幾何結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)

幾何結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)第1頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

●

了解材料的結(jié)構(gòu)是材料科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)。

●

晶體材料是固體材料中的重要組成部分。

●

認(rèn)識結(jié)晶形態(tài)及內(nèi)部構(gòu)造的規(guī)律是晶體學(xué)理

論的范疇，有如下主要分支：

晶體生長學(xué)

幾何結(jié)晶學(xué)

晶體結(jié)構(gòu)學(xué)

晶體化學(xué)

晶體物理學(xué)

第2頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.1晶體及其基本性質(zhì)

2.1.1晶體

●

對晶體的認(rèn)識始于外部形態(tài)的觀察。

●

晶體的傳統(tǒng)定義：外形具有規(guī)則幾何多面體

形狀的固體。

●

傳統(tǒng)定義沒有揭示晶體的本質(zhì)特點。

●

對晶體本質(zhì)的揭示始于1912年應(yīng)用X射線對晶

體構(gòu)造進(jìn)行研究。

●

嚴(yán)格的晶體定義：晶體是內(nèi)部質(zhì)點在三維空間

呈周期性重復(fù)排列的固體，或說是具有格子構(gòu)

造的固體。

第3頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.1.2等同點及空間格子

●

等同點：結(jié)構(gòu)中種類、化學(xué)性質(zhì)及周圍的環(huán)境、方位

完全相同的空間位置。

●

對NaCl晶體結(jié)構(gòu)，所有Na＋點屬于一類等同點，所有Cl－

點屬于另一類等同點。等同點位置不限于質(zhì)點中心，任

何位置能引出一類等同點且構(gòu)成上圖的c圖形。

a5.628?2.8148?bc

NaCl結(jié)構(gòu)（a、b）及等同點分布（c）第4頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

●

空間格子：等同點在三維空間呈格子狀排列

稱空間格子。

●

空間格子是表示晶體構(gòu)造規(guī)律的幾何圖形，是

無限圖形。

空間格子第5頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

空間格子有下列幾種要素存在：

●結(jié)點：空間格子中的等同點。

●行列：結(jié)點在直線上的排列。

行列中相鄰結(jié)點間的距離稱結(jié)點間距。同行列方向上結(jié)

點間距相等；不同方向的行列，結(jié)點間距一般不等。

●面網(wǎng)：結(jié)點在平面上的分布。

單位面積內(nèi)結(jié)點的數(shù)目稱面網(wǎng)密度；相鄰面網(wǎng)間的垂直

距離稱面網(wǎng)間距。

相互平行的面網(wǎng)間面網(wǎng)密度和面網(wǎng)間距相等；否則一般

不等且面網(wǎng)密度大的其面網(wǎng)間距亦大。

●平行六面體：空間格子中的最小單位。

第6頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

面網(wǎng)

平行六面體第7頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.1.3布拉維法則和面角守恒定律

●

布拉維法則：晶體通常被面網(wǎng)密度大的晶面所包圍。

●

晶面的生長速度與其面網(wǎng)密度一般呈反比關(guān)系。

●

生長速度大的BC晶面逐漸變小，甚至消失；生長速度小

的AB、CD晶面將逐漸擴(kuò)展，最后保留下來。

面網(wǎng)密度與晶面生長過程的關(guān)系第8頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

●面角守恒定律

--實際晶體在生長過程中受過程因素的影

響，使晶體的外形呈現(xiàn)各種形狀。

--丹麥礦物學(xué)家斯丹諾發(fā)現(xiàn)，同種晶體雖

然它們的形狀和大小各不相同，但各相

對應(yīng)的晶面夾角是相等的。由此提出了

面角守恒定律：在相同的溫度、壓力條件下，成分和構(gòu)造相同的所有晶體，其對應(yīng)晶面間的夾角恒等。

--面角守恒定律對結(jié)晶學(xué)的發(fā)展起了深遠(yuǎn)的影響，使人們

能從晶體千變?nèi)f化的形態(tài)中，找到它們外形上所固有的

客觀規(guī)律，得以根據(jù)面角關(guān)系恢復(fù)晶體的理想形態(tài)，從

而奠定了幾何結(jié)晶學(xué)的基礎(chǔ)。

圖2-8石英晶體第9頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.1.4晶體的基本性質(zhì)（所有晶體具有的共性）

