北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)(第1章-三角形的證明)全章教學(xué)課件

北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用第一章三角形的證明1.1等腰三角形第1課時(shí)全等三角形與等腰三角形的性質(zhì)第一章三角形的證明1.1等腰三角形第1課時(shí)全1課堂講解全等三角形等腰三角形的邊、角性質(zhì)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解全等三角形2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升活動(dòng)：實(shí)踐觀察，認(rèn)識(shí)三角形DACB得到這個(gè)△ABC中AB和AC有什么關(guān)系?活動(dòng)：實(shí)踐觀察，認(rèn)識(shí)三角形DACB得到這個(gè)△ABC中AB和1知識(shí)點(diǎn)全等三角形問題全等三角形的定義是什么？知1－導(dǎo)1知識(shí)點(diǎn)全等三角形問題全等三角形的定義是什么？知1－導(dǎo)1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）.（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）.（4）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）知1－講1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.知知1－講

利用全等三角形的判定方法，當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，兩個(gè)三角形符合“邊角邊”，△ADF≌△CBE．導(dǎo)引：例1如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BEB知1－講利用全等三角形的判定方法，當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，導(dǎo)引：例總結(jié)知1－講此題主要考查了全等三角形的判定方法，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．總結(jié)知1－講此題主要考查了全等三角形的知1－練

【中考·懷化】如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_________________________________________，使得△ABC≌△DEC.1DE＝AB或∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE知1－練【中考·懷化】如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你知1－練

【中考·黔西南州】如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．BF＝EC2C知1－練【中考·黔西南州】如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線知1－練

【中考·鄂州】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°，若CD＝4，則△ABE的面積為(

)A.B.C.D.3D知1－練【中考·鄂州】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的邊、角性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等腰三角形的相關(guān)概念回顧：

腰腰頂角底角底角底邊2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的邊、角性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等腰三角形的相關(guān)概知2－導(dǎo)2．議一議(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？(2)請你選擇等腰三角形的一條性質(zhì)進(jìn)行證明，并與同伴交流.

知2－導(dǎo)2．議一議歸納知2－導(dǎo)

定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡述為：等邊對(duì)等角.歸納知2－導(dǎo)定理等腰三角形的兩底角相等.知2－講例2已知：如圖1-1，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.分析：我們曾經(jīng)利用折疊的方法說明了這兩個(gè)底角相等(如圖1-2).實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等三角形.這啟發(fā)我們，可以作一條輔助線，把原三角形分成兩個(gè)全等的三角形，從而證明這兩個(gè)底角相等.

圖1-2知2－講例2已知：如圖1-1，在△ABC中，AB＝AC.知2－講證明：如圖1-3，取BC的中點(diǎn)D，連接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

知2－講證明：如圖1-3，取BC的中點(diǎn)D，連接AD.知2－講

性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等

(簡寫成“等邊對(duì)等角”)．知2－講性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等知2－講例3(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一個(gè)角為70°，求頂角的度數(shù)；(3)若等腰三角形的一個(gè)角為90°，求頂角的度數(shù)．導(dǎo)引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)求解；若給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩種情況求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.

知2－講例3(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝5知2－講(2)由題意可知，70°的角可以為頂角或底角，當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，頂角為180°－70°×2＝40°.因此頂角為40°或70°.(3)若頂角為90°，底角為若底角為

90°，則三個(gè)內(nèi)角的和大于180°，不符合三角形內(nèi)角和定理．因此頂角為90°.

知2－講(2)由題意可知，70°的角可以為頂角或底角，當(dāng)?shù)捉强偨Y(jié)知2－講

1．在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是否確定為頂角或底角．若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理．2．若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角．總結(jié)知2－講1．在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是1在△ABC中，AB＝AC.(1)若∠A＝50°，則∠C等于多少度？知2－練

(1)在△ABC中，因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.

因?yàn)椤螦＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°－∠A＝140°.

