三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

PAGEPAGE10銳角三角函數(shù)1.如圖，在中，，，若，求、；若，求、。結(jié)論：直角三角形中，30°角的對邊與斜邊的比值2.中，，，則∠A對邊與斜邊的比值是一個定值嗎？如果是，是多少？結(jié)論：直角三角形中，45°角的對邊與斜邊的比值3.探究：任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？結(jié)論：這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比正弦函數(shù)概念：在中，，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作，即=．＝達標(biāo)練習(xí)1．在中，，若，，則＝，＝.2.如圖，已知點P的坐標(biāo)是（a，b），則等于（）A．B．C．D.3.已知△ABC中，，，，求，的長.1.如圖，在中，，當(dāng)銳角確定時，由第一課時知的對邊與斜邊的比都是一個固定值，此時，其他邊之間的比是否也隨之確定？為什么？2.當(dāng)銳角的大小確定時，的鄰邊與斜邊的比是，的對邊與鄰邊的比是3.余弦、正切函數(shù)概念：在中，，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作，.我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作，.達標(biāo)測試1.如圖，在中，，于點，已知，，那么_______.2.如圖，已知是⊙的直徑，點、在⊙上，且，．則；．3.在中，∠C＝90°，如果那么的值為（）A．eq\f(3,5)B．eq\f(5,4)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)4.如圖：是的邊上一點，且點的坐標(biāo)為（3，4），則＝_____________.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表（請你填出）30°45°60°三、達標(biāo)測試1.求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）-tan45°．2.求適合下列條件的銳角．(1) (2)(3) (4)1.把各邊的長度都擴大3倍得，那么銳角、的余弦值的關(guān)系為（）A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能確定2.在中，∠C=90°，cosA=，則tanB等于（）A．B．C．D．3.若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，則銳角α=____________，β=______________.4.計算－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________.5.計算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=________________.6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，sinC=，AC=10，求AB的長.銳角三角函數(shù)相關(guān)知識點總結(jié)：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA*（2）同角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：①sin2A+cos2A=1；②tanA=sinA/cosA；③tanA=1/tanB；④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）銳角三角函數(shù)隨角度的變化規(guī)律：銳角∠A的tan值和sin值隨著角度的增大而增大，cos值隨著角度的增大而減小.（4）三角函數(shù)平方表示方式：，一.選擇題1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=eq\f(3,5)，AB=15，則AC的長是（）．A．3B．6C．9D．122．下列各式中不正確的是（）．A．sin260°+cos260°=1B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．計算2sin30°-2cos60°+tan45°的結(jié)果是（）．A．2B．C．D．14．已知∠A為銳角，且cosA≤eq\f(1,2)，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=eq\f(1,2)，cosB=eq\f(eq\r(3),2)，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定6．如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，設(shè)∠BCD=a，則tana的值為（）．A．B．C．D．7．當(dāng)銳角a>60°時，cosa的值（）．A．小于eq\f(1,2)B．大于eq\f(1,2)C．大于eq\f(eq\r(3),2)D．大于18．在△ABC中，三邊之比為a：b：c=1：：2，則sinA+tanA等于（）．9．在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A=300，則sinA+sinB=()

A．1B． C． D．10．若（eq\r(3)tanA-3）2+│2cosB-eq\r(3)│=0，則△ABC（）．A．是直角三角形B．是等邊三角形C．是含有60°的任意三角形D．是頂角為鈍角的等腰三角形二.填空題．11．若00<α<900，sinα=cos600，則tanα=_________．12．在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，則∠B的度數(shù)是__________．13．若cosA>cos600，則銳角A的取值范圍是__________．14．用不等號連結(jié)右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．15．若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，則銳角α=____________，β=______________.．16．計算：sin450-cos600=____________．17．計算：sin450-tan600=____________．