●

自限性(自范性)：晶體在一定條件下能自發(fā)形成幾何

多面體的形狀。

●

結(jié)晶一致性：同一晶體的不同部分具有相同的性質(zhì)。

●

各向異性：晶體性質(zhì)隨方位不同而有差異的特性。

●

對稱性：晶體中的晶面、晶棱、角頂、結(jié)點及物理化

學(xué)性質(zhì)等在不同方向作有規(guī)律地重復(fù)。

●

最小內(nèi)能性：在相同熱力學(xué)條件下，與同種成分的非

晶體、液體、氣體相比，其內(nèi)能最小。

第10頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2晶體的宏觀對稱

2.2.1晶體對稱

●

對稱：物體相等部分有規(guī)律的重復(fù)。

觀察對稱性：①在物體上可以找到相同的部分；

②相同的部分重復(fù)出現(xiàn)有規(guī)律。

晶體的對稱由格子構(gòu)造所決定，有以下特點：

●

符合格子構(gòu)造規(guī)律的對稱才能在晶體上出現(xiàn)，即晶體

的對稱遵循“晶體對稱定律”。

●

晶體的對稱不僅表現(xiàn)在外形上，也表現(xiàn)在物理化學(xué)性

質(zhì)上。第11頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2.2晶體的對稱操作和對稱要素

●

對稱操作：使物體相等部分重復(fù)出現(xiàn)的操作，

如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸及其聯(lián)合動作等。

●

對稱要素：進(jìn)行對稱操作時借助的幾何要素

（點、線、面）。

●

晶體的宏觀對稱要素：對稱面、對稱軸、對稱

中心、

旋轉(zhuǎn)反伸軸（倒轉(zhuǎn)軸）、旋轉(zhuǎn)反映軸

（映轉(zhuǎn)軸）

第12頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

對稱面P

●

概念：一個通過晶體中心的假想平面，能將晶體平分

為互為鏡象的兩個相等部分，以符號P表示。

●

對稱面的對稱操作是對此平面的反映。

●

晶體上可沒有對稱面，也可有一個或幾個P，最多有9

個，寫作9P。P1、P2為對稱面，AD不是

立方體的九個對稱面ab

第13頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

對稱軸Ln

●

概念：通過晶體中心的一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)

一定角度，可使相等部分重復(fù)出現(xiàn)，記為Ln。

●

旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次n，重復(fù)所旋轉(zhuǎn)的最小角

度稱為基轉(zhuǎn)角α，有關(guān)系：n=360°／α。

●

軸次高于2的L3、L4、L6稱高次軸。

●

晶體中可沒有對稱軸，也可有一種或幾種對稱軸同時存

在。書寫時，三個四次軸記為3L4。

對稱軸及其垂直該軸切面的示意圖第14頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

關(guān)于晶體的對稱規(guī)律：

實際晶體中可以存在的對稱軸僅有L1、L2、L3、L4、L6。一次軸L1沒有意義；五次軸L5和高于六次的對稱軸（L7、L8……）均不允許存在。

垂直對稱軸的面網(wǎng)示意圖

a、b、c、e：分別表示L2、L3、L4、L6的面網(wǎng)

d、f、g：分別表示L5、L7和L8的面網(wǎng)第15頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

對稱中心C

●

概念：晶體中心的一個假想定點，過此點任意直線的等

距離兩端，可找到晶體的相同部分，用C表示。

對稱操作是以此點為中心的反伸(倒反)。

晶體中可沒有對稱中心，或僅有一個對稱中心。

晶體中如果有C

，晶體上的晶面必然是兩兩平行且相等。

對稱中心C的圖形第16頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin（倒轉(zhuǎn)軸）

●

概念：過晶體中心一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定

角度，再對對稱中心反伸，可使相等部分重復(fù)出

現(xiàn)，以Lin表示。

●

對稱操作是旋轉(zhuǎn)＋反伸的復(fù)合操作。

●

軸次只有Li1、Li2、Li3、Li4、Li6。

旋轉(zhuǎn)反伸軸的圖解第17頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)反映軸Lsn（映轉(zhuǎn)軸）

●

概念：過晶體中心的一假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)

一定角度，再對過中心且垂直此直線的平面反

映，可使晶體相等部分重復(fù)，以Lsn表示。

●

對稱操作為旋轉(zhuǎn)＋反映的復(fù)合操作。

●

軸次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。

●

沒有獨立的對稱要素，均可用其它要素表示：

Ls1=P=Li2,Ls2=C=Li1,Ls3=L3+P=Li6,Ls4=Li4,Ls6=L3+C=Li3。

（a）（b）（c）（d）（e）旋轉(zhuǎn)反映軸的圖解第18頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2.5對稱要素的組合

在晶體對稱中，對稱要素間的組合服從“對稱要素組合定理”

