向量組的線性相關(guān)性課件

主要內(nèi)容向量組等價(jià)向量組的線性相關(guān)性用定義判別線性相關(guān)性第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性的判別定理極大線性無(wú)關(guān)組方程組與向量組的關(guān)系的進(jìn)一步研究主要內(nèi)容向量組等價(jià)向量組的線性相關(guān)性用定義判別線性相關(guān)性第一、向量組等價(jià)以下我們總是在一固定的數(shù)域P上的n維向量空間中進(jìn)行，不再每次說(shuō)明了.1.線性表出定義10

向量稱為向量組1,2,…,s的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域P中的數(shù)k1,k2,…,ks,使=k11+k22+…+kss.一、向量組等價(jià)以下我們總是在一固定的數(shù)域P上的n維向這時(shí)也稱向量

可由向量組1,2,…,s

線性表出.2.n

維單位坐標(biāo)向量設(shè)則稱向量1,2,…,n為n

維單位坐標(biāo)向量.這時(shí)也稱向量可由向量組1,2,…,s線性顯然，任一n

維向量=(a1,a2,…,an

)均可由n維單位坐標(biāo)向量線性表出.因?yàn)?a11+a22+…+ann.線性表出的意義在于：若向量可由向量組1,2,…,s線性表出,則在由向量組,1,2,…,

s

所確定的線性方程組中，所對(duì)應(yīng)的方程可由其他方程線性表出，這時(shí)所對(duì)應(yīng)的方程在決定方程組的解的過(guò)程中不起作用，因此它是多余的方程.顯然，任一n維向量=(a1,a2,…,例如，設(shè)有方程組則方程組所對(duì)應(yīng)的向量組為因?yàn)?=31-2，則方程組的第三個(gè)方程是多余的，去掉它也不影響方程組的解.事實(shí)上，第三個(gè)方程等于第一個(gè)方程的3倍減去第二個(gè)方程，所例如，設(shè)有方程組則方程組所對(duì)應(yīng)的向量組為因?yàn)?=31以滿足第一、第二個(gè)方程的解一定滿足第三個(gè)方程也即方程組的解完全由前兩個(gè)方程確定，第三個(gè)方是多余的.3.兩個(gè)向量組等價(jià)的定義定義11

如果向量組

1,2,…,t中每一個(gè)向量i(i=1,2,…,t)都可以經(jīng)向量組1,2,…,s線性表出，那么向量組1,2,…,t就稱為可以經(jīng)向量組1,2,…,

s線性表出.如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).以滿足第一、第二個(gè)方程的解一定滿足第三個(gè)方程也即方程組的解完例如，設(shè)向量組1,2與向量組1,2等價(jià).可4.等價(jià)向量組的性質(zhì)1)反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià).例如，設(shè)向量組1,2與向量組1,2等2)對(duì)稱性：如果向量組1,2,…,t與1,2,…,

s等價(jià)，那么向量組

1,2,…,

s也與1,2,…,t等價(jià).3)傳遞性：如果向量組1,2,…,t與1,2,…,

s等價(jià)，

1,2,…,

s與1,2,…,p等價(jià)那么向量組1,2,…,t與1,2,…,p等價(jià).2)對(duì)稱性：如果向量組1,2,…,二、向量組的線性相關(guān)性1.定義定義12

如果向量組1,2,…,s(s2)中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出，那么向量組1,2,…,s稱為線性相關(guān)的.例如，向量組是線性相關(guān)的，因?yàn)?=31-2.二、向量組的線性相關(guān)性1.定義定義12如果向量從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組的線性相關(guān)的定義還可以用另一種說(shuō)法定義12

向量組1,2,…,s(s1)稱為線性相關(guān)，如果有數(shù)域P中不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使

k11+k22+...+kss=0.從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.定義13

一向量組1,2,…,s(s1)不線性相關(guān)，即沒(méi)有不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使

k11+k22+...+kss=0.就稱為線性無(wú)關(guān)；或者說(shuō)，一向量組1,2,…,s稱為線性無(wú)關(guān)，如果由

k11+k22+...+kss=0可以推出

k1=k2=…=ks=0.定義13一向量組1,2,…,s2.向量組與其部分組的線性相關(guān)性的關(guān)系如果一向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān)；反之，如果一向量組線性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無(wú)關(guān).2.向量組與其部分組的線性相關(guān)性的關(guān)系如果一向量組的一個(gè)3.兩個(gè)特殊向量組線性相關(guān)的充要條件1)

由一個(gè)向量構(gòu)成的向量組A:a線性相關(guān)相關(guān)的充要條件是:a1,a2的分量對(duì)應(yīng)成比例.

