第一篇-數(shù)學(xué)建模方法論基礎(chǔ)-2-建立數(shù)學(xué)模型課件

第一篇數(shù)學(xué)建模方法論基礎(chǔ)第二講建立數(shù)學(xué)模型第一篇-數(shù)學(xué)建模方法論基礎(chǔ)-21建立數(shù)學(xué)模型1.

什么是數(shù)學(xué)模型2.研究數(shù)學(xué)模型的意義3.數(shù)學(xué)建模示例4.數(shù)學(xué)建模的方法和步驟5.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類6.數(shù)學(xué)建模的能力及其培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型1.什么是數(shù)學(xué)模型2（2）模型:模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的某一部分信息進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物.模型的特點(diǎn)集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,構(gòu)造模型具有目的性.1.什么是數(shù)學(xué)模型（1）原型：§人們?cè)谏鐣?huì)活動(dòng)和生產(chǎn)實(shí)踐中所關(guān)心和研究的實(shí)際對(duì)象稱為原型.在科技領(lǐng)域中常常用系統(tǒng)和過程等術(shù)語(yǔ).（2）模型:模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物3~物理模型~直觀模型~符號(hào)模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……我們常見的模型舉例：

模型的作用在于加深人們對(duì)原型的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而改造原型。

模型的分類可以按代替原形的不同方式來(lái)進(jìn)行：物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）

直觀模型、物理模型

思維模型、符號(hào)模型數(shù)學(xué)模型~物理模型~直觀模型~符號(hào)模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模4（3）數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)

數(shù)學(xué)模型：萬(wàn)有引力定律

牛頓第二定律兩個(gè)傳統(tǒng)、經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（3）數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和5

實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答建立數(shù)學(xué)模型的主要過程求解(演繹)表述(歸納)解釋檢驗(yàn)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模：

建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)——經(jīng)過四個(gè)階段，完成一個(gè)循環(huán)）

62.研究數(shù)學(xué)模型的意義

§

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的橋梁。一般地說，當(dāng)實(shí)際問題需要我們對(duì)所研究的實(shí)際對(duì)象提供分析、預(yù)報(bào)、決策、控制等方面的定量結(jié)果時(shí)，往往都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用,而這種應(yīng)用就是靠建立數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)模型作用：

解釋——說明事物發(fā)生甚至發(fā)展變化的原因判斷——判斷原來(lái)知識(shí)、認(rèn)識(shí)的可靠性；

預(yù)見——預(yù)測(cè)未來(lái)客觀事物的發(fā)，為人們的行為提供指導(dǎo)。2.研究數(shù)學(xué)模型的意義§數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)解7電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一，越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。數(shù)學(xué)模型在其它科學(xué)中的應(yīng)用；傳統(tǒng)領(lǐng)域：物理、力學(xué)新興領(lǐng)域：化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)、軍事等。下面從幾個(gè)側(cè)面進(jìn)一步說明數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域8

數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)

：

在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的數(shù)學(xué)模型：產(chǎn)品的設(shè)計(jì)與制造系統(tǒng)的控制與優(yōu)化質(zhì)量控制資源環(huán)境預(yù)報(bào)與決策其它：氣象預(yù)報(bào)等在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)。高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)：在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的數(shù)學(xué)模型：產(chǎn)品的93.數(shù)學(xué)建模示例示例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析：模型假設(shè)：通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地。四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地?！?.數(shù)學(xué)建模示例示例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問10建立模型：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性建立模型：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅11用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題：已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),12模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線13

三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是乘船渡河的方案由商人決定。示例2商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲)：商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容143名商人3名隨從問題分析：這是一個(gè)多步?jīng)Q策過程決策：

每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的商人及隨從數(shù).要求：

在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)3名商人問題分析：這是一個(gè)多步?jīng)Q策過程決策：要15建立模型xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0、1、2、3;x=y=1、2}S——允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}——允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k——狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題建立模型xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸16模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)（留作練習(xí)）

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)（留作練習(xí)17評(píng)注：規(guī)格化方法,可以用計(jì)算機(jī)求解，易于推廣。適當(dāng)?shù)脑O(shè)置狀態(tài)和決策，并確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，是有效解決很廣泛的一類問題的建模方法?？紤]4名商人各帶一隨從的情況。模型解釋：……思考練習(xí)題：評(píng)注：規(guī)格化方法,可以用計(jì)算機(jī)求解，易于推廣。適當(dāng)?shù)脑O(shè)18背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0問題：研究人口變化規(guī)律，較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng),預(yù)測(cè)人口結(jié)構(gòu)的變化,制定合理的控制策略?示例3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)背景年1625183019問題分析：

人口數(shù)量雖然是離散的，但當(dāng)考慮一個(gè)國(guó)家或一個(gè)地區(qū)的數(shù)量很大時(shí)，由于突然增加或減少的數(shù)量只是少數(shù)的個(gè)體，與全體數(shù)量相比這種變化是微小的。所以，我們可以近似地作出如下假設(shè)：基本假設(shè)：

（1）、人群數(shù)量是隨時(shí)間連續(xù)變化；(2）、出生率和死亡率用對(duì)總數(shù)而言的平均出生率和死亡率來(lái)代替；（3）、不考慮其它隨機(jī)因素對(duì)人口數(shù)量影響。這樣就可以建立確定性連續(xù)模型。問題分析：20常用的計(jì)算公式——簡(jiǎn)單算術(shù)方法設(shè)今年人口

