不定積分-課件

不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù).。（內(nèi)容提要）不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x1不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x二、基本積分公式。二、基本積分公式。2二、基本積分公式。二、基本積分公式。2。。3。。3。。4。。4三、常見(jiàn)湊微分。三、常見(jiàn)湊微分。5三、常見(jiàn)湊微分。三、常見(jiàn)湊微分。5一般地：。一般地：。6一般地：。一般地：。6四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。7四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。四、第二類換元法令12.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)單）。2.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)82.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因式若分母含既約因式，則對(duì)應(yīng)的部分因式為…，則對(duì)應(yīng)的部分因式為…。五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因9五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。10六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。六不定積分（典型例題）不定積分（典型例題）11不定積分（典型例題）不定積分（典型例題）11例1

，求解：一、由求例1，求解：一、由求12例1，求解：一、由求例1，求解：例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解:時(shí)，時(shí)，例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解13例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答案：例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答14例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同

C1，C2等表示；(2)根據(jù)原函數(shù)應(yīng)該在分段點(diǎn)連續(xù)確定

C1、

C2的關(guān)系，用同一個(gè)常數(shù)

C表示。二、分段函數(shù)求不定積分：例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同15例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同例3解:例3解:16例3解:例3解:16在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，17在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，自學(xué)解由

處連續(xù)，得：自學(xué)解由處連續(xù)，得：18自學(xué)解由處連續(xù)，得：自學(xué)解由例4定義在R上，求。在連續(xù)解：例4定義在R上，求。在連續(xù)解：19例4定義在R上，求。在連續(xù)解：例4定義在R三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)。三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不20三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：21例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b任意例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b22例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)。②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)解：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不23例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不四、湊微分法：例6求原式=解：四、湊微分法：例6求原式=解：24四、湊微分法：例6求原式=解：四、湊微分法：例6求原式=解：時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=25時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=25例7解求例7解求26例7解求例7解求26例8求解：例8求解：27例8求解：例8求解：27例9求解1例9求解128例9求解1例9求解128例9求解2煩！例9求解2煩！29例9求解2煩！例9求解2煩！29例10（自學(xué)）解例10（自學(xué)）解30例10（自學(xué)）解例10（自學(xué)）解30五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解：五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解31五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解例12原式=解：例12原式=解：32例12原式=解：例12原式=解：32例13，求解：例13，求解：33例13，求解：例13，求解：33例14……遞推公式解：例14……遞推公式解：34例14……遞推公式解：例14……遞推公式解：34六：三角代換

例15原式解：六：三角代換例15原式解：35六：三角代換例15原式解：六：三角代換例15原式例16原式解：例16原式解：36例16原式解：例16原式解：36七、倒代換：例17分母含x的因子，分母x的最高次冪m與分子x的最高次冪n滿足：原式解：七、倒代換：例17分母含x的因子，原式解：37七、倒代換：例17分母含x的因子，原式解：七、倒代換：例17例18原式解：例18原式解：38例18原式解：例18原式解：38不定積分-課件39不定積分-課件39八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：m，n均為偶數(shù)：降次m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或或八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：40八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：41①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：①化為m，n中②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：42②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：②m，③m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或例21解：③m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或例21解：43③m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或例21解：③m，n均為負(fù)九、型（a，b，p，q為常數(shù)）解題方法：求待定常數(shù)A，B，使分母分母九、型（a，b，p，q為常數(shù)）解題方法：求待定常數(shù)A，B，使44九、型（a，b，p，q為常數(shù)）解題方法：求待定常數(shù)A，B，使例22原式=解：例22原式=解：45例22原式=解：例22原式=解：45例23（課外練習(xí)）例23（課外練習(xí)）46例23（課外練習(xí)）例23（課外練習(xí)）46十、兩項(xiàng)都難積分例24一項(xiàng)用分部積分，產(chǎn)生另一項(xiàng)的相反項(xiàng)解：十、兩項(xiàng)都難積分例24一項(xiàng)用分部積分，產(chǎn)生另一項(xiàng)的相反項(xiàng)解：47十、兩項(xiàng)都難積分例24一項(xiàng)用分部積分，產(chǎn)生另一項(xiàng)的相反項(xiàng)解：例25解：例25解：48例25解：例25解：48例26解：例26解：49例26解：例26解：49十一、含抽象函數(shù)的積分例27設(shè)的原函數(shù)是，求或…解：十一、含抽象函數(shù)的積分例27設(shè)的原函數(shù)是，求或…解：50十一、含抽象函數(shù)的積分例27設(shè)的原函數(shù)是，求或…解：十一、含例28求原式=解：例28求原式=解：51例28求原式=解：例28求原式=解：51例28求原式=另解例28求原式=另解52例28求原式=另解例28求原式=另解52化為參數(shù)方程十二、化為參數(shù)方程十二、53化為參數(shù)方程十二、化為參數(shù)方程十二、53例29，其中解題思路：把積分中變量x、y

