2023年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第二章　一元二次函數(shù) 方程和不等式

2023年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第二章

一元二次函數(shù).方程和不等式

贏在考情菽有

嬴在考點(diǎn)5r砥

章東綜合測試

就在考情精折

考點(diǎn)課標(biāo)解讀

不等式的性1.不等關(guān)系

質(zhì)及其應(yīng)用了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.

基本不等式

2.基本不等式：-Vab(a^0,Z>^0)

及其應(yīng)用2

⑴了解基本不等式的證明過程.

(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.

二次函數(shù)與3.一元二次不等式

F二防⑴會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.

程、不等式(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方

程的聯(lián)系.

⑶會解F二次不等式.

導(dǎo)航

贏在考點(diǎn)洌練

考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用

夯三三三實(shí)三三三三基三三三礎(chǔ)三一

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>0=a>b,

a-b=0a=b,

{a—b<0=a<b.

弓>10a>b(aeR,b>0),

(2)作商法=1Qa=b(aCR,b〉0),

E<1=a<b(aER,b>0).

導(dǎo)航

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：〃>力=力<〃.

⑵傳遞性:a>b^b>c^>a>c.

(3)可力口性:〃>/=〃+c>b+c;a>b,c>doa+c>b+d.

(4)可乘，性>力。;〃>力>。/>冷。>bd.

⑸可乘方:〃>力>0=〃，>bn(nwN/21).

(6)可開方:。>6>0=>電^>eN,〃，2).

導(dǎo)航

提二二二二二升.二二二二二能二二二二二力

考向1不等式的性質(zhì)

典型例題1。

對于實(shí)數(shù)”也G下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()

①若。>仇則ac>bc;②若。。2>左2,則a>b;

③若貝！J.>④若a>心>3則a>Q>b.

c—ac-bab

A.lB.2

C.3D.4

導(dǎo)航

【解析】對于①冷。=0,則有〃c=〃G①錯(cuò)誤?

對于②,由知.二二〃>4②正確.

對于③c>a>b>0=c-a>°，c—0/

"a>b=>—aV-b=c-a<c—b」

11c

=0<c—a<c—bn—>F>°，

c—ac-b—>二，③正確.

a>b>0c—ac—b

a>b^a-b>0,ab<0,

對于④工〉工=3〉0卜〃>0/vO,④正確.

a>b

abab

綜上，正確的為②③④.

【答案】C

導(dǎo)航

【名師點(diǎn)撥】解決此類問題常用兩種方法

⑴直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.

導(dǎo)航

e針對訓(xùn)練1°

1.已知d4GdeR,且仍>0,一2一%則（B）

A.bc<adB.bc>ad

C.->JD.-<?

caca

【解析】因?yàn)椤ˋ>0,一2一所以一AH—即bc>ad.

ab

導(dǎo)航

2.已知名仇c滿足且〃cvO,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是

(A)

A.ab>acB.c(b—a)<0

C.cb2<ab2T).ac(a—c)>0

［解析］由c<方v%且〃cvO,知c<0且〃>0.

由b>G得ab>ac一定成立.

導(dǎo)航

3.若〃>A>O,cvdvO,貝！|一定有(B)

.ab公ab

A.->-B.-<-

acac

—ab0ab

C->-D-<-

caca

【解析】因?yàn)閏v4〈O,所以一c>一冷0,

即得4>—>0.

—d—c

又〃>方>0,所以￡>從而有孑<

一d-cdc

導(dǎo)航

考向2不等式性質(zhì)的應(yīng)用

e典型例題2e

.（答案用區(qū)間表示）

導(dǎo)航

L解析】設(shè)2x—37=陽(*+丁)+%(梟-J)=(M+H)X+(陽—n)y^

(m+n=2m=—

所以%解得2

vm—n=—J,5

n=-2.

11515

：,~2<—~(x+y)<^5<-(x—y)<—,

15

：,3<—~(x+y)+-(x—y)<8,

即3V2x-37v8.

【答案】(3,8)

【名師點(diǎn)撥】利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意事

項(xiàng)

(1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì).

(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，

切不可用“似乎是很顯然”的理由，代替不等式的性質(zhì)，如心〃

及c>4推不出由心心推不出〃2>力2等.

(3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì),不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除

的錯(cuò)誤.

導(dǎo)航

4包■又寸訓(xùn)I練2Q

1.若一則下列各式中恒成立的是（A）

A.—2<a—//<0B.—2<a~fi<-1

C.—\<a—/?<0D.一1v”—fi<l

【解析】由—l<a<l9—l〈0vl,得—1v-/?vl,所以一2v”—p<2.

又因?yàn)楣室?<a

導(dǎo)航

2.已知一1W〃+8W5JW〃一力W3,則|〃一3力的取值范圍為（C）

A.[2,6]B.[-54]

C.[-3,7]D.[-3,5]

L解析]設(shè)〃—3b=x(a+b)+y(a—b)=(x+y)a+(x—y)b^

所以:+;=：‘3解得｛；=2a—3b=—(a+b)+2(a—b).