●

定理一：如有一偶次對稱軸Ln與對稱中心共存，則過C且

垂直于此Ln的平面，必為一對稱面。

簡式：Ln（偶）×C=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

[逆定理1]：若有一偶次對稱軸Ln垂直于對稱面P，二者的

交點必為對稱中心C。

簡式：Ln（偶）×P=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

[逆定理2]：若有一對稱面P和對稱中心組合，必存在一個

垂直于對稱面的偶次對稱軸。

簡式：P×C=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

第19頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

Ln與C共存導(dǎo)出P的圖解

Ln與L2的組合●

定理二：如有一個二次對稱軸L2垂直Ln，則必有n個L2垂直

Ln，且任意兩相鄰L2間的夾角δ=360°／2n。

簡式：Ln×L2

=LnnL2（Ln⊥L2）

[逆定理]：如有兩個L2以δ角相交，則過兩者交點之公共垂線必為一n次對稱軸且n=360°／2δ。

第20頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

●

定理三：若有一對稱面P包含Ln，則必有n個P包含Ln，

且任意兩相鄰對稱面間的夾角δ=360°／2n。

簡式：Ln×P→LnnP（Ln∥P）

[逆定理]：如有兩個P以δ角相交，則兩者交線必為一個n

次對稱軸且軸次n=360°／2δ。

●

定理四：如有一對稱面P包含Lin

(或一L2垂直Lin)，當(dāng)

n為偶數(shù)，則有n／2個P∥Lin和n／2個L2⊥

Lin；

n為奇數(shù)，則有n個P∥Lin和n個L2⊥Lin；

且P的法線與L2間的夾角δ均為360°／2n。

簡式：Lin×P//

=Lin×L⊥2=Linn／2L⊥2n／2P//（n為偶數(shù)）

Lin×P//

=Lin×L⊥2=LinnL⊥2nP//（n為奇數(shù)）

[逆定理]:如有一L2與一P斜交，P的法線與L2的交角為

δ，則⊥L2且∥P的直線為Lin

，n=360°／2δ。

第21頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

Ln包含nP

Lin2L⊥22P//第22頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

●

定理五:若Ln與Lm以δ角斜交，則圍繞Ln必有共點且對稱

分布的n個Lm，圍繞Lm必有共點且對稱分布的m

個Ln，且任意兩相鄰的Ln與Lm間交角均為δ。

簡式：Ln×Lm=nLmmLn（Ln與Lm斜交）

3L4與4L3的組合第23頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.2.6對稱型（點群）

●

進(jìn)行對稱要素組合分析，得到晶體的全部組合形式，稱

為對稱型，共32種。由于在結(jié)晶多面體中對稱要素組合

相交于一點，對稱型又稱點群。

●

對稱型中使用的對稱要素：

L1、L2、L3、L4、L6；

P（P=Li2）；

C（C=Li1）；

Li1=C、Li2=P、Li3=L3十C、Li4、Li6

●

對稱型推導(dǎo)將組合形式分成兩類：A類(27種)為高次軸

不多于一個的組合；B類(5種)為高次軸多于一個的組合。

第24頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶族和晶系

在晶體的對稱型中，根據(jù)有無高次軸和高次軸多少，把32個對稱型劃分出三個晶族；又根據(jù)對稱特點劃分為7個晶系。

晶體高級晶族（高次軸多于一個）中級晶族（高次軸只有一個）六方晶系(有一個L6或Li6)四方晶系（有一個L4或Li4）三方晶系(有唯一的高次軸L3)低級晶族（無高次軸）斜方晶系(L2或P多于一個)單斜晶系(L2或P不多于一個)三斜晶系(無L2，無P)立方晶系第25頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.3晶體的理想形態(tài)（單形和聚形）

●

同一對稱型的晶體，可以有不同的形態(tài)，如下圖所示

的立方體和八面體，對稱型均為3L44L36L29PC。

●

因此需要進(jìn)一步研究晶體的形態(tài)。

●

借助于晶體的面角守恒原理，引出晶體的理想形態(tài)：

單形和聚形

（a）立方體和（b）八面體ab第26頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.3.1單形

概念：由對稱要素聯(lián)系起來的一組晶面的構(gòu)形。

單形的得出：是由一初始晶面經(jīng)對稱型中對稱要素的操作

而重復(fù)出的一組晶面。因此同一單形的晶面

同形等大。

如上圖中的立方體和八面體，它們的一組晶面分別是同

形等大的6個正方形和8個等邊三角形。

說明：在同一對稱型中，初始晶面與對稱要素的相對位置

不同，可以導(dǎo)出不同的單形。對32種對稱型逐一進(jìn)

行推導(dǎo)可以得到晶體應(yīng)有的全部單形。

第27頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

單形推導(dǎo)（以L22P

對稱型為例）：

L22P的空間分布對稱型L22P的單形推導(dǎo)第28頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