換為參變量t把轉(zhuǎn)化為解令：則：例29，其中解題思路：把積分中變量x、y換為參變量t54例29，其中解題思路：把積分中變量x、y換為參變量t不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù).。（內(nèi)容提要）不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x55不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念F(x)為f(x二、基本積分公式。二、基本積分公式。56二、基本積分公式。二、基本積分公式。56。。57。。57。。58。。58三、常見(jiàn)湊微分。三、常見(jiàn)湊微分。59三、常見(jiàn)湊微分。三、常見(jiàn)湊微分。59一般地：。一般地：。60一般地：。一般地：。60四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。61四、第二類換元法令1.被積函數(shù)含令。四、第二類換元法令12.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)單）。2.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)622.被積函數(shù)含令令令先配方，再作適當(dāng)變換(有時(shí)用倒代換簡(jiǎn)五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因式若分母含既約因式，則對(duì)應(yīng)的部分因式為…，則對(duì)應(yīng)的部分因式為…。五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因63五、有理函數(shù)真分式的積分:分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解若分母含因六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。64六.分部積分公式注：下列題型用分部積分法；；；；；；。六不定積分（典型例題）不定積分（典型例題）65不定積分（典型例題）不定積分（典型例題）65例1

，求解：一、由求例1，求解：一、由求66例1，求解：一、由求例1，求解：例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解:時(shí)，時(shí)，例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解67例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式.解例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答案：例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答68例2在上定義，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)定義且可導(dǎo)，時(shí)，求，的表達(dá)式。答例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同

C1，C2等表示；(2)根據(jù)原函數(shù)應(yīng)該在分段點(diǎn)連續(xù)確定

C1、

C2的關(guān)系，用同一個(gè)常數(shù)

C表示。二、分段函數(shù)求不定積分：例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同69例3分段函數(shù)不定積分的求法：(1)各段分別積分，常數(shù)用不同例3解:例3解:70例3解:例3解:70在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，71在連續(xù)，在連續(xù)，在連續(xù)，自學(xué)解由

處連續(xù)，得：自學(xué)解由處連續(xù)，得：72自學(xué)解由處連續(xù)，得：自學(xué)解由例4定義在R上，求。在連續(xù)解：例4定義在R上，求。在連續(xù)解：73例4定義在R上，求。在連續(xù)解：例4定義在R三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)。三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不74三、有理函數(shù)的積分：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：75例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)解：例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b任意例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b76例5求a,b,使①不含反正切函數(shù)；不含反正切函數(shù)b例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)。②不含對(duì)數(shù)函數(shù)；③僅含有理函數(shù)解：例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不77例5的結(jié)果中，求常數(shù)a，b的值，使①不含反正切函數(shù)；②不四、湊微分法：例6求原式=解：四、湊微分法：例6求原式=解：78四、湊微分法：例6求原式=解：四、湊微分法：例6求原式=解：時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=79時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=時(shí)，原式=79例7解求例7解求80例7解求例7解求80例8求解：例8求解：81例8求解：例8求解：81例9求解1例9求解182例9求解1例9求解182例9求解2煩！例9求解2煩！83例9求解2煩！例9求解2煩！83例10（自學(xué)）解例10（自學(xué)）解84例10（自學(xué)）解例10（自學(xué)）解84五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解：五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解85五、分部積分法（被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積）例11原式=解例12原式=解：例12原式=解：86例12原式=解：例12原式=解：86例13，求解：例13，求解：87例13，求解：例13，求解：87例14……遞推公式解：例14……遞推公式解：88例14……遞推公式解：例14……遞推公式解：88六：三角代換

例15原式解：六：三角代換例15原式解：89六：三角代換例15原式解：六：三角代換例15原式例16原式解：例16原式解：90例16原式解：例16原式解：90七、倒代換：例17分母含x的因子，分母x的最高次冪m與分子x的最高次冪n滿足：原式解：七、倒代換：例17分母含x的因子，原式解：91七、倒代換：例17分母含x的因子，原式解：七、倒代換：例17例18原式解：例18原式解：92例18原式解：例18原式解：92不定積分-課件93不定積分-課件93八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：m，n均為偶數(shù)：降次m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或或八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：94八、型（m，n為正負(fù)整數(shù)）①化為②③m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：95①化為m，n中至少一個(gè)奇數(shù)：或例19答案：解：①化為m，n中②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：96②m，n均為偶數(shù)：降次例20原式積化和差公式：解：②m，③m，n均為負(fù)偶數(shù)（負(fù)奇數(shù)）：化為或例21解：③