因?yàn)橐籰Wa+方W5,所以一5W—(a+b)1;

因?yàn)?W“一AW3,所以2W2(a—6)W6.兩個(gè)同向不等式相加1,得

—3W—(a+b)+2(a—即一-3〃W7.故選C.

導(dǎo)航

一二學(xué)二二二二二業(yè)二二二二二達(dá)二二二二二標(biāo)---

1.（2020?廣東梅州學(xué)業(yè)水平模擬）若心"c>4則下列不等關(guān)系

中不一定成立的是（A）

A.a-b>c—d

B.a+c>b+d

C.a-c>b—c

D?〃-c<a—d

【解析】'.'a>b^c>d^---a+c>b+d^a—c>b—G—C<-d,a—c<a—d.

a—b>c—"不一定成立.故選A.

導(dǎo)航

2.(2019?廣東湛江學(xué)業(yè)水平模擬)若見仇cWR,給出下列命題:

①若〃>4c>4貝!|〃+0>〃+";(§)若〃>a0>4貝!|〃-0>分一〃;(§)若

〃>4c>",貝!④若〃>40>0,貝!

其中正確命題的序號是(B)

A.①②④B.①④

C.①③④D.②③

導(dǎo)航

［解析】①4池c>&由不等式的可加性得a+c>〃+&

故①正確；

②由①正確，可知②不正確；

③取4>-2,—1>一3,則4乂（一1）>（一2）義（一3）不成立,

故③不正確；

④<4c>0,---ac>bc.故④正確.

綜上可知,只有①④正確.故選B.

導(dǎo)航

3.（2018?廣東中山期末）若”=k）g20.3/=2%c=0.32,則“也c三者

的大小關(guān)系為（A）

A.b>c>aB.c>b>a

C.c>a>bD.b>a>c

【解析】尸1咯%是增函數(shù),

a=log20.3<log2l=0,

力=2%是增函數(shù),???〃=2。?3>20=1,

又c=0.32=0.09,.'.0<c<l,b>c>a.

導(dǎo)航

1-0.8

4.（2019,廣東佛山學(xué)業(yè)水平模擬）已知〃=21?2乃=QI5c=log549

則4也C的大小關(guān)系為（A）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

L2<=8

【解析】a=2>24^2°-<2,c=log54<l^a>6>c.

導(dǎo)航

5.（2020?廣東韶關(guān)學(xué)業(yè)水平模擬）使不等式0<-<1成立的一個(gè)充分

不必要條件是（C）

A.0<^c<-B.x>l

2

C.x>2D.x<0

【解析】不等式0Jvl,

x

（x>0

???工<1，解得Ql,

1%

故不等式的解集為（1,+8）,

則其一個(gè)充分不必要條件可以是>2,故選C.

導(dǎo)航

6.若*<0兇=5*2+*+2產(chǎn)4x(x+l)則席與N的大小關(guān)系為(A)

A.M>NB.M=N

C.M<ND.無法確定

【解析1M—7V=5x2+x+2—4x(x+l)=*2—3x+2=(x—l)(x—2),

\x<0,

.--x—1<0^—2<0,

---(x—l)(x—2)>0,

故選A.

導(dǎo)航

7.（2017?廣東汕頭高一檢測）若Iv“v3.-4v//v2.則”一網(wǎng)的取

值范圍是(—3,3)

【解析】???一4亦2/代叫＜4.

----4<一-3<a—1/?|<3.

導(dǎo)航

考點(diǎn)2基本不等式及其應(yīng)用

夯二二二二二實(shí)二二二二二基二二二二二礎(chǔ)

1.基本不等式:，話＜a+b

2

(1)基本不等式成立的條件:〃＞0乃＞0.

⑵等號成立購券件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

⑶其中*稱為正數(shù)〃力的算術(shù)平均數(shù),而

稱為正數(shù)〃乃的幾何平均數(shù).

導(dǎo)航

2.幾個(gè)重要的不等式

⑴〃2+"》2ab4WR）.當(dāng)且僅當(dāng)〃=力時(shí)取等號.

2

⑵（當(dāng)）（卬〃￡R）,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取等號.

⑶號！>（學(xué)）2（%6￡R）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

（4）-+會2（a,b同號），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

ab

導(dǎo)航

3.利用基本不等式求最值

已知H>0』>0測

⑴如果積町是定值“那么當(dāng)且僅當(dāng)，可時(shí)u+v有

最小值是2赤（簡記:積定和最?。?

（2）如果和x+y是定值另那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)內(nèi)有最

大值是,I（簡記:和定積最大%

導(dǎo)航

---提二二二二二升二二二二二能,二二二二二力~~'

考向1基本不等式求最值

。典型例題1。

⑴若界1,則產(chǎn)冶上有（）

A.最小值2B.最大值2

C.最小值一2D.最大值一2

（2）若直線.+臺1（優(yōu)＞0乃＞0）過點(diǎn)（1,1）,則a+b的最小值等于（）

A.2B.3

C.4D.5

導(dǎo)航

【解析】⑴因?yàn)樗怨ひ?<0,

所以「嚀法T-Q5占一2

故選D.

⑵因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,1),所以｝+91.