所以∠C＝70°.解：1在△ABC中，AB＝AC.知2－練(1)在△ABC中，(2)若∠B＝72°，則∠A等于多少度?知2－練

(2)因?yàn)椤螧＝72°，所以由(1)可知：∠A＝180°－2∠B

＝180°－2×72°

＝36°.解：(2)若∠B＝72°，則∠A等于多少度?知2－練(2)因?yàn)?如圖，在△ABD中，AC⊥BD，垂足為C，AC＝BC＝CD.(1)求證：△ABD是等腰三角形；知2－練

(1)在△ACB和△ACD中，所以△ACB≌△ACD(SAS)．所以AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．所以△ABD是等腰三角形．證明：A2如圖，在△ABD中，AC⊥BD，垂足為C，AC＝BC＝C(2)求∠BAD的度數(shù).知2－練

因?yàn)锳C＝BC，所以∠B＝∠BAC.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠BAC＝45°.同理∠DAC＝45°，所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC

＝45°＋45°＝90°.解：(2)求∠BAD的度數(shù).知2－練因?yàn)锳C＝BC，解：3知2－練

【中考·寧德】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊BC和AC上，若AD＝AE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．∠ADB＝∠ACB＋∠CADB．∠ADE＝∠AEDC．∠CDE＝∠BADD．∠AED＝2∠ECDD3知2－練【中考·寧德】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)4知2－練

【中考·臺(tái)州】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABEC4知2－練【中考·臺(tái)州】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝知3－導(dǎo)3知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)想一想在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論?知3－導(dǎo)3知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)想一想知2－導(dǎo)歸納推論等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）

知2－導(dǎo)歸納推論等腰三角形的頂角平分線、底邊上

知3－講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例4(1)解：知3－講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中

知3－講(2)求證：EF＝ED.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.知3－講(2)求證：EF＝ED.1知3－練

【中考·蘇州】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C1知3－練【中考·蘇州】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D2知3－練

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，BE＝CF，則下列說法正確的有(

)①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)D2知3－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，3知3－練

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在BC上，連接AD，AE，若只添加一個(gè)條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為(

)A．BD＝CE

B．AD＝AEC．DA＝DE

D．BE＝CDC3知3－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在BC上1．知識(shí)方面：（1）等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.（2）等腰三角形性質(zhì)的推論：三線合一，即等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.2．思想方法：轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)是證明角相等、邊相等的重要方法.1知識(shí)小結(jié)1．知識(shí)方面：1知識(shí)小結(jié)已知等腰三角形的一個(gè)外角等于110°，這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為(

)A．40°

B．55°C．70°

D．55°或70°易錯(cuò)點(diǎn)：求等腰三角形的角時(shí)易出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤2易錯(cuò)小結(jié)D已知等腰三角形的一個(gè)外角等于110°，這個(gè)等腰三易錯(cuò)點(diǎn)：求等北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用第一章三角形的證明1.1等腰三角形第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)第一章三角形的證明1.1等腰三角形第2課時(shí)等邊三1課堂講解等腰三角形中相等的線段等邊三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解等腰三角形中相等的線段2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作等腰三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧1．等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.2．等腰三角形性質(zhì)的推論：三線合一，即等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.等腰三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧1．等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形中相等的線段在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？能證明你的結(jié)論嗎？知1－導(dǎo)

1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形中相等的線段在等腰三角形中知1－講例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.

知1－講例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.知1－講

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等邊對(duì)等角）.∵BD,CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∠ACB＝∠ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.證明：知1－講∵AB＝AC，證明：知1－講

例2求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．導(dǎo)引：先根據(jù)命題分析出題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知和求證，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的知識(shí)證明．知1－講例2求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．導(dǎo)引知1－講

解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分別是AB和AC上的中線，求證：CE＝BD.∵AB＝AC，CE和BD分別是AB和AC上的中線，∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.∴CE＝BD.證明：知1－講解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分別在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列說法中不正確的是(

)A．BC邊上的高線和中線互相重合B．AB和AC邊上的中線相等C．頂點(diǎn)B處的角平分線和頂點(diǎn)C處的角平分線相等D．AB，BC邊上的高線相等知1－練

D在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列說法中不正確的是(知1－練

如圖，在△ABC中，AB＝AC，下列條件中，不能使BD＝CE的是(

)A．BD，CE為AC，AB邊上的高B．BD，CE都為△ABC的角平分線C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACBD．∠ABD＝∠BCED知1－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，下列條件中，不能使2知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等邊三角形的定義是什么？2．想一想等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢?