18．計算：(sin300+tan450)·cos600=______________．19．計算：tan2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos2300=____________．20．計算：已知：α是銳角，tanα=，則sinα=_____，cosα=_______．三．簡答題21．如圖，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三個三角函數(shù)值．22．如圖，角的頂點在直角坐標(biāo)系的原點，一邊在x軸上，另一邊經(jīng)過點P（2，2），求角的三個三角函數(shù)值．23．在Rt△ABC中，兩邊的長分別為3和4，求最小角的正弦值．1．在直角三角形中，除直角外共有幾個元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？知道五個元素中的幾個，就可以求其與元素？二、自主探究(1)邊角之間關(guān)系(2)三邊之間關(guān)系______________(勾股定理)(3)銳角之間關(guān)系______________（直角三角形中的兩銳角互余）以上三點正是解直角三角形的依據(jù)．三、達標(biāo)測試1.根據(jù)直角三角形的__________元素（至少有一個邊），求出________其它所有元素的過程，即解直角三角形．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A∠B=，.解這個直角三角形.3.在△ABC中，∠C為直角，AC=6，的平分線AD=4，解此直角三角形。4.Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．5.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．6.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則cosA的值是________．邊角之間的關(guān)系：自主探究1、解題步驟（1）審題，根據(jù)題中的術(shù)語、名詞、題意畫出幾何圖形；（2）將實際問題的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，若無直角三角形可適當(dāng)添加輔助線；（3）解直角三角形求出相應(yīng)的量.2、仰角、俯角當(dāng)我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．三、達標(biāo)測試1、為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們現(xiàn)在常選擇以自行車作為代步工具，如圖1所示是一輛自行車的實物圖．車架檔AC與CD的長分別為45cm，60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm，點A，C，E在同一條直線上，且∠CAB=75°，如圖2

（1）求車架檔AD的長；

（2）求車座點E到車架檔AB的距離．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）2、已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)．解直角三角形1、求下列各式的值和的度數(shù)．(1)(2)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(3) (4)2、計算：3、在中，若，則∠C=_______度4、在中，∠C=90°，∠A=30°，，解這個直角三角形。5、在中，∠C=90°，，，求：（1）c的大小；（2）∠A、∠B的大小。6、在中，CD是斜邊上的高，若AC=8，cosB=0.6，求的面積。7、如圖是小朋友玩的“滾鐵環(huán)”游戲的示意圖，⊙O向前滾動時，鐵棒DE保持與OE垂直?！袿與地面接觸點為A，若⊙O的半徑為25cm，，(1)求點E離地面AC的距離BE的長；(2)設(shè)人站立點C與點A的距離AC=53cm，DC⊥AC，求鐵棒DE的長。AAB0ECD8、在中，∠C=90°，根據(jù)下列條件解直角三角形：（1），；（2），∠A=60°；（3），∠A=45°；（4），。9、在中，∠C=90°，∠A=60°，，解這個直角三角形。關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，這個三角形的形狀、大小就可以確定下來．解直角三角形的基本類型可分為已知兩條邊(兩條_________或斜邊和_________)及已知一邊和一個銳角(_________和一個銳角或_________和一個銳角)在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如圖所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，1、邊與角之間的關(guān)系：_____________；_____； ______．2、射影定理在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．3、直角三角形的主要線段(如圖所示)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_________，斜邊的中點是_________．若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的內(nèi)切圓半徑，則r＝_________＝_________．1、坡度與坡角：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用表示，常寫成的形式如，把坡面與水平面的夾角叫做坡角．2、方位角與方向角：方位角定義:從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起,順時針方向到直線的水平角稱為該直線的方位角．方位角的取值范圍為0°～360°．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）××度.1.結(jié)合圖形思考，坡度與坡角之間具有什么關(guān)系？2.東南方向是指南偏東度；西北方向是指；東北方向是指；西南方向是指；一、選擇題1.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=（）A、B、C、D、2.如圖1，某飛機于空中A處探測到地平面目標(biāo)B，此時從飛機上看目標(biāo)B的俯角α=30°，飛行高度AC=1200米，則飛機到目標(biāo)B的距離AB為（）A、1200mB、2400mC、400mD、1200m3.