所以a+b=(a+b)(^+%1+展+臺2產(chǎn)+今因?yàn)椤?gt;0/>0,所以

2+-+-^2+2g=4,當(dāng)且僅當(dāng)“4=6=2”時(shí)等號成立.

ab7ab

【答案】(1)D(2)C

導(dǎo)航

-0^

【名師點(diǎn)撥】利用基本不等式求最值的方法

⑴利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或

積為定值，主要有兩種思路:

①對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解;

②條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.

(2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件，但

可以通過添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等

式.常用的方法還有:拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常

數(shù)法、換元法、整體代換法等.

導(dǎo)航

°至十一寸訓(xùn)I練14

1.（2020?廣東汕尾學(xué)業(yè)水平模擬）已知實(shí)數(shù)xj滿足舟+儼=1,則

盯的最大值是（D）

A.lB.—

2

c.—D.-

22

【解析】因?yàn)閤2+y2=l,

則孫W亨=9,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)咚時(shí)取等號，故選D.

導(dǎo)航

13

2.（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）若x>0j>0,且：+=1,貝！k+3y的最小值

為16.

［解析］丁Xj>0,且—%I■y-=1,

.?.jd-3y=（AH-3y）（-+-）=10+^+-^10+6&x』6,

~xyxyyjxy

當(dāng)且僅當(dāng)且工+-=1^==即x=v=4時(shí)取等號.

xyxy.

因此x+3y的最小值為16.

故答案為16.

導(dǎo)航

3.(1)已知求心)=工+、的最大值；

x—3

(2)已知x/￡R+,且丘=4,求工+?的最小值.

冗y

【解】⑴因?yàn)?<3,所以*一3<0,

所以八刈三^+下去+^—3)+3

=-￡+(3—%)卜3<—2]￡?(3-冗)+3=—1,

當(dāng)且僅當(dāng)*=3—*,即尸1時(shí)取等號，

3-x

所以人*)的最大值為一L

導(dǎo)航

(2)因?yàn)閤j￡R+,

所以(用了)(：+=4+(}+”)^4+2A/3.

當(dāng)且僅當(dāng)x+v=4^=①，即尸2(次一1)產(chǎn)2(3—b)時(shí)取等號.

所以工+-^1+^,

Xy2

故工+日的最小值為1+^.

xy2

導(dǎo)航

考向2基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

e典型例題2e

某中學(xué)為了宣傳當(dāng)?shù)靥厣惋L(fēng)土人情，由同學(xué)設(shè)

計(jì)一幅矩形宣傳畫，要求畫面面積為4000cm2,

畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空

白.如何設(shè)計(jì)畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳

畫所用紙張面積最小?

導(dǎo)航

【解析】設(shè)畫面高為*cm,寬為『cm,

由題意可得刑=40004>0J>。，

貝4所需紙張面積S=(x+16)(j+]())=q+[6y+[0x+16(),

=4160+16^+10x^4160+2/160孫=5760,

當(dāng)且僅當(dāng)16y=10梟且叼=4000,即x=80j=50時(shí)取等號,

所以畫面高80cm,寬50cm時(shí),所需紙張面積最小為5760cm.

導(dǎo)航

-0^

【名師點(diǎn)撥】解實(shí)際應(yīng)用題要注意：

(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

⑵根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等

式求得函數(shù)的最值.

⑶在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的

自變量的取值范圍)內(nèi)求解.

導(dǎo)航

。釗?一寸訓(xùn)I練24

1.將一根鐵絲切割成三段,做一個(gè)面積為2m2、形狀為直角三

角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪

費(fèi)最少）的是（C）

A.6.5mB.6.8m

C.7mD.7.2m

【解析】設(shè)直角三角形框架的兩直角邊長分別為〃乃,周長為

貝!］；a〃=2,/=a+/+Va2+b222VHs+V2ab=4+2V2-6.828(m)(^M

僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號成立).故選C

導(dǎo)航

2.某公司一年購買某種貨物400t,每次都購買*t,運(yùn)費(fèi)為4萬元

/次，一年的總存儲費(fèi)用為公萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲

費(fèi)用之和最小,則x=20t

【解析】一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為（第X4+4元）萬元,

等X4+4Q160,當(dāng)片=狂即尸20t時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)

用之和最小.

導(dǎo)航

拉)

3.若把總長為20的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大

面積是25.

【解析】設(shè)矩形的一邊為*,

則另一邊為:(20—2幻=10―乂

12

???j=x(10—x)W=25,

當(dāng)且僅當(dāng)X=10—蒼即X=5時(shí)Jmax=25.

導(dǎo)航

一二二學(xué)二二二二二業(yè)二二二二二達(dá).二二二二二標(biāo)

1.（2020?廣東佛山學(xué)業(yè)水平模擬）下列不等式一定成立的是（

A.lg(x2+；)>lgx(x>0)

B.sinX+—一22由次九,〃￡Z)

sinx

C.x2+1^2|x|(xeR)

DkWR)

導(dǎo)航

【解析】當(dāng)尸;時(shí)Jg(x2+：)=lgx,故A不符合題意；

L4

當(dāng)sin%vO時(shí)再中不等式顯然不成立，

因?yàn)?*±1)2,0恒成立，所以/+1，±2工即*2+122國一定成立,

故C正確；

由1+小。1可知0＜心忘1,故D不正確，

l+xz

故選C.