2知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等邊三角形的定義是什么？歸納知2－導(dǎo)

定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.歸納知2－導(dǎo)定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等知2－講已知：如圖,在△ABC中，AB=AC=BC.求證：∠A=∠B=∠C=60°.∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).又∵AC=BC，∴∠A=∠B(等邊對(duì)等角).∴∠A=∠B=∠C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∴∠A=∠B=∠C=60°.

證明：知2－講已知：如圖,在△ABC中，AB=AC=BC.知2－講

ABC等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(也叫正三角形).等邊三角形是特殊的等腰三角形.知2－講ABC等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做知2－講有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.滿足什么條件的三角形是等邊三角形?滿足什么條件的三角形是等腰三角形?三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.方法一：從邊看方法二：從角看方法一：方法二：知2－講有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義）有兩個(gè)角相等的知2－講如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，計(jì)算△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

例3導(dǎo)引：要計(jì)算出△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，有兩個(gè)途徑，即證△DEF為等邊三角形或直接求各個(gè)角的度數(shù)，由垂直的定義及等邊三角形的性質(zhì)，顯然直接求各個(gè)角的度數(shù)較易．知2－講如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是三邊知2－講因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.因?yàn)镈E⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.

解：知2－講因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，解：總結(jié)知2－講

利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)，通過利用等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°的性質(zhì)，找出要求角與已知角間的關(guān)系來進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；有時(shí)還要結(jié)合全等圖形等知識(shí)來解決．總結(jié)知2－講利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)，通過利知2－講如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.

例4導(dǎo)引：要證AE＝CD，可通過證AE，CD所在的兩個(gè)三角形全等來實(shí)現(xiàn)，即證△ABE≌△CBD，條件可從等邊三角形中去尋找．知2－講如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形．例4知2－講∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE與△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.

證明：知2－講∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，證明：總結(jié)知2－講運(yùn)用等邊三角形性質(zhì)證明線段相等的方法：把要證的兩條線段放到一個(gè)三角形中證其為等腰或等邊三角形或者放到兩個(gè)三角形中，利用全等三角形的性質(zhì)證明；注意等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等、三條邊相等、三線合一是隱含的已知條件．

總結(jié)知2－講運(yùn)用等邊三角形性質(zhì)證明線段相等的方法：1求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù).知2－練

解：如圖，在等邊三角形ABC中，CE，BF分別是AB，AC邊上的中線，且CE與BF相交于點(diǎn)O，則CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，∴∠ABF＝30°.在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，即等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù)為60°.1求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù).知2－練解：如圖2如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數(shù).知2－練

解：由題意易知，BD＝DE＝AD，∴∠DBA＝∠BAD.又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE

＝30°＋60°＋30°＝120°.2如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等3下面關(guān)于等邊三角形的說法正確的有(

)①三個(gè)角都相等；②三條邊都相等；③是一種特殊的等腰三角形；④是一種特殊的直角三角形．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知2－練

C3下面關(guān)于等邊三角形的說法正確的有()知2－練C4已知AD是等邊三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的長是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm知2－練

B4已知AD是等邊三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC5如圖，在等邊三角形ABC中，BD，CE是兩條中線，則∠1的度數(shù)為(

)A．90°B．30°C．120°D．150°知2－練

C5如圖，在等邊三角形ABC中，BD，CE是兩條中線，則∠1的6【中考·南充】如圖，等邊三角形OAB的邊長為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A．(1，1)

B．(，1)

C．(，)