關(guān)于單形的幾點說明

●

同一對稱型，最多能導(dǎo)出七種單形（初始晶面與對稱要

素相對位置最多有7種）。

●

47種幾何單形：對32種對稱型逐個進(jìn)行推導(dǎo)，去掉形態(tài)重

復(fù)的單形而得。

●146種結(jié)晶單形：幾何形態(tài)與對稱性同時考慮而得。即在

146種結(jié)晶單形中，有些單形同屬于一種幾何單形，但其

對稱性不同。

●

一般形和特殊形：單形晶面處于特殊位置（如垂直或平

行），稱特殊形；晶面處于一般位置稱一般形。

●

開形和閉形：單形的晶面不能構(gòu)成封閉狀的稱開形；構(gòu)

成封閉狀的稱閉形。

●

左形和右形：組成晶面具有手性特征的兩類圖形。如偏

方面體、五角三四面體和五角三八面體。

第29頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.3.2聚形

●

概念：兩個或兩個以上單形的聚合稱聚形。

（如圖：四方柱和四方雙錐合成的聚形）

●

說明：

--單形的聚合必須是屬于同一對稱型的單形才能進(jìn)行。

--有幾個單形相聚，就有幾種不同形狀的晶面。

四方柱和四方雙錐的聚形第30頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.4晶體定向和結(jié)晶符號

●

在晶體的對稱型、單形和聚形確

定后，仍不能獲得晶體形態(tài)的完整

描述，如圖所示的兩個晶體同屬于

L44L25PC對稱型和四方柱和四方雙錐

組成的聚形。

●

對此需要確切地表示晶面在空間的相對位置來進(jìn)一步描述

晶體。

●

在晶體學(xué)中，確定晶面在空間的位置是按晶體的對稱特征選擇坐標(biāo)系，將晶體按對稱特征放置于該坐標(biāo)系中(晶體定向)，以一定的符號表示法表示出晶面在空間的位置。

具有相同對稱型和單形的兩種聚形第31頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.4.1晶體定向(坐標(biāo)系統(tǒng))

晶體定向：選擇坐標(biāo)軸(晶軸)和確定軸單位。

晶軸選擇

●

反映晶體的對稱性，優(yōu)先順序依次為：對稱軸→倒轉(zhuǎn)軸→

對稱面法線→晶棱。

●

三軸定向：五個晶系（立方、四方、斜方、單斜、三斜）

●

四軸定向：三方、六方晶系。

三軸定向四軸定向的3個水平軸第32頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

軸單位（晶軸上的單位長）

●晶軸的軸單位就是該晶軸行列的結(jié)點間距。按a、b、c軸

分別記為ao、bo、co，也可直接用a、b、c表示。

●對晶體外形研究，不能定出軸單位的實長（結(jié)點間距），

但通過晶體測量能標(biāo)出其比率a：b：c，此比率稱為軸率

(或軸單位比)。

●軸率a：b：c和軸角α、β、γ合稱為晶體幾何常數(shù)。

●各晶系的晶體定向及晶體常數(shù)特征列于教材中的表2-5。

第33頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.4.2晶體的整數(shù)定律（有理指數(shù)定律）

整數(shù)定律：晶體中任一晶面在晶軸上的截距系數(shù)之

比為一簡單整數(shù)比。

解釋：

●

晶面是外層面網(wǎng)，晶面與晶軸

（軸單位為結(jié)點間距）必相交于

結(jié)點上，故截距系數(shù)比為整數(shù)。

●

根據(jù)布拉維法則，晶體由面

網(wǎng)密度大的晶面所包圍。如

圖所示，a1b1面的面網(wǎng)密度

大，相應(yīng)截距系數(shù)之比簡單。

b1b2b3b4bn

Y

Xa1a2Z

網(wǎng)面密度與截距系數(shù)比的關(guān)系第34頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.4.3結(jié)晶符號及面間距

結(jié)晶符號：晶面符號、晶棱符號、單形符號，晶帶符號。

晶面符號:

表示晶面在空間位置的符號。晶面符號有幾種，最常采用米氏符號，又稱米勒指數(shù)(英國W．H．Miller1839)。

確定步驟：

●

按晶體定向原則進(jìn)行晶體定向；

●

求待標(biāo)晶面在X、Y、Z軸上的截距pa、qb、rc，得截距

系數(shù)p、q、r；

●

取截距系數(shù)的倒數(shù)比1/p：1/q：1/r=h：k：l（為最小整

數(shù)比）；

●

去掉比號、以小括號括起來，寫為(hkl)。

第35頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

舉例：

如圖晶面HKL，在X、Y、Z軸上的截距分別為2a、3b、6c，截距系數(shù)為2、3、6，其倒數(shù)比1/2：1/3：1/6，化整得3：2：1，去掉比號并以小括號括起來，(321)即為所求米勒指數(shù)