導(dǎo)航

1

2.（2018?廣東學(xué)業(yè)水平模擬）設(shè)x>0,那么3一工一”有（A）

A.最大值1B.最小值1

C.最大值5D.最小值一5

【解析】???x>0,?「+x22L冤=2,當(dāng)且僅當(dāng)工氣即尸1時(shí)取得等號.

11

---xW—2,；?3—--*W3-2=1.

XX

導(dǎo)航

1

3.（2019?廣東江門學(xué)業(yè)水平模擬）如果x>0,那么4x+：的最小值

為（C）

A.2B.3

C.4D.5_____

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)x>0時(shí),4刈^22〃^~1=4,

即4用工的最小值為4.

X

導(dǎo)航

4.（2020?廣東中山學(xué)業(yè)水平模擬）下列函數(shù)中最小值為2的函

數(shù)是(D)

1

A.y=x4^B.y=y/x+-p(x>l)

~X"yjX

c尤2+34

C?v=------:D.y=eA+^—2

./2+2*ex

導(dǎo)航

【解析】對于A,當(dāng)x>0時(shí)產(chǎn)什：22,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號成立，

當(dāng)MO時(shí)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號成立，即A錯(cuò)誤；

對于By=Vx+當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號成立，而2>1,即B錯(cuò)誤;

tX,t

對于C/書E=V^T2+占，

J/+2J/+2

令t=y/x2+2>VI,則尸居在［&,+oo）上單調(diào)遞增，

t

所以e等>2,即c錯(cuò)誤；

對于D/=e*S—222V5—2=2,當(dāng)且僅當(dāng)ex=2時(shí)等號成立，即D正

確.故選D.

導(dǎo)航

1s

41

5.(2020?廣東韶關(guān)學(xué)業(yè)水平模擬)已知陽>0/>0〃+4〃=2,則而+有

的最小值為(c)

A.36B.16

C.8D.4

【解析】m>0^n>Q^m+4n=2^

則上+-=(-+i)(zn+4n)xi=i(8+—+-)

mnmn22mn

若伊+2層馬寺(8+8)=8,

當(dāng)且僅當(dāng)如=上且加+4〃=2,即〃上,加=1時(shí)取等號，故選C.

mn4

導(dǎo)航

6.（2020?廣東汕頭月考）已知3葉27〃=6,則〃+3力的最大值是（

A.2V3B.6

C.2D.2V2

【解析】6=3〃+27,2243a?33b=2印3a+3%整理得3243a+3t,

即〃+3〃W2（當(dāng)4=3〃時(shí)，等號成立），故選C.

導(dǎo)航

7.（2019?廣東茂名學(xué)業(yè)水平模擬）若正實(shí)數(shù)陽/滿足2陽+〃+6=

mn^則用"的最小值是18

【解析】\a2m+n+6=mn^m>0^n>0^

________t2

令貝11mn=—^

2

則。，2什6,解得或后一2（舍），故mn^lS.

導(dǎo)航

------

8.（2017?廣東東莞月考）建造一個(gè)容積為18m%深為2m的長方

形無蓋水池，如果池底和池壁每m2的造價(jià)為200元和150元，那

么水池的最低造價(jià)為540。元.

【解析】設(shè)水池的長為*m,寬為丁m,則2盯=18,即到=9.

總造價(jià)為200?盯+2（2*+2仍?150

=200X9+600（x+y）

21800+1200向

=5400（元）.

當(dāng)且僅當(dāng)“可=3時(shí)等號成立.

導(dǎo)航

-------

9.（2019?廣東中山學(xué)業(yè)模擬）黨的十九大報(bào)告指出，建設(shè)生態(tài)文

明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì)，而清潔能源的廣泛使用

將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐.沼氣作為取之不盡、

用之不竭的生物清潔能源,在保護(hù)綠水青山方面具有獨(dú)特功

效.通過沼氣帶來的農(nóng)村“廁所革命”，對改善農(nóng)村人居環(huán)境等

方面,起到立竿見影的效果.為了積極響應(yīng)國家推行的“廁所革

命”，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個(gè)深為2米,容積為32立方米的長方體

沼氣池，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的

造價(jià)為120元,沼氣池蓋子的造價(jià)為3000元，問怎樣設(shè)計(jì)沼氣

池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少元?

導(dǎo)航

【解】設(shè)沼氣池的底面長為X米，沼氣池的總造價(jià)為7元，

因?yàn)檎託獬氐纳顬?米,容積為32立方米，所以底面積為16平方

米，

因?yàn)榈酌骈L為X米,所以底面的寬為竺，

依題意有j=3000+150xl6+120x2(2x+2x^)=5400+480(x+§,

因?yàn)?>0,由基本不等式和不等式的性質(zhì)可得，

5400+480(x^)25400+480x2X--,

AC

即400+480x2VIE所以j29240,

導(dǎo)航

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)竺，即x=4時(shí)，等號成立，

X

所以當(dāng)沼氣池的底面是邊長為4米的正方形時(shí)，沼氣池的總造

價(jià)最低，最低總造價(jià)是9240元.