D．(1，)知2－練

D6【中考·南充】如圖，等邊三角形OAB的邊長為2，則點(diǎn)B的坐如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三角形，下列結(jié)論：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A．3B．2C．1D．0知2－練

A7如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三如圖，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾角為20°，則∠α的度數(shù)為(

)A．60°B．45°C．40°D．30°知2－練

C8如圖，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直如圖，在等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是(

)A．45°B．55°C．60°D．75°知2－練

C9如圖，在等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P1．等腰三角形的特殊性質(zhì)：(1)等腰三角形兩底角的平分線相等；(2)等腰三角形兩腰上的高相等；(3)等腰三角形兩腰上的中線相等；1知識(shí)小結(jié)1．等腰三角形的特殊性質(zhì)：1知識(shí)小結(jié)

2．等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．2．等邊三角形的性質(zhì)：已知△ABC是等邊三角形，設(shè)AB，BC，AC邊上的中線交于點(diǎn)G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，AB，BC，AC邊上的高交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①點(diǎn)G與點(diǎn)I一定重合；②點(diǎn)G與點(diǎn)H一定重合；③點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合；④點(diǎn)G，點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合．其中正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：忽視等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系而致錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)D已知△ABC是等邊三角形，設(shè)AB，BC，AC邊上的中線交于點(diǎn)因?yàn)榈冗吶切蔚娜龡l邊相等，所以等邊三角形每條邊上的中線、高與該邊對(duì)角的平分線互相重合，所以點(diǎn)G，點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合．因?yàn)榈冗吶切蔚娜龡l邊相等，所以等邊三角形北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用第一章三角形的證明1.1等腰三角形第3課時(shí)等腰三角形的判定第一章三角形的證明1.1等腰三角形第3課時(shí)等腰三1課堂講解等腰三角形的判定反證法2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解等腰三角形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.③等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱為“三線合一”).②等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對(duì)等角”).2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC既是性質(zhì)又是判定1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1－導(dǎo)思考我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等.反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1－導(dǎo)思考如圖，在△ABC中，∠B=∠C.作△ABC的角平分線AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，

AD=AD,∴△BAD≌△CAD(AAS).∴AB=AC.知1－導(dǎo)如圖，在△ABC中，∠B=∠C.知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)歸納由上面推證，我們可以得到等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等.那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”).（來自教材 ）知1－導(dǎo)歸納由上面推證，我們可以得知1－講1．判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．(簡稱等角對(duì)等邊)應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點(diǎn)：都是在一個(gè)三角形中；區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角．即：．

知1－講1．判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角知1－講

例1已知：如圖，AB＝DC，BD＝CA，BD與CA

相交于點(diǎn)E.求證：△AED是等腰三角形.知1－講例1已知：如圖，AB＝DC，BD＝CA，B知1－講

∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB＝DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AE＝DE(等角對(duì)等邊).∴△AED是等腰三角形.證明：知1－講∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，證明：知1－講

如圖-，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R，若AQ＝AR，則△ABC是等腰三角形嗎？請說明理由．導(dǎo)引：要說明△ABC為等腰三角形，由圖可知即要說明∠B＝∠C，而∠B，∠C分別在兩個(gè)直角三角形中，因此只要說明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．例2知1－講如圖-，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作知1－講

解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵PR是BC的垂線，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.知1－講解：△ABC是等腰三角形．理由如下：總結(jié)知1－講

本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要證的兩角相等利用等角的余角相等轉(zhuǎn)化為證其余角相等；對(duì)頂角這一隱含條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用．總結(jié)知1－講本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要證的兩角相等利用1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平分線，交AB于點(diǎn)E，請判斷△BDE的形狀，并說明理由.知1－練

解：△BDE為等腰三角形．理由如下：因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.因?yàn)镈E∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.故△BDE為等腰三角形．1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D2在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－練

B2在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三3如圖，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，則圖中的等腰三角形有(

)A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)知1－練

D3如圖，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，則圖4【中考·甘孜州】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，則△AED的周長為(