晶面符號圖解第36頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

補充說明：

●

若晶面平行于某晶軸，則該晶軸上的截距系數(shù)為∞，其

倒數(shù)1/∞為0，即晶面在該晶軸上的指數(shù)為0。

●

如果晶面與晶軸相交于負(fù)端，則在指數(shù)上部標(biāo)一“-”號，

如（00）。

●

互相平行的晶面可用同一晶面指數(shù)表示，即(hk

l)可代

表相互平行的一組晶面。

●

對四軸定向的三方、六方晶系，晶面指數(shù)按XYUZ軸順序

排列，晶面指數(shù)的一般式寫作(hkil)，其中i

對應(yīng)U軸

，其它h、k、l

和三軸定向相同。數(shù)學(xué)上可以證明晶面指

數(shù)間有h+k+i=0的關(guān)系，即h、k、i

中只有兩個是獨

立的，故一般式又可寫作(hk·l)。

第37頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶向指數(shù)(晶棱符號)

表示晶向（晶棱）在空間位置的符號。

晶向符號只規(guī)定晶向而不涉及它具體的

位置，因而任何晶向（棱）都可平移到

坐標(biāo)0點，故確定的步驟為：

●

選定晶軸X、Y、Z和a、b、c為軸單位；

●

平移晶向（棱）直線過原點；

●

在該直線上任取一結(jié)點M，將其投影至X、Y、Z軸得截距

OX0、OY0、OZ0；

●

作OX0/a：OY0/b：OZ0/c=u：v：w（最小整數(shù)比）；

●

去掉比號，加中括號，[uvw]即為晶向符號。

晶向指數(shù)的圖示第38頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

補充說明：

●

沒有求倒數(shù)的步驟。

●

有正負(fù)，負(fù)值表示方法和晶面符號相同，如[00]。但

對晶向符號，對應(yīng)指數(shù)的絕對值相等而符號相反的兩個

晶向是同一晶向方向，如[001]和[00]是同一晶向方向。

●

對于三方、六方晶系的四軸定向，相應(yīng)晶向符號的一般

式寫作[uvtw]或[uv

·w]，其中u＋v＋t=0

。

●

對于晶向指數(shù)，三軸定向與四軸定向間可用變換公式變

換，若三軸定向的晶向指數(shù)為[UVW]，四軸定向的晶向

指數(shù)為[uvtw]，變換關(guān)系為：

u=1/3(2U－V)v=1/3(2V－U)

t=－1/3(U＋V)w=W

第39頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

單形符號

單形符號：代表單形一組晶面在空間位置的符號。

表示法：在單形中選擇一個代表晶面，把該晶面符號改用

大括號表示。

單形的特點：同一單形各晶面的指數(shù)絕對值不變，只有順序和正負(fù)號的變化。如立方體的六個晶面，其晶面符號分別為(100)、(00)、(010)、(00)、(001)，(00)，這是選擇代表晶面表示單形的基礎(chǔ)。

代表晶面選擇原則：

①選擇正指數(shù)最多的晶面

（三方、六方晶系不考慮i）；

②有負(fù)號時優(yōu)先為正的順序：

l→h→k；

③指數(shù)絕對值遞減的順序：

|h|→|k|→|l|。

根據(jù)這一原則，上述立方體的單形符號應(yīng)為{100}。

立方體的晶面符號第40頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶帶符號和晶帶定律

晶帶：晶體上彼此間交棱且相互平行的一組晶面的集合。

晶帶軸：每個晶帶的交棱方向稱晶帶軸。

晶帶符號：用晶帶軸方向的晶向指數(shù)表示晶帶在空間的位

置，一般式仍用[uvw]或[uv·w]表示。

晶帶定律：任何兩個晶帶相交處的平面，必定是晶體上的

一個可能晶面。

晶帶軸與晶面的關(guān)系：

晶帶軸的指數(shù)為[uvw]，晶帶中任一晶面指數(shù)為（hkl），有數(shù)學(xué)關(guān)系式：hu＋kv＋lw=0，這是判斷一個晶面和一個晶向平行的條件。第41頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶帶定律的應(yīng)用：

①由晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求晶帶符號

根據(jù)晶帶定律建立方程組：

h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

解出：

②由晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]求晶面符號

建立方程組：hu1＋kv1＋lw1

=0

hu2＋kv2＋lw2

=0

得：

③由同一晶帶的兩個晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求此晶帶上另一晶面

指數(shù)，由：h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

有：（h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w=0

即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）為此晶帶上一晶面的晶面指數(shù)。

第42頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶面間距

一組平行晶面的晶面間距dhkl與晶面指數(shù)和晶格常數(shù)a、b、c有下列關(guān)系：

斜方晶系

四方晶系

立方晶系

六方晶系

上述公式僅適用于簡單晶胞，對于復(fù)雜晶胞，要考慮附加原子面的影響。

第43頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5晶體構(gòu)造的幾何理論

前幾節(jié)介紹的是晶體外形上的幾何規(guī)律。

本節(jié)將開始介紹晶體內(nèi)部構(gòu)造的幾何規(guī)律。

實際上，晶體外形上的幾何規(guī)律是由晶體內(nèi)部的格子構(gòu)