導(dǎo)航

考點(diǎn)3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

三夯三三三實(shí)三:三三基:三三三礎(chǔ)E--

1.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式

J>0

d=b2-4ac

二次函數(shù)

y=ax1+bx+c

（。＞0）的圖象

導(dǎo)航

拉）

判別式

/>0J=0J<0

d=b2-4ac

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)

2+加什。=0

X1^X2（X1<X2）X1=X2=~^-數(shù)根

（〃>0）的根

2b

ar+Z>x+c>0\xx[

{x\x>x2^^ix<x1}（________2dLR

（。>0）的解集

ax2+bx+c<0

{x\x<x<x}00

3>0）的解集12

導(dǎo)航

2.(x—〃)(*—〃)>0或(*—〃)(*一力)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-d)(x—力)>0{小<〃域*>A}{x\x^a]{x\x<b^x>a}

(x-d)(x-Z>)<0{x\a<x<b}0{x\b<x<a]

導(dǎo)航

3.分式不等式

（l）1>0等價(jià)于（%一〃）（x—〃）>0.

Q）巖V。等價(jià)于（*—僅）（x一8）<0.

r一

(3)=20等價(jià)于(xa)(x-b)>0,

x-b霓一bW0.

（4）工一0<0等價(jià)于｛（X一口）（九一b）—°，

xbW0.

導(dǎo)航

一二二提■■■■■升二二二二二能二二二二二力

考向1一元二次不等式的解法

e典型例題13

2

解關(guān)于X的不等式(〃6R)：x—(〃+〃2)X+〃3>0.

導(dǎo)航

【解析】將不等式/—（〃+〃2）梟+〃3>0變形為（X—O）9（X—〃2）>0.

當(dāng)〃V0時(shí),有

所以不等式的解集為｛M'V?或*>好｝；

當(dāng)4=0時(shí)刈=〃2=0,

所以不等式的解集為｛斗rWR,且存0｝;

當(dāng)0<?<1時(shí),有

所以不等式的解集為｛x或1>〃｝?

當(dāng)4=1時(shí)M=〃2=1,

所以不等式的解集為｛MrWR,且a1｝;

當(dāng)〃>1時(shí)，有4V*所以不等式的解集為或*>〃2｝.

導(dǎo)航

-0^

【名師點(diǎn)撥】含參數(shù)的一元二次不等式的解法

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮因式分解，再對參數(shù)進(jìn)行討

論，若不易因式分解，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏.

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然

后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式.

最后,對相應(yīng)的方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.

導(dǎo)航

4針對訓(xùn)練14

1.（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）不等式/-7*<0的解集是（D）

A.{x|x<—7,^x>0}B.{x|x<0,^x>7}

C.{x|—7<x<0}D.{x|0<x<7}

【解析】不等式p-7%<0可化為*（%—7）v0,

解得0?v7,

所以不等式的解集是30。<7}.

故選D.

導(dǎo)航

2.一元二次不等式雙9一幻>0的解集是(B)

A.WO,或x>9}B.{x|0<x<9}

C.{x|x<—9,或x>0}D.{x|—9<x<0}

【解析】不等式*(9—%)>0化為*(%—9)<0,

解得0v*v9,

所以不等式的解集是304:<9}.

故選B.

導(dǎo)航

3.解關(guān)于x的不等式N—(〃+l)x+a<0.

2—

【解】'--x(a+1)x+a=O9

二當(dāng)〃vl時(shí)不等式的解集為兇〃☆<1}；

當(dāng)〃=1時(shí)，不等式的解集為0;

當(dāng)心1時(shí)，不等式的解集為3l<x<a}.

導(dǎo)航

考向2三個(gè)二次之間的關(guān)系

e典型例題2e

已知關(guān)于*的不等式依2+加c+c>o的解集為32<^v3},求關(guān)于x

的不等式c/+以+〃vo的解集.

導(dǎo)航

［解析】方法一:由不等式依2+以+°>0的解集為開區(qū)間(2,3),

可知且2和3是方程依2+加什。=0的兩根.

由根與系數(shù)的關(guān)系可知也一5,￡=6,

aac6

由"0,知C<09

故不等式cx2+bx+a<0即x2+-x+^>0,

9CC

即/一與+工〉。,解得xv工或x>\

6632

所以不等式cx2+Ax+^<0的解集為(—8；)uQ,+00

導(dǎo)航

方法二:由不等式依2+加什c>0的解集為｛x[2<^v3｝可知必<0,且2

和3是方程加什。=0的兩根,所ax2+bx+c=a(x—2)(x—3)

=ax2—5ax+6a^R]7b=——5%c=6%故不等式。*2+以+〃v&

即6ar2—5ax+a<Q^>

故原不等式的解集為(—8,)U(；,+8).

