復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù)第1頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示.但是這種情況在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.z0R1R2第2頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:第3頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對(duì)負(fù)冪項(xiàng),如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當(dāng)|z-z0|>R1時(shí),即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.第4頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問(wèn),在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?先看下例.第5頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1Oxy第6頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù):1Oxy第7頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理(Laurent展開(kāi)定理)

設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.第8頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[證]設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn),在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2,K2的半徑R大于K1的半徑r,且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0第9頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由多連通域的柯西積分公式得R1R2zrK1zRK2zz0第10頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月R1R2zrK1zRK2zz0第11頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月唯一性：一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的。這個(gè)級(jí)數(shù)被稱(chēng)為f(z)的洛朗級(jí)數(shù).根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi),以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)式.第13頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：函數(shù)f(z)在圓環(huán)域i)0≤|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+內(nèi)是處處解析的,應(yīng)把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).xyO1xyO12xyO2第14頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先把f(z)用部分分式表示:第15頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ii)在1<|z|<2內(nèi)：第16頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月iii)在2<|z|<+內(nèi):第17頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2把函數(shù)[解]因有第18頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式（即可利用Laurent系數(shù)計(jì)算積分）

其中C為圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,

f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析.第19頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例