)A．2B．3C．4D．5知1－練

C4【中考·甘孜州】如圖，在△ABC中，BD平分知1－練C5如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，它們相交于點(diǎn)O，則圖中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACEC．△OBC

D．△OCD知1－練

C5如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高，CE是6在下列三角形中，若AB＝AC，則不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是(

)知1－練

B6在下列三角形中，若AB＝AC，則不能被一條直線分成兩個(gè)小等7【中考·武漢】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是(

)A．5B．6C．7D．8知1－練

B7【中考·武漢】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(42知識(shí)點(diǎn)反證法知2－導(dǎo)想一想小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？

2知識(shí)點(diǎn)反證法知2－導(dǎo)想一想知2－導(dǎo)

小明是這樣想的：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB＝AC那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C＝∠B，這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC．你能理解他的推理過程嗎？知2－導(dǎo)小明是這樣想的：歸納知2－導(dǎo)

小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.歸納知2－導(dǎo)小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立知2－講1．定義在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法．2．利用反證法證明命題的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．知2－講1．定義知2－講3．適宜用反證法證明的命題反證法主要用于直接證明比較困難的命題，例如下面幾種常見類型的命題就適宜用反證法：(1)結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，如鈍角三角形中不能有兩個(gè)鈍角；(2)唯一性命題，如兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)；(3)命題的結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題，如一個(gè)凸多邊形中至多有3個(gè)銳角．知2－講3．適宜用反證法證明的命題知2－講用反證法證明命題“等腰三角形的兩底角是銳角”時(shí)，第一步為_____________________________________．導(dǎo)引：反證法的第一步是假設(shè)“命題的結(jié)論不成立”，就是“命題結(jié)論的反面是正確的”，理解了命題的結(jié)論和命題結(jié)論的反面，問題即可解決．例3假設(shè)等腰三角形的兩底角是直角或鈍角

知2－講用反證法證明命題“等腰三角形的兩底角是銳角”時(shí)，第一知2－講用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個(gè)角是直角.

例4證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.知2－講用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.例41已知五個(gè)正數(shù)的和為1，用反證法證明：這五個(gè)正數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于.知2－練

解：假設(shè)這五個(gè)數(shù)均小于，不妨設(shè)則有即這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.即已知五個(gè)正數(shù)的和等于1，則這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于1已知五個(gè)正數(shù)的和為1，用反證法證明：這五個(gè)正數(shù)中至少有一個(gè)2用反證法證明“一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(

)A．一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角B．一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角C．一個(gè)三角形中至少有一個(gè)鈍角D．一個(gè)三角形中沒有鈍角知2－練

A2用反證法證明“一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(1．等腰三角形的判定是把角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，但前提是在同一個(gè)三角形內(nèi)．2．利用反證法解題的一般步驟：(1)假設(shè)；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出與已知、定理、公理等相矛盾的結(jié)果；(3)結(jié)論：肯定命題結(jié)論正確.1知識(shí)小結(jié)1．等腰三角形的判定是把角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，但前1知識(shí)小結(jié)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，求證：∠DAB是一個(gè)銳角．易錯(cuò)點(diǎn)：反證法中易假設(shè)結(jié)論的反面不全面而致錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，假設(shè)∠DAB是一個(gè)直角或鈍角，則∠DAB≥90°，∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝∠DAB≥90°.則∠BAC＝∠DAB＋∠DAC≥90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC>180°.這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，∴∠DAB是一個(gè)直角或鈍角的假設(shè)不成立．∴∠DAB是一個(gè)銳角．證明：假設(shè)∠DAB是一個(gè)直角或鈍角，則∠DAB≥90°，證明：北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用第一章三角形的證明1.1等腰三角形第4課時(shí)等邊三角形的判定第一章三角形的證明1.1等腰三角形第4課時(shí)等邊三1課堂講解等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解等邊三角形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升等邊三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧等邊三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧歸納

等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于

60°；(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．歸納等邊三角形的性質(zhì)：1知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.知1－導(dǎo)

1知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形總結(jié)知1－導(dǎo)

定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.總結(jié)知1－導(dǎo)定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.知1－講