如2)

由兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組A:a1,a2線性的充要條件是:

a=0.3.兩個(gè)特殊向量組線性相關(guān)的充要條件向量組:因?yàn)?3a1+a2=所以線性相關(guān).而這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量的比都是1/3.向量組:因?yàn)?3a1+a2=所以線性相關(guān).YOX123456123456圖3-6

4.向量組線性相關(guān)的幾何意義

1)

由兩個(gè)2維向量構(gòu)成的向量組A:a1,a2

M1(1,2)M2(2,4)M3(3,6)在直線y=2x取三點(diǎn)M1,M2,M3,作三個(gè)向量:顯然,這三個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組都是線性相關(guān)的.線性相關(guān)的幾何意義是:a1,a2共線.YOX123456123456圖3-64.

2)

由3個(gè)3維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的向量組a1,a2,a3線性相關(guān),因?yàn)?a1-a2-a3=0.M1M2M3OX3Y3Z3R圖3–7R(0,0,3)

,作三個(gè)向量:=3.在上取四點(diǎn):M1(1,1,1)

,M2(2,0,1),M3(0,2,1),幾何意義是這3個(gè)向量共面.

如給定平面:x+y+z2)由3個(gè)3維向量構(gòu)成的向量組

3)

四維向量組線性相關(guān)的幾何意義

設(shè)有四維向量組有

3=21-2,4=1+22,所以向量組1,四個(gè)平面交于同一條直線.如圖3–8對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組中的四個(gè)方程所表示的2,3,4線性相關(guān),其幾何意義為:該向量組所3)四維向量組線性相關(guān)的幾何意義有2x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-54x-y+9z=-6圖3–82x+3y+z=43x+8y-2z=13x-2y+4z=-5從幾何上講,若四維向量組所對(duì)應(yīng)的平面組同一直線則該向量組一定線性相關(guān).中至少有三個(gè)平面共線,即至少有三個(gè)平面交于從幾何上講,若四維向量組所對(duì)應(yīng)的平面組同一三、用定義判別線性相關(guān)性例1判別n維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性.三、用定義判別線性相關(guān)性例1判別n維單位坐標(biāo)向解設(shè)有n

個(gè)數(shù)k1,k2,…,kn,使

k11+k22+...+knn=0,也就是k1(1,0,…,0)+k2(0,1,…,0)+…+kn(0,0,…,1)=(k1,k2,…,kn)=(0,0,…,0).于是就有k1=k2=…=kn=0.所以

1,

2,…,

n線性無(wú)關(guān).解設(shè)有n個(gè)數(shù)k1,k2,…,kn例2判斷向量組的線性相關(guān)性.解設(shè)有3個(gè)數(shù)x1,x2,x3,使x11+x22+x33=0.這個(gè)向量等式對(duì)應(yīng)的線性方程組為例2判斷向量組的線性相關(guān)性.解設(shè)有3個(gè)用消元法求解得，它有無(wú)窮多解，當(dāng)然有非零解.故向量組1,2,3

線性相關(guān).用消元法求解得，它有無(wú)窮多解，當(dāng)然有非零解.故向量組1,由上述兩個(gè)例子，可以得到用定義判別向量組i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s的線性相關(guān)性的方法是：設(shè)有s個(gè)數(shù)x1,x2,…,xs,使

x11+x22+...+xss=0.該向量方程所對(duì)應(yīng)的線性方程組為由上述兩個(gè)例子，可以得到用定義判別向量組i=(ai1若線性方程組有非零解，則向量組1,2,…,s線性相關(guān)；若它只有零解，則向量組1,2,…,s線性無(wú)關(guān).若線性方程組有非零解，則向量組1,2,…,四、線性相關(guān)性的判別定理判別定理1

設(shè)向量組i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到的n+1維的向量組i=(ai1,ai2,…,ain,ai,n+1),i=1,2,…,s也線性無(wú)關(guān).這個(gè)結(jié)論可以推廣到添幾個(gè)分量的情形.四、線性相關(guān)性的判別定理判別定理1設(shè)向量組i=利用第一節(jié)即得向量組的一個(gè)基本性質(zhì).判別定理2

設(shè)

1,2,…,r與1,2,

…,s是兩個(gè)向量組.如果1)