造規(guī)律所決定。

介紹的主要內(nèi)容：

空間格子的劃分；

晶胞的概念；

微觀對稱及其組合導(dǎo)出的空間群概念；

對稱型和空間群的國際符號；

等效點系的基本概念。第44頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.1十四種空間格子

單位平行六面體的劃分

晶體構(gòu)造是單位平行六面體在三維空間作無間隙地堆疊或穿插組合。如何從格子構(gòu)造中劃分出基本的單位平行六面體？其中所遵循的原則：

●

能反映整個結(jié)點分布所具有的對稱性；

●

棱與棱之間的直角盡可能最多；

●

體積最小。

說明：

如圖L44P格子中6種選擇方式：

3、4、5、6與L44P的對稱不符，

1、2方式中1的體積最小，故1

是應(yīng)選單位平行六面體。

●

單位平行六面體的棱長a、b、

c及夾角α、β、γ稱晶格常數(shù)。

單位平行六面體的選擇第45頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

七個晶系的單位平行六面體及格子類型

按照單位平行六面體的劃分原則，對7個晶系的晶體進(jìn)行劃分，得到的晶格常數(shù)特征：

立方格子：

a=b=c,α=β=γ=90°；

四方格子：

a=b≠c,α=β=γ=90°；

六方格子：

a=b≠c,α=β=90°,γ=120°；

三方格子：

a=b=c,α=β=γ≠90°；

斜方格子：

a≠b≠c,α=β=γ=90°；

單斜格子：

a≠b≠c,α=γ=90°,β≠90°；

三斜格子：

a≠b≠c,α≠β≠γ≠90°；

顯然，單位平行六面體晶格常數(shù)與晶體外形研究中給出的晶體常數(shù)是一致的。

第46頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

對單位平行六面體進(jìn)行附加結(jié)點的分析，按分布方式又劃分出格子基本類型：

原始格子P：結(jié)點分布于角頂，三方菱面體格子用R表示；

底心格子C：結(jié)點分布于角頂和一對面的面心。對(100)或

(010)面中心的結(jié)點，用A和B表示，稱側(cè)面

心格子，或稱A格子，B格子；

體心格子I：結(jié)點分布于角頂和體中心；

面心格子F：結(jié)點分布于角頂和各面的中心。

圖2-47單位平行六面體中結(jié)點的分布a-原始格子b-底心格子c-體心格子d-面心格子

ab

cd

第47頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

十四種空間格子（布拉維格子）

綜合考慮單位平行六面體的劃分和附加結(jié)點的類型，七個晶系空間格子的基本類型共有十四種。由布拉維導(dǎo)出，稱為十四種布拉維格子。

三斜晶系：三斜原始格子；

單斜晶系：單斜原始格子，單斜底心格子；

斜方晶系：斜方原始格子，斜方底心格子，

斜方體心格子，斜方面心格子；

四方晶系：四方原始格子，四方體心格子；

三方晶系：三方原始格子(三方菱面體格子)；

六方晶系：六方原始格子；

等軸晶系：立方原始格子，立方體心格子，

立方面心格子。

第48頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

補充說明：

按單位平行六面體的7種劃分和四種結(jié)點分布類型，空間格子應(yīng)有7×4=28種，實際給出14種。這是因為：

●

某些類型的格子彼此重復(fù)，

●

一些格子不符合該晶系的對稱。

[例如]四方底心格子(虛線)可轉(zhuǎn)化為體積更小的四方原始格

子（實線）。

三方菱面體面心格子(虛線)可以轉(zhuǎn)化為體積更小的

三方菱面體原始格子。

第49頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.2晶胞的概念

●

晶胞：能夠反映整個晶體結(jié)構(gòu)特征的最小結(jié)構(gòu)單元。

●

晶胞與單位平行六面體的關(guān)聯(lián)：

--幾何形狀、大小與對應(yīng)的單位平行六面體一致，可由

同一組晶格常數(shù)來表示。

--但單位平行六面體是由幾何點構(gòu)成，而晶胞是具體的

有一定物理化學(xué)屬性的質(zhì)點組成。

●

晶胞是描述晶體結(jié)構(gòu)的基本組成單位。

第50頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.3晶體的微觀對稱要素

●

宏觀對稱的主要特征：

--有限圖形的對稱。

--對稱要素的組合在空間相交于一點（沒有平移操作）。

●

微觀對稱的主要特征：

--格子構(gòu)造為無限圖形的對稱。

--對稱要素的組合在空間呈分布（有平移操作）。

●

晶體內(nèi)部構(gòu)造中除其外形上可能出現(xiàn)的對稱要素外，還

出現(xiàn)特有的、與平移有關(guān)的微觀對稱要素：

平移軸

滑移面(象移面)