1．判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．2．應(yīng)用注意事項(xiàng)：判定定理1在任意三角形中都適用，判定定理2適用的前提是等腰三角形；因此要結(jié)合題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?－講1．判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；知1－講如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形．

例1導(dǎo)引：從題中條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求∠OEF＝∠OFE＝60°，從而證明△OEF是等邊三角形．知1－講如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平知1－講

∵E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等邊三角形．證明：知1－講∵E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)，證總結(jié)知1－講

證明一個(gè)三角形是等邊三角形的方法：(1)若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形定義來判定；(2)若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來判定；(3)若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定．總結(jié)知1－講證明一個(gè)三角形是等邊三角形的方法：等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(

)A．有一個(gè)內(nèi)角是60°B．有一個(gè)外角是120°C．有兩個(gè)角相等D．腰與底邊相等知1－練

C等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是()2知1－練

如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點(diǎn)，則圖中共有等邊三角形(

)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)D2知1－練如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點(diǎn)知1－練

3下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④D知1－練3下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形知1－練

4

(中考?河北)如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．3個(gè)以上D知1－練4(中考?河北)如圖，∠AOB＝120°，OP平知1－練

5如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長為(

)A．34cmB．32cmC．30cmD．28cmC知1－練5如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木2知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)做一做用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由.

2知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)做一做歸納知2－導(dǎo)

定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.歸納知2－導(dǎo)定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳知2－導(dǎo)已知：如圖(1)，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°求證：BC＝AB.

知2－導(dǎo)已知：如圖(1)，△ABC是直角三角形，∠C＝知2－導(dǎo)

證明：如圖(2)，延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴BC＝BD＝AB.知2－導(dǎo)證明：如圖(2)，延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)精析：(1)適用條件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的關(guān)系——30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系．

知2－講性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，知2－講知2－講求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝AB

例2知2－講求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰知2－講在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴CD=AB.證明：

知2－講在△ABC中，證明：知2－講

例3〈溫州〉如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長．導(dǎo)引：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．知2－講例3〈溫州〉如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E知2－講(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.

解：知2－講(1)∵△ABC是等邊三角形，解：總結(jié)知2－講

利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要有兩個(gè)要素：一是含30°的角；二是直角三角形．根據(jù)這兩個(gè)要素可建立直角三角形中斜邊與直角邊之間的關(guān)系．總結(jié)知2－講利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要1知2－練

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的長.因?yàn)镃D是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：1知2－練如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝(2016?百色)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(

)A．6B．C．D．12知2－練

A(2016?百色)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，知2－練知2－練

3如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB知2－練3如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30知2－練

如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，則AD的長為(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4知2－練如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥知2－練

如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(

)A．3mB．4mC．5mD．6B5知2－練如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中A知2－練

【中考·河池】已知等邊三角形ABC的邊長為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是(

)A．3B．4C．8D．9C6知2－練【中考·河池】已知等邊三角形ABC的邊長為12，D等邊三角形的判定方法：定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．(2)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．1知識(shí)小結(jié)等邊三角形的判定方法：1知識(shí)小結(jié)已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則以P1，O，P2三點(diǎn)為頂點(diǎn)所確定的三角形是(