向量組

1,2,…,r可以經(jīng)1,2,…,s線性表出，2)

r>s,那么向量組1,2,…,r必線性相關(guān).利用第一節(jié)即得向量組的一個(gè)基本性質(zhì).判別定理2證明由1)有為了證明1,2,…,r線性相關(guān)，只要證可以找到不全為零的數(shù)k1,k2,…,kr

,使

k11+k22+...+krr=0.為此，作線性組合

x11+x22+...+xrr=證明由1)有為了證明1,2,…,r線如果我們能找到不全為零的數(shù)x1,x2,…,xr

,使1,2,…,s的系數(shù)全為零，那就證明了1,2,…,r線性相關(guān)性.這一點(diǎn)是能夠做到的，因?yàn)橛蓷l件2)，即r>s，齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，根據(jù)它有非零解.證畢如果我們能找到不全為零的數(shù)x1,x2,…,xr把推論1

如果向量組1,2,…,r可以經(jīng)1,2,…,s線性表出，且1,2,…,r線性無(wú)關(guān)，那么r

s.直接應(yīng)用定理2，即得：推論2

任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān).證明因?yàn)槊總€(gè)n維向量都可以被n維單位向量1,2,…,n,線性表出，且n+1>n,所以必線性相關(guān).證畢換個(gè)說(shuō)法，即得：把推論1如果向量組1,2,…,r由推論1，得：推論3

兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理2的幾何意義在三維向量的情形，如果s=2,那么可以由向量1,2線性表出的向量都在1,2所在的平面上,因而這些向量是共面的，也就是，當(dāng)r>2時(shí)，這些向量線性相關(guān).兩個(gè)向量組1,2與1,2等價(jià)就意味著它們?cè)谕黄矫嫔?由推論1，得：推論3兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組五、極大線性無(wú)關(guān)組1.定義定義14

一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線性無(wú)關(guān)并且從這向量組中任意添一個(gè)向量(如果還有的話)所得的部分向量組都線性相關(guān).五、極大線性無(wú)關(guān)組1.定義定義14一個(gè)向量組的例3設(shè)有向量組驗(yàn)證部分組1,2、2,3、1,3都是它的極大線性無(wú)關(guān)組.解因?yàn)閮蓚€(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是它們的分量對(duì)應(yīng)成比例.而向量組1,2,3中任意兩個(gè)向量的分量都不成比例，所以向量組1,2、2,3、1,3都是線性無(wú)關(guān)的.又因?yàn)橄蛄拷M1,2,3線性相關(guān)(它們都是1,2,3的極大線性無(wú)關(guān)組.),因此，例3設(shè)有向量組驗(yàn)證部分組1,2、2,這個(gè)例子說(shuō)明，一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不是唯一的，但是它的所有極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同.于是可得到極大線性無(wú)關(guān)組的性質(zhì).2.性質(zhì)性質(zhì)1

任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià).由性質(zhì)1可推出如下結(jié)論：一向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的.這個(gè)例子說(shuō)明，一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不是唯一的，但是它的定理3

一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.證明由前的討論知，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的，再由定理2的兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同.由此即得定理3.證畢定理3一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量3.向量組的秩定義15

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.例如，向量組的秩為2.關(guān)于向量組的秩，有以下結(jié)論：3.向量組的秩定義15向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所1)

一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.2)

等價(jià)的向量組必有相同的秩.3)全部由零向量組成的向量組沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組，規(guī)定其秩為零.1)一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩與它所含向量六、方程組與向量組設(shè)有線性方程組它所對(duì)應(yīng)的向量組為i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s的關(guān)系的進(jìn)一步研究六、方程組與向量組設(shè)有線性方程組它所對(duì)應(yīng)的向量組為i=設(shè)另有一個(gè)方程b1x1+b2x2+…+bnxn=d,(B)它對(duì)應(yīng)的向量為=(b1,

b2,…,bn,d).則是1,2,…,s的線性組合=l11+l22+…+lss

B=l1(A1)+l2(A2)+…+ls(As),當(dāng)且僅當(dāng)即方程(B)是方程(A1),(A2),…,(As)的線性組合.容易驗(yàn)證，方程組(A1),(A2),…,(As)的解一定滿足方程(B).設(shè)另有一個(gè)方程b1x1+b2x2+…+bnxn進(jìn)一步設(shè)方程組它對(duì)應(yīng)的向量組為1,2,…,r,若1,2,…,r

可經(jīng)1,2,…,s線性表出，則方程組(A1),(A2),…,(