螺旋軸

第51頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

平移軸：為一直線方向，圖形沿此直線移動一定距離，可

使相同部分重復(fù)。使圖形復(fù)原的最小平移距離，

稱平移軸的移距。

●

說明：

--晶體構(gòu)造中，任一行列方向都是一個平移軸，行列的結(jié)

點間距即為平移軸的移距，因此任何一個空間格子均有

無窮多的平移軸。

--平移軸的集合組成了平移群，空間格子共有十四種，晶

體的平移群也有十四種，稱為十四種移動格子。

第52頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

滑移面(象移面)：一假想的平面，當(dāng)圖形對此平面反映后，在平行此平面的某一方向上移動一定距離，可使圖形的相同部分重復(fù)（先平移后反映，效果相同）。

●

說明：

--如圖為NaCl構(gòu)造在（001）面上的投影。a-a面、b-b面即為

滑移面。

--若滑移面的移距t=

0，就蛻變?yōu)閷ΨQ面。晶體宏觀的對

稱面在晶體內(nèi)部可能為對稱面，也可能為滑移面。

NaCl在（001）面上的投影aaaabbbb第53頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

滑移面按滑移方向和移距分出的a、b、c、n和d五種類型

第54頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

螺旋軸：為一假想直線，質(zhì)點繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度，再沿此

直線方向平移一定距離，可使圖形相同部分重復(fù)（先

平移后旋轉(zhuǎn)等效）。

●

說明：

--螺旋軸按旋轉(zhuǎn)方向分為左旋、右旋，中性三種（如圖）。

--螺旋軸按基轉(zhuǎn)角α也分為二次、三次、四次和六次。每

一種軸次又按其移距與結(jié)點間距T的變化分為一種或幾種。

--按國際符號表示法：

11種螺旋軸：21、31、32、41、

42、43、61、62、63、64、65

--如同滑移面，對稱軸可視

為移距t=0的螺旋軸。（a）左旋（b）右旋第55頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

二次螺旋軸21：旋轉(zhuǎn)180°后平移1/2移距。

三次螺旋軸31和32

：31

表示右向旋轉(zhuǎn)，移距t=1／3T；

32

表示左向旋轉(zhuǎn)，移距1／3T。

（a）對稱軸，（b）螺旋軸（a）對稱軸3，（b）右旋31（c）左旋32第56頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

四次螺旋軸：41

(右旋)、42

(中性)和43（左旋）

41、42和43按右旋方向的移距分別為1／4T、2／4T和3／4T。42為雙軌旋轉(zhuǎn)，在兩個晶胞(2T)的周期內(nèi)復(fù)原。43按左旋方向的移距為1／4T。

（a）對稱軸（b）右旋41（c）中性42（d）左旋43第57頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月六次螺旋軸：61、62、63、64、65

按右旋方向的移距分別為1／6T、2／6T，3／6T，4／6T和5／6T，其中62和64為雙軌螺旋。63為三軌螺旋，需平移三個晶胞才能完成復(fù)原。

（a）對稱軸（b，c）右旋61、62

（d）中性63

（e，f）左旋64、65第58頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

總結(jié)

格子構(gòu)造中存在的對稱要素：

對稱軸：L1、L2、L3、L4、L6

倒轉(zhuǎn)軸：Li1（=C）、Li2（=m）、Li3、Li4、Li6

螺旋軸：1（=平移軸）21、31、32、41、42、43、

61、62、63、64、65

滑移面：a、b、c、n、d

平移軸：十四種移動格子，P(R)、C(A、B)、I

和F

第59頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.4空間群

●

概念：晶體構(gòu)造中一切對稱要素的組合形式稱為空間

群，晶體共有230種組合形式，稱230種空間群。

●

空間群與點群的關(guān)系：

230種空間群分屬于32種點群中。

如果把空間群中的平移因素去掉，230種空間群就蛻變成

32種點群。

●

空間群的基本幾何形象：

（NaCl結(jié)構(gòu)垂直（001）

面上的對稱要素）第60頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.5點群和空間群的符號（見附錄）

點群的國際符號

●

使用的符號（三類對稱要素）：

對稱面：以

m表示；

對稱軸：以軸次數(shù)表示，1、2、3、4、6；

倒轉(zhuǎn)軸：在軸次數(shù)上加“-”，如（C）、m（）、

、、。

●

表示方式：由規(guī)定方向（不超過三個）上存在的對稱要

素構(gòu)成，按規(guī)定方向的順序依次排列表達(dá)。第61頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月各晶系點群國際符號中的三個窺視方向