)A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法不理解導(dǎo)致出錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)D已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)如圖，連接PO.∵點(diǎn)P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.∴△OP1P2為等邊三角形．如圖，連接PO.本題易錯(cuò)的原因：(1)不會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不會(huì)用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法．本題易錯(cuò)的原因：(1)不會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明OP1＝OP2北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用1.1等腰三角形第5課時(shí)三角形中的五種常見證明類型第一章三角形的證明1.1等腰三角形第一章三角形的證明題型1證明線段相等1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE＝AF.求證：DE＝DF.1類型證明數(shù)量關(guān)系題型1證明線段相等1類型證明數(shù)量關(guān)系證明：返回證明：返回題型2證明角相等2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠DBC＝∠DCB．題型2證明角相等證明：返回證明：返回題型1證明平行關(guān)系3．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，以CP為邊作等邊三角形PCE.求證：AE∥BC．2類型證明位置關(guān)系題型1證明平行關(guān)系2類型證明位置關(guān)系證明：返回證明：返回題型2證明垂直關(guān)系4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中點(diǎn)．求證：DG⊥EF.題型2證明垂直關(guān)系證明：返回證明：返回5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB．求證：(1)AB＝2BC；(2)CE＝AE＝BE.3類型證明倍分關(guān)系5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠(1)∵∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°.∴∠1＋∠2＝60°.∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∴∠A＝30°.在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC.證明：(1)∵∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠1＝(2)由(1)知∠A＝∠1＝30°，∴CE＝AE.又易得∠B＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE為等邊三角形，∴CE＝BE.∴CE＝AE＝BE.返回(2)由(1)知∠A＝∠1＝30°，返回6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．求證：AC＝AB＋BD．4類型證明和差關(guān)系6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．證明：如圖，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BA，連接AE，則∠BAE＝∠E.∴∠ABC＝∠BAE＋∠E＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.證明：如圖，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BA，∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.返回∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，返回7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，且AB＞AC．求證：AB－AC＞PB－PC．5類型證明不等關(guān)系7．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意證明：證明：北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)精品配套課件本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)本課件來源于網(wǎng)絡(luò)只供免費(fèi)交流使用第一章三角形的證明1.2直角三角形第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)與判定第一章三角形的證明1.2直角三角形第1課時(shí)直角三1課堂講解直角三角形中角的關(guān)系直角三角形中邊角關(guān)系逆命題和逆定理2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解直角三角形中角的關(guān)系2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)三角形的分類按邊分類按角分類三角形的分類按邊分類按角分類銳角三角形直角三角形鈍角三角形—有一個(gè)角是鈍角三角形按角的分類—三個(gè)角都是銳角—有一個(gè)角是直角生活中用到直角三角形的例子很多三角形銳角三角形—有一個(gè)角是鈍角三角形按角的分類—三個(gè)角都是銳角—1知識(shí)點(diǎn)直角三角形中角的關(guān)系想一想(1) 直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？為什么？知1－導(dǎo)1知識(shí)點(diǎn)直角三角形中角的關(guān)系想一想知1－導(dǎo)歸納知2－導(dǎo)

定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.歸納知2－導(dǎo)定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.知1－講

如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE為∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．例1知1－講如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，A知1－講

由題意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE為∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：知1－講由題意可知，解：總結(jié)知1－講

三角形中一個(gè)角的平分線和過這個(gè)角的頂點(diǎn)的高線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半．總結(jié)知1－講三角形中一個(gè)角的平分線1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如圖擺放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°知1－練

B1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如圖2知識(shí)點(diǎn)直角三角形中邊角關(guān)系知2－導(dǎo)勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.ACB2知識(shí)點(diǎn)直角三角形中邊角關(guān)系知2－導(dǎo)勾股定理直角三角知2－導(dǎo)反過來，在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們曾用度量的辦法得出“這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.下面我們證明這個(gè)結(jié)論.已知：如圖(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求證：△ABC是直角三角形知2－導(dǎo)反過來，在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平知2－講證明：如圖(2)，作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,則A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因此，△ABC是直角三角形.

知2－講證明：如圖(2)，作Rt△A′B′C′，使知2－講例2A如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點(diǎn)C到AB的距離是(

)

知2－講例2A如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝知2－講導(dǎo)引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x，則BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝，即點(diǎn)C到AB的距離為.

知2－講導(dǎo)引：方法一：知2－講方法二：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝，即點(diǎn)C到AB的距離為.

知2－講方法二：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，總結(jié)知2－講

應(yīng)用方程思想求線段的長很常見，而用面積法求線段的長更是簡化了計(jì)算步驟，使解題過程變得簡明易懂．總結(jié)知2－講應(yīng)用方程思想求線段的長很常見，而用面積法1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的長.知2－練

因?yàn)椤螦＝