非線性動力學(xué)-5DifferentiatingEq.(7)m

timeswithrespecttotheembeddingparameterp

andthensettingp=0andfinallydividingthembym!,wehavetheso-calledmth-orderdeformationequationDefinethevector線性方程(10)？？非線性動力學(xué)-5Itshouldbeemphasizedthatform≥

1isgovernedbythelinearequation(10)withthelinearboundaryconditionsthatcomefromoriginalproblem,whichcanbeeasilysolvedbysymboliccomputationsoftwaresuchasMapleandMathematica.非線性動力學(xué)-5E3.非線性微分方程求解Accordingtothegoverningequationandtheinitialcondition(11),thesolutioncanbeexpressedbyasetofbasefunctions(11)intheformwhereisacoefficienttobedetermined，Thisprovidesuswiththeso-calledruleofsolutionexpression,i.e.,thesolutionof(11)mustbeexpressedinthesameformas(12)andtheotherexpressionssuchasmustbeavoided.(12)非線性動力學(xué)-5Accordingto(11)and(12),wechoosethelinearoperatorwiththepropertyWhereisconstant.From(11),wedefineanonlinearoperator非線性動力學(xué)-5Accordingto(11)andtheruleofsolutionexpression(12),itisstraightforwardthattheinitialapproximationshouldbeintheform(1)Constructzero-orderdeformationequationThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.(2)Constructmth-orderdeformationequation非線性動力學(xué)-5非線性動力學(xué)-5最后得到

ruleofcoefficientergodicity，H（τ）=1非線性動力學(xué)-5得到一族解，通過調(diào)節(jié)級數(shù)收斂非線性動力學(xué)-5二、“同倫分析方法”簡述“同倫分析方法”特點毋須任何小參數(shù)，可將一個非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮多個線性問題！可自由選取輔助線性算子、初始近似:

——線性子問題中的線性算子毋須與原始非線性方程中的線性算子相同或密切相關(guān)！非線性動力學(xué)-5二、“同倫分析方法”簡述初步形成一個較為完整的理論體系（1）提出三個原則:解表達(dá)原則（Ruleofsolutionexpression）解存在原則（Ruleofsolutionexistence）完備性原則（Ruleofcoefficientergodicity）指導(dǎo)輔助線性算子、初始近似、輔助函數(shù)之選?。?）證明了“收斂性定理”非線性動力學(xué)-5同倫分析方法之優(yōu)點不同于攝動方法，“同倫分析方法”不依賴于小參數(shù)的存在，因而適用范圍更廣；不同于所有其它分析方法，“同倫分析方法”本身提供了一種簡單的方法調(diào)節(jié)或控制解析解級數(shù)的收斂區(qū)域；“同倫分析方法”提供選擇不同基函數(shù)之自由，從而能更有效地表達(dá)非線性問題的解。非線性動力學(xué)-5二、“同倫分析方法”簡述廣泛應(yīng)用（1992年-2002年）非線性波浪問題邊界層流動和熱傳導(dǎo)問題非線性振動問題極限環(huán)問題圓球黏性阻力（Navier-Stokes方程）物理、生物及宇宙學(xué)方面的非線性問題證明“同倫分析方法”之有效性和潛力(1)不依賴小參數(shù)二階近似在整個區(qū)間

內(nèi)的最大誤差僅為0.48%求解范例非線性動力學(xué)-5同倫分析方法之優(yōu)點圓球繞流問題應(yīng)用“同倫分析方法”,得到150年來與實驗結(jié)果吻合得最好的圓球阻力理論公式（2002年）。應(yīng)用“同倫分析方法”求解一些經(jīng)典非線性難題非線性動力學(xué)-5同倫分析方法之優(yōu)點(2)確保解的收斂性——解的收斂區(qū)域可以

調(diào)節(jié)和控制

非線性動力學(xué)-5(3)有選擇基函數(shù)之自由對任何參數(shù)

我們都得到如下形式的周期解

非線性動力學(xué)-5同倫分析方法之優(yōu)點

Liao,S.andTan,Y.,“Ageneralapproachtoobtainseriessolutionsofnonlineardifferentialequations”,StudiesinAppliedMathematics,119:1-58,2007.非線性動力學(xué)-5非牛頓流體邊界層流動

非線性動力學(xué)-5非牛頓流體邊界層流動非線性動力學(xué)-5三維非定常旋轉(zhuǎn)黏性流動

非線性動力學(xué)-5三維非定常旋轉(zhuǎn)黏性流動

Tan.YandLiao,S.,ASMEJ.AppliedMech.74:1011-1018,2007非線性動力學(xué)-5（B）發(fā)現(xiàn)新解(1)可滲透拉伸變形平板邊界層流動：

非線性動力學(xué)-5（B）發(fā)現(xiàn)新解應(yīng)用“同倫分析方法”,找到被數(shù)值方法遺漏的一個新解!非線性動力學(xué)-5（B）發(fā)現(xiàn)新解(2)Cheng-Minkowycz流動:

非線性動力學(xué)-5呈代數(shù)衰減的無窮多個解

應(yīng)用“同倫分析方法”,LiaoandMagyari(2006)找到被數(shù)值方法遺漏的、呈代數(shù)衰減的無窮多個新解！非線性動力學(xué)-5（C）突破傳統(tǒng)思想非線性動力學(xué)-5（C）突破傳統(tǒng)思想

求解非線性問題時，我們所擁有的自由，遠(yuǎn)比我們過去想象的要大得多！正面意義：提出更好的、求解非線性問題的解析方法和數(shù)值方法許多全新的、有趣的問題有待研究和探索(請見《力學(xué)進(jìn)展》有關(guān)綜述論文)非線性動力學(xué)-5（D）海洋工程中的應(yīng)用“同倫分析方法”被成功應(yīng)用于研究海洋工程中的一些基礎(chǔ)理論問題，如：非線性波浪；梁的大擾度彎曲；非線性波與非均勻流相互作用；非線性動力學(xué)-5（D）海洋工程中的應(yīng)用