第62頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月各晶系點群國際符號窺視方向的空間方位

第63頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

實例說明：

--由點群L44L25PC

導(dǎo)出國際符號：

①

L44L25PC

屬四方晶系，國際符號規(guī)定的窺視方向：

co、ao、(ao+bo)。

②co方向(Z軸)上存在的對稱要素有一個L4和垂直此L4

的對

稱面P，第一位寫做4/m；

③

ao方向(X軸)上存在的對稱要素有一個L2

和垂直此L2的對

稱面P，第二位寫做2/m；

④

(ao+bo)方向(X與Y軸平分線)上的對稱要素有一個L2和垂

直此L2

的對稱面P，第三位寫作2/m；

⑤排列起來應(yīng)寫為：，最后簡化為mm。

--L2PC

的國際符號：

①

L2PC

屬單斜晶系，窺視方向是b0。

②

b0方向上的對稱要素有一個L2和垂直L2

的對稱面P，相應(yīng)

國際符號寫做2/m

。第64頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

--由國際符號mm

導(dǎo)出點群：

①

首位6表示六方晶系，其國際符號的三個窺視方向為

c0、a0、(2a0+b0)。

②

c0方向有一個L6和垂直L6的P，有L6×P⊥→L6P⊥C；

③

a0方向有一個平行L6的P，有L6×P//

→L66P//；

④

包含L6的P與垂直L6的P的交線必為垂直于L6的L2（如圖），

于是有L6×L⊥2→L66L⊥2

；

⑤

最后將所有對稱要素組合得到

點群L66L27PC

。

第65頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

空間群的國際符號

空間群的國際符號由兩部分組成：

●

符號首位字母(P、C、I、F或R)表示布拉維格子類型。

●

后繼以對稱型的國際符號，但將其中的對稱要素符號換上

相應(yīng)內(nèi)部構(gòu)造的對稱要素符號。

實例說明：

I41／amd

空間群

①

從首位符號知，屬于體心格子；

②從后面的符號知，屬于四方晶系4／mmm

對稱型；

③由對稱要素知，平行Z軸方向為螺旋軸41，垂直Z軸有滑移

面a，垂直X軸為對稱面m，垂直X軸與Y軸的角平分線為滑

移面d。第66頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.5.6等效點系

概念：由一原始點出發(fā)，通過空間群對稱要素的操作而相互

聯(lián)系起來的一系列點的總和形式，稱為等效點系。

說明：

●

屬于同一等效點系的所有點彼此等效。等效點系中的點稱

為等效點。

●

一個等效點系，通常只考慮在一個單位晶胞范圍內(nèi)的點。

●

等效點系與空間群的關(guān)系相當(dāng)于單形與點群的關(guān)系：

--在等效點系中，原始點與空間群對稱要素的相對位置不同，

同一空間群也可以導(dǎo)出不同的等效點系。

--等效點系也有一般等效點系和特殊等效點系。

--等效點系在單位晶胞內(nèi)所占有的等效點數(shù)是一定的。

--如同聚形中的單形，在晶體結(jié)構(gòu)中，可以同時存在幾個等

效點系。且同時屬于同一空間群的對稱特點。

第67頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

第68頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.6晶體的堆積方式

●

原子和離子都占有一定的空間，在某種程度上近似可將

其視為具有一定大小的球體。

●

原子或離子之間的相互結(jié)合，從幾何的角度，在形式上

可視為球體間的堆積。

●

晶體具有最小的內(nèi)能性，原子和離子相互結(jié)合時，相互

間的引力和斥力處于平衡狀態(tài)，這就相當(dāng)于球體間作緊

密堆積。第69頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.6.1原子半徑和離子半徑

●

原子半徑或離子半徑的概念

根據(jù)波動力學(xué)的觀點，原子或離子圍繞核運動的電子在空間形成一個電磁場，其作用范圍可視為球形。這個球形的大小可視為原子或離子的體積，球的半徑即為原子半徑或離子半徑。

●

原子或離子有效半徑的概念

離子或原子在晶體結(jié)構(gòu)中處于相接觸時的半徑。在這種狀態(tài)下，離子或原子間的靜電吸引和排斥作用達(dá)到平衡。

●

有效半徑的確定

金屬晶體

—兩個相鄰原子中心距的一半。

離子晶體—一對相鄰接觸的陰、陽離子的中心距為離子半

徑之和。

共價晶體

—兩個相鄰鍵合離子的中心距為兩離子的共價半

徑之和。

第70頁，課件共78頁，創(chuàng)作于2023年2月

原子或離子半徑是晶體學(xué)中的重要參數(shù)

●

原子或離子半徑大小對結(jié)構(gòu)中質(zhì)點排列方式的影響很大。

●

Shannon

于1976年給出了各種元素與氧或氟結(jié)合時，在不

同價態(tài)、不同配位數(shù)下的有效離子半徑值