，年增長(zhǎng)率為r，則k年后人口為顯然，這個(gè)公式的基本前提是年增長(zhǎng)率r保持不變，這個(gè)條件在什么情況下才成立？如果不成立又該怎么辦？歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答了這個(gè)問題。下面介紹兩個(gè)著名的人口模型。常用的計(jì)算公式——簡(jiǎn)單算術(shù)方法設(shè)今年人口，年增長(zhǎng)率為211、指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯模型(1798)x(t)~時(shí)刻t的人口,則基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比.隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)求解得當(dāng)時(shí)，將t以年為單位離散化得即令得

（ThomasRobertMulthus1766—1834）1、指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯模型(1798)x(t)~時(shí)22指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)表明:人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)算術(shù)方法給出的預(yù)報(bào)公式不過是指數(shù)增長(zhǎng)模型離散形式的近似表示.指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)23下面表格列出了美國(guó)19世紀(jì)、20世紀(jì)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與這個(gè)模型的比較結(jié)果。美國(guó)的實(shí)際人口與按數(shù)學(xué)模型計(jì)算的人口比較年實(shí)際人口（×106）指數(shù)增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型（×106）誤差（%）（百萬(wàn)）誤差（%）1790180018101820183018401850186018701880189019001910192019301940195019601970198019903.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.49.713.017.423.030.238.149.962.476.591.6107.0122.0135.9148.2158.8167.61.00.81.8-0.9-3.8-1.3-0.6-0.8-0.7-0.40.5-1.03.2-1.7-11.4-17.81.44.26.29.410.310.823.830.542.461.282.1115.37.310.013.718.725.635.047.865.589.6122.5167.6229.3下面表格列出了美國(guó)19世紀(jì)、20世紀(jì)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與這個(gè)模型的24

綜上所述，可以看出為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)。為此有下面的模型：綜上所述，可以看出為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期252、阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)2、阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后26dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2建立模型初始條件為

模型求解dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x27參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r、xm.

可以利用人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合出人口增長(zhǎng)率的線性函數(shù)后，用最小二乘法求出。例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2557,xm=392.1模型檢驗(yàn)可以擬合算出參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口可以28用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型的用途很廣，在生物數(shù)學(xué)中、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中(如耐用消費(fèi)品的售量)都有廣泛的應(yīng)用r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4291°隨科技進(jìn)步，社會(huì)發(fā)展，人們認(rèn)識(shí)能力的改變對(duì)模型中參數(shù)及均會(huì)產(chǎn)生重要影響。2°用該模型作人口預(yù)測(cè)，對(duì)不同社會(huì)發(fā)展時(shí)期，參數(shù)及也應(yīng)有所調(diào)整，一般來(lái)說不易準(zhǔn)確得到，這也是該模型的缺點(diǎn)之一。3°該模型在1837年之后的許多領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。用在人口預(yù)測(cè)中由于僅考慮人口總數(shù)和總的增長(zhǎng)率，不涉及年齡結(jié)構(gòu)，也是上面兩種模型的共同缺陷。實(shí)際上，在人口預(yù)測(cè)中人口按年齡分布狀況是十分重要的。因?yàn)椴煌挲g的人的生育率和死亡率有著很大差別。若考慮人口按年齡分布的模型，除了時(shí)間變量外，年齡是另一個(gè)自變量，可建立用偏微分方程描述的模型——人口發(fā)展方程，其特點(diǎn)便于理論分析，為預(yù)測(cè)人口結(jié)構(gòu)變化，制定合理控制策略提供依據(jù)。評(píng)注：

1°隨科技進(jìn)步，社會(huì)發(fā)展，人們認(rèn)識(shí)能力的改變對(duì)30

復(fù)利計(jì)算問題：某顧客向銀行存入本金元，年后他在銀行的存款額是本金與利息之和，其中銀行規(guī)定年利率。1）：若銀行按年結(jié)算，該顧客年后的最終存款額是多少？2）若銀行連續(xù)不斷地向顧客付息，即連續(xù)復(fù)利方法存款，試計(jì)算這種情況下該顧客年后的最終存款額是多少？3）求按連續(xù)復(fù)利結(jié)算方式，年后的存款額滿足的微分方程，并對(duì)此微分方程作出實(shí)際解釋。3、人口發(fā)展方程——偏微分方程模型（略）參見《數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論》

應(yīng)用：制定我國(guó)人口控制政策和措施。練習(xí)思考題3、人口發(fā)展方程31數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析法。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)

4數(shù)學(xué)建模的方法與步驟§仿真方法

在計(jì)算機(jī)上模仿實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)行過程數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)32數(shù)學(xué)建模的一般步驟了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’模型準(zhǔn)備(形成問題)：模型假設(shè)：針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)注意:在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中數(shù)學(xué)建模的一般步驟了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握33用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具模型建立：模型的檢驗(yàn)、分析與評(píng)價(jià)：如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型的求解：用各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)建立的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推導(dǎo)和分析,得到定量或定性的關(guān)系.用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的34模型的改進(jìn)：現(xiàn)實(shí)對(duì)象形成問題模型應(yīng)用模型建立分析與評(píng)價(jià)模型求解模型檢驗(yàn)、模型假設(shè)

模型應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型的主要步驟模型的改進(jìn)：現(xiàn)實(shí)對(duì)象形成問題模型應(yīng)用模型建立分析與評(píng)價(jià)模型求35數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型36

5.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

?數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)§5.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)37數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域：人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)