導(dǎo)航

-0^

【名師點(diǎn)撥】應(yīng)用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解題的思想

一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)

系，即給出了一元二次不等式的解集例可知不等式二次項(xiàng)系

數(shù)的符號和相應(yīng)一元二次方程的根.在解決具體的數(shù)學(xué)問題

時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

4針對訓(xùn)練24

1.（2020?廣東湛江學(xué)業(yè)考試模擬）如果關(guān)于x的不等式“2v依+力

的解集是31令<3},那么加等于（B）

A.-81B.81

C.-64D.64

【解析】不等式/<依+〃可化為*2-收一力V0,

其解集是兇1?<3},

那么,由根與系數(shù)的關(guān)系得{:Z-b

解得〃=4乃=—3;所以加=（—3>=81.故選B.

導(dǎo)航

2.（2020?廣東深圳期中）一元二次不等式月叨工+夕〈0的解集是

（一U則夕+夕=（c）

A.--B.--

63

C.OD.1

【解析】一元二次不等式4<0的解集是

貝！J—；和!是方程爐+^刈■夕=0的實(shí)數(shù)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系，知一：+|=-P，—[x

解得夕=,夕=—3,所以P+夕=0.故選c.

導(dǎo)航

3.若不等式兀￥）=依2—X—c>0的

解集為（一2,1）,則函數(shù)y=/"）的

圖象為（B）

【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧?/p>

為（-2,1）,所以質(zhì)0,排除C,D;

又與“軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一2J.

故選B.

導(dǎo)航

考向3—元二次不等式的恒成立問題

。典型例題3。

f(x)=mx2—mx—1.

(1)若對于一切實(shí)數(shù)占/(x)vO恒成立，求股的取值范圍;

(2)對于xw[IMWBv—陽+5恒成立，求股的取值范圍.

【解析】⑴若陽=0,顯然一1<0恒成立;

m<0,4A

若加彳0,則n—4<m<Q.

A=m7+4m<0

C.m的取值范圍為一4v/nW0.

導(dǎo)航

(2)要使xw[1,3]2A2<一陽+5恒成立,

2

則m^x—0+3帆一6<04G

23

令g(x)=m[x-1)+-zn—

當(dāng)加>0時(shí),g(*)在［1,3］上是增函數(shù),，g(x)max=g(3)=7加一6.

7加一6<0,解得m卷：.0〈加岑

當(dāng)m=0時(shí),一6<0恒成立.當(dāng)相<0時(shí),g(x)在［1,3］上是減函數(shù).

??g(X)max=g(l)=加—6<0,解得ZW<6,:.桃V0.

綜上所述內(nèi)的取值范圍為(-83).

--導(dǎo)航

【名師點(diǎn)撥】1.不等式的解集為R的條件

不等式的解集為R（或恒成立）

不等式ax2+bx+c<0

4=0〃=0,c>0b=Qyc<0

(a>0,(a<0,

tj<0tzi<0

2.有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法

（1處）W4恒成立U^MmaxWa.

（2次02〃恒成立導(dǎo)/（x）min2〃?

導(dǎo)航

e針對訓(xùn)練3e

1.（2020?廣東佛山學(xué)業(yè)考試模擬）對任意實(shí)數(shù)內(nèi)不等式“2-2x

一〃20恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（B）

A.〃2—1B.〃W—1

C.a<—1D.a>一1

【解析】由題意，可得要滿足題意，只需/=4—4X（一“）〈0,

解得aW—1,

故選B.

導(dǎo)航

2.若不等式“2+加什？>0的解集為R,則實(shí)數(shù)陽的取值范圍是(

P

A.(2,+oo)B.(—oo92)

C.(一oo,0)U(2,+oo)D.(0,2)

【解析】由題事知，原不等式對應(yīng)方程的/<0,

即/?2-4XlX?<0,

即陽2—2陽<0,解得0〈陽v2.

導(dǎo)航

3.若不等式(〃-2)x2+2(a—2)x—4Vo對一^切*wR恒成立,則a的

取值范圍^_CZ252]

【解析】當(dāng)。-2=0,即〃=2時(shí)不等式為一4<0,恒成立；

當(dāng)〃一2刈時(shí)，則a滿足]—<&八/q/n

(4=[2(a-2)]￡—4(a-2)?(-4)<0,

解得一2v〃<2.故a的取值范圍為一2v〃W2.

導(dǎo)航

-三學(xué)三三三業(yè)三三三達(dá)三三三標(biāo)三一

1.(2019?廣東梅州學(xué)業(yè)水平模擬)不等式2*2—％—1>0的解集

是(D)

A,{%|一T<工<1}B.{x|x>l}

eC1、、

C.{x\x<l^x>2}D.jxx<一刀或%>1

J乙J

【解析】不等式2*2—X—1>0,

因式分解得(2*+1)(*—1)>0,

解得或XV—

則原不等式的解集為L冗〈一二或霓>仆.

導(dǎo)航

2.（2019?廣東佛山學(xué)業(yè)水平模擬）若不等式4/+依+4>0的解集

為R,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（D）

A.(-16,0)B.(-16,0]

C.(一oo,0)D.(-898)

【解析】不等式4*2+依+4>0的解集為R,

2

/.J=a-4X4X4<09

解得一8v〃va

二實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（一8,8）.

導(dǎo)航

3.（2020?廣東梅州月考）若對任意的“大于0不等式N—依+2>0

恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（A）

A.a<2V2B.12V2<a<2V2

C.a>242D.QV—或Q>2迎

【解析】x>0時(shí),不等式/一依+2>0化為爐+2>ox,即a<x+|;

當(dāng)且僅當(dāng)1,即A或時(shí)等號成立；

x

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是qv2VI故選A.