在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（）ABCDOEαABC（ABCDOEαABC（α第2題圖第3題圖第8題圖4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，則sinA=（）A、B、C、D、5.在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=，cosB=，則△ABC三個角的大小關(guān)系是（）A、∠C＞∠A＞∠BB、∠B＞∠C＞∠AC、∠A＞∠B＞∠CD、∠C＞∠B＞∠A6.若關(guān)于x的方程x2-x+cos=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α為（）A、30°B、45°C、60°D、0°7.已知∠A為銳角，且cosA≤，則（）A、0°≤A≤60°B、60°≤A＜90°C、0°＜A≤30°D、30°≤A≤90°8.如圖，在矩形ABCD中，CE⊥BD于點E，BE=2，DE=8，設(shè)∠ACE=α，則tanα的值（）A、B、C、D、2二、填空題9.直線y=kx-4與y軸相交所成的銳角的正切值為，則k的值為10.若某人沿坡度=3：4的斜坡前進10m，則他所在的位置比原來的的位置升高m11.正方形ABCD的邊長為1，如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在BC的延長線的D′處，那么tan∠BAD′=12.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，已知AB=4，那么AD=．13.如圖，一艘輪船向正東方向航行，上午9時測得它在燈塔P的南偏西30°方向，距離燈塔120海里的M處，上午11時到達這座燈塔的正南方向的N處，則這艘輪船在這段時間內(nèi)航行的平均速度是海里/小時．14.已知：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，則此菱形的周長為．三、簡答題15.在△ABC中，∠C為直角，不查表解下列問題：（1）已知a=5，∠B=600．求b；（2）已知a=5，b=5，求∠A．16.如圖，在半徑為R的⊙O中，∠AOB＝2a，OC⊥AB于C點．(1)求弦AB的長及弦心距；(2)求⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長an及邊心距rn．17.同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)18.已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里)1.在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D測得塔頂A和塔基B的仰角分別為60°和45°，求塔高．2.在寬為30米的街道東西兩旁各有一樓房，從東樓底望西樓頂仰角為45°，從西樓頂望東樓頂，俯角為30°，求西樓高(精確到0.1米)．3.在溆浦縣街道拓寬工程中，要伐掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離B點6米遠(yuǎn)的D處，從C點測得樹的頂端A點的仰角為60°，樹的底部B點的俯角為30°.問：距離B點16米遠(yuǎn)的保護物是否在危險區(qū)內(nèi)？4.為緩解“停車難”的問題，縣國土局?jǐn)M建造地下停車庫，建筑設(shè)計師提供了該地下停車庫的設(shè)計示意圖，按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請你根據(jù)該圖計算CE．（精確到0.1m）（下列數(shù)據(jù)提供參考：20°＝0.3420，20°＝0.9397，20°＝0.3640）5.某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量太陽城摩天輪的高度．如圖，他們在C處測得摩天輪的最高點A的仰角為，再往摩天輪的方向前進50m至D處，測得最高點A的仰角為．則該興趣小組測得的摩天輪的高度AB約是多少米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）《銳角三角函數(shù)》檢測題一、選擇題。1、Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，則AB的長為()A．6 B． C． D．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA＝，則tanB=。A、B、C、D、3、鐵路路基的橫斷面是一個等腰梯形，若腰的坡度為2∶3，頂寬為3m，路基高為4m，則路基的下底寬應(yīng)為()A．15m B．12m C．9m D．7m、4、計算：的值為()A1BCD5、若某人沿傾斜角為的斜坡前進100m，則他上升的最大高度是()A． B．100sinm C． D．100cosm6、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB＝7，則BC的長為（）。A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°7、如圖，小穎利用有一個銳角是30°的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m，那么這棵樹高是（）。A、m；B、mC、mD、4m8、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD、BC相交于P點，那么的值為()A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．9、在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則tan的值是（）A．1B．2C．D．10、如圖,小陽發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD與地面成30o角，且此時測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度為 ()A．9米B．28米C．米D.米二、填空題11、在△ABC中，∠C=90°，若3AC=BC，則∠A的度數(shù)是，cosB=。12、已知tan＝，是銳角，則sin＝。13、如圖，在坡度為1：2的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是米。14、如圖，C島在A島的北偏東60°方向，在B島的北偏西45°方向，則從C島看A、B兩島