導(dǎo)航

4.（2019?廣東惠州學(xué)業(yè)水平模擬）設(shè)心1,則關(guān)于x的不等式（1一〃）

（x-d）［x—^）＜0的解集是（D）

A.（一oo,4）UQ,+8）B.（a,+oo）

C（a，￡）D.（-co,i）U（?,+oo）

【解析】a＞l時(shí)J—”0,且aA：，

則關(guān)于x的不等式（1—〃）（*—〃）（1r—：）＜0可化為（x—〃乂%—：）＞0,

解得宅或X*所以不等式的解集為（-8、）U3+8）.

導(dǎo)航

5.（2019?廣東湛江學(xué)業(yè)水平模擬）若一元二次不等式依2一

2*+2>0的解集是（-言,則”的值是一12.

【解析】一元二次不等式依2—2刈■ZX）的解集是（-|彳），

則一：和;是一元二次方程依2—2d2=0的實(shí)數(shù)根，

；?一；X；=工解得4=-12.

23a

導(dǎo)航

6.函數(shù)/㈤=（〃X—1）（*+辦如果不等式/（x）＞0的解集為（一1,3）,

則〃+力的值為-4.

【解析】不等式危）＞?；癁椋ㄒ?1）住+力）＞0,

由不等式/5）＞0的解集為（一1,3）,得“＜0且不等式對應(yīng)方程兩

根為一1和3,

所以〃=—1乃=—3;

所以a+〃=—1—3=—4.

故答案為一4.

導(dǎo)航

7.(2019?廣東東莞學(xué)業(yè)水平模擬)已知集合/={-5,一1245},

請寫出一個(gè)一元二次不等式，使得該不等式的解集與集合力有

且只有一個(gè)公共元素,這個(gè)不等式可以是(x+4)(x—6)>0.

【解析】由題意知寫出的一元二次不等式的解集與集合力有

且只有一個(gè)公共元素，不等式解集中的整數(shù)解只有一個(gè)在集

合力中即可.

故不等式可以是(x+4)(x—6)>0.解集為{#>6,或xv—4}.解集

中只有一5在集合力中.

導(dǎo)航

章未綜合測試

一、選擇題（共15題,每小題6分,共90分）

1.下列命題中，正確的是（C）

A.若心心則社>力〃

B.若〃c>力G則a>b

C若與<芻則a<b

cLcz

D.若〃貝！|a—c>b—d

導(dǎo)航

【解析】對于A項(xiàng)，只有在〃乃4"均為正數(shù)時(shí)成立;對于B項(xiàng),當(dāng)

cvO時(shí)，則心>兒=〃<〃,所以錯(cuò)誤；由不等式的性質(zhì)知6項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)洞向不等式作差一般不成立,例如《=%"=〃時(shí)必一。

>〃一"不成立.故選C.

導(dǎo)航

2.如果實(shí)數(shù)〃也c滿足cv〃v。且〃cvO,那么下列選項(xiàng)中不一定成

立的是(D)

A.ab>acB.c(b—a)>0

C.ac(a—c)<0D.cb2<ab2

【解析】由已知條件，知”>0,c<0,選項(xiàng)A、B、C的結(jié)論都正確,

只有D中,當(dāng)加=0時(shí)，式子不成立.因此選D.

導(dǎo)航

3.若:<卜0,則下列不等式中，①〃+k的②同>團(tuán);③④3+'>2,

正確的有（B）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C3個(gè)D.4個(gè)

【解析】由工<上0,得。<”0,仍>0,則①④正確，②③錯(cuò)誤.故選B.

ab

導(dǎo)航

4.（2020?廣東惠州月考）不等式一*2+x+6<0的解集是（C）

A.{x|-2<x<3}B.{x|-[<*<]}

C{x|x>3,或x<—2}或x<—|}

【解析】不等式一三+%+6<0對應(yīng)的方程為一*2+*+6=0,解方

程得*=-2或*=3.

由不等式-x2+x+6<0,Kf化為/—x—6>0,

即（X—3）（x+2）>0,

所以不等式的解集為{小<一2,或Q3}.故選C.

導(dǎo)航

5.下列結(jié)論正確的是(C)

A.不等式N24的解集是｛刈￥2±2｝

B.不等式P-9Vo的解集為｛x|x<3｝

C(x-1)2<2的解集為31—四<=1+魚｝

DL元二次方程依2+加什c=0有兩個(gè)不等實(shí)根X]42且*1>必則

不等式收2+加什cvO的解集為｛x\x2<x<xi｝

【解析】首先化成標(biāo)準(zhǔn)形式,C正確,D中的二次項(xiàng)系數(shù)符號不

確定.

導(dǎo)航

6.(2020?廣東廣州期末)關(guān)于“的不等式/+收_3<0,解集為

(一3,1),則不等式依2+*-3<0的解集為(D)

A.(l,2)B,(一1,2)

C(-泊

【解析】由題意知產(chǎn)一34=1是方程9+收―3=0的兩根，可得

—3+1=一見解得〃=2;

所以所求的不等式為2*2+*—3<0,

即(2x+3)(*-l)v0,

解得一jvxvl,所以不等式的解集為(―|j1).故選D.

導(dǎo)航

11

7.（2020?廣東深圳月考）已知〃>0乃>0,且3+石=1,貝!|4〃+力的最小

值是（D）

A.2B.6C.3D.9

【解析1且工+：=1,

ab

貝!J4?+A=（4tz+6）Q+

=4+1-^+—^5+2I-x—=9,

abyjab

當(dāng)且僅當(dāng)方=2〃時(shí)，上式取得等號，

則4a+6的最小值為9,故選D.

導(dǎo)航

8.若力vqvO給出下列不等式:①人<②同+力>0.③。一工>〃一3

a+babab

④lna2>in〃2.其中正確的不等式是（c）

A.①④B.②③

C.①③D.②④

導(dǎo)航

【解析】當(dāng)〃〈KO時(shí)，依次判斷各不等式如下,

①七9<巧正確;

a+baba+bab

②間+AvO,因此不正確；

③由已知可得工<3—乂一士又a>b,

abab

a-->b—3正確；

ab

④由已知可得42VA2,則]口a2<[n優(yōu)因此不正確.

其中正確的不等式是①③.

故選C.

導(dǎo)航

拉）

9.（2020?廣東湛江期中）若不等式/+心+120的解集為R,則實(shí)

數(shù)用的取值范圍是（D)

AM22B.MW—2

CMW—2或陽22D?—

【解析】不等式爐+陽n+120的解集為R,

則A=/w2—4W0,

解得一

,實(shí)數(shù)用的取值范圍是一2WMW2.

故選D.

導(dǎo)航

拉）

10.若關(guān)于X的不等式2梟2—8*—4+〃W0在1WX忘3內(nèi)有解,則實(shí)

數(shù)〃的取值范圍是（A）

A.〃W12B/212

C.〃W10D?心10

【解析】原不等式2/—8*—4+aW0,化為aW—2x2+8x+4,

設(shè)函數(shù)尸一2*2+8*+4淇中1WxW3;

對稱軸為x=2,

則x=2時(shí)函數(shù)尸—2*2+8*+4取得最大值為12,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是〃W12.故選A.

導(dǎo)航

11.下列函數(shù)中，最小值為2的是(C)

A.v=vX2+6+I-----

,"+6

Bj=lgAH-^(1<X<10)

C.y=3x+3~x(x^R)

導(dǎo)航

【解析】對于選項(xiàng)Aj-//+6+，

設(shè)+6=/（，2V6）,

所以加尸*所以加）=1一%0,所以函數(shù)加單調(diào)遞增,

所以7m『歷+4=萼故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

66

對于選項(xiàng)B:由于IRVIO,所以y=lgx+122,Jlgx?上=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=10等號

成立），由于1VYV1O,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)（2:產(chǎn)3計(jì)：，2斤口=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)，等號成立.故選項(xiàng)C正確;

3人3人

對于選項(xiàng)D:j=sinx+—^2]siiix?」-=2,當(dāng)且僅當(dāng)x三時(shí)，等號成立，由于

smxNsmx2

OVYV：故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選C.

導(dǎo)航

12.J(3-a)(a+6)(—6W〃W3)的最大值為(B)

9

A.9

2

【解析】因?yàn)橐?W〃W3,所以J(3—a)(a+6))(上①學(xué)山)=*

當(dāng)且僅當(dāng)3—〃=°+6,即4=一|時(shí)等號成立故選B.

4

導(dǎo)航

13.(2017?廣東湛江高二檢測)若實(shí)數(shù)〃乃滿足〃+〃=2,則3〃+3力的

最小值是(B)

A.18B.6

C.2V3D.2V3

【解析】〃+。=2,故，+3"22巧爭=2回存=6,

當(dāng)且僅當(dāng)折〃=1時(shí)等號成立.故3〃+3b的最小值是6?

導(dǎo)航

14.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.

X

若每批生產(chǎn)X件,則平均倉儲時(shí)間為后天,且每件產(chǎn)品每天的倉

儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)

用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(B)

A.60件B.80件C.100件D.120件

【解析】每批生產(chǎn)X件,則平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是產(chǎn)元,

每件產(chǎn)品的倉儲費(fèi)用是2元，”

O

則駟+白22I吧?工20,當(dāng)且僅當(dāng)駟==即尸80時(shí)等號成立，

x8\x8x8

所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，故選B.

導(dǎo)航

15.已知函數(shù)兀￥)=心2—X—G且不等式收2—%—c>0的解集為

出一2CV1},則函數(shù)尸/(—2的圖象為(B)

導(dǎo)航

L解析】:,函數(shù)/(*)=依2—X—G且不等式〃N—*—C>O的解集

為兇一2V*V1},

???4<0,方程依2—x—C=0的兩個(gè)根為一2和1,

—2+1=-,—2x1=--

aa

?\a=-l,c=-27

?，/(—x)=—W+x+2淇圖象開口向下，與工交點(diǎn)為(-1期(2,0%

故選B.