福建省龍巖市連城縣姑田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省龍巖市連城縣姑田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于半徑為的半球O，四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時，AB的長是（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點】LR：球內(nèi)接多面體．【分析】設(shè)AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，利用導(dǎo)數(shù)，得到該正四棱柱體積的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)AB=a，BB1=h，則OB=a，連接OB1，OB，則OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，當(dāng)0＜h＜1時，V′＞0，1＜h＜時，V′＜0，∴h=1時，該四棱柱的體積最大，此時AB=2．故選：D．2.若集合，，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D試題分析：由題意，．故選D．考點：集合的運(yùn)算．3.若，則A． B． C． D．參考答案：B故答案為B.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．1 B．3 C．7 D．15參考答案：C【考點】程序框圖．

【專題】算法和程序框圖．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的k值，計算輸出的S值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循環(huán)的k值為3，∴輸出S=1+2+4=7．故選：C．【點評】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵．5.已知函數(shù)，且，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.設(shè)集合，則下列關(guān)系中正確的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知等比數(shù)列的前項和為，若，且滿足，則使的的最大值為（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

參考答案：D略9.已知m為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是（▲）A.若

B.若則C.若

D.若參考答案：D選項A中，若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，故A錯誤；選項B中，若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β，故B錯誤．選項C中，若m∥α，α⊥β，則m與β平行或相交或m?β，故C錯誤；選項D中，若m⊥α，α∥β，則由直線與平面垂直的判定定理知m⊥β，故D正確；

10.已知集合，，則（）

A．B．C．D．參考答案：B,，所以,

選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36參考答案：B本題主要考查線性規(guī)劃問題.作出約束條件所表示的可行域如圖，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點A處取到最大值，解得故選B。12.某工廠生產(chǎn)的、、三種不同型號的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為,為研究這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的、、三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為的樣本，若樣本中型產(chǎn)品有件，則的值為

．參考答案：試題分析：因,故,應(yīng)填.考點：分層抽樣的方法和計算．13.若在R上可導(dǎo),,則____________.參考答案：-18略14.設(shè)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

．參考答案：１略15.若關(guān)于x的不等式的解集恰好是，則

．參考答案：4【詳解】試題分析：設(shè)，對稱軸為，此時，有題意可得;,且，由，解得：（舍去）或，可得，由拋物線的對稱軸為得到，所以考點：二次函數(shù)的性質(zhì)二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．16.如果直線和函數(shù)的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍

.參考答案：【知識點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．B6

H3【答案解析】[]．

解析：函數(shù)f（x）=mx+1+1的圖象恒過點（﹣1，2），代入直線2ax﹣by+14=0可得﹣2a﹣2b+14=0，即a+b=7．∵定點始終落在圓（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的內(nèi)部或圓上，∴a2+b2≤25設(shè)=t，則b=at，代入a+b=7，∴a=代入a2+b2≤25可得，∴12t2﹣25t+12≤0，∴．故答案為：[]．【思路點撥】求出函數(shù)恒過的定點，代入直線方程，及圓的方程，再換元，轉(zhuǎn)化為t的不等式，即可求出的取值范圍.17.若λ為實數(shù)，若關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則λ的取值范圍是．參考答案：[0，]【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】移項得=x﹣2，求出右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性和值域，根據(jù)方程有解可判斷出解的范圍，利用函數(shù)圖象得出不等式從而得出λ的范圍．【解答】解：∵，∴=x﹣2，令f（x）=x﹣2（x≥1或x≤﹣1），顯然當(dāng)x≤﹣1時，f（x）＜0，∴方程=x﹣2無解，當(dāng)x≥1時，f′（x）=1﹣=，∵x2﹣1﹣4x2=﹣3x2﹣1＜0，∴x2﹣1＜4x2，即＜2x，∴f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，令f（x）=0得x=2，解得x=，∴當(dāng)1≤x≤時，f（x）≥0，當(dāng)x時，f（x）＜0，∴方程=x﹣2的解必在區(qū)間[1，]上．令g（x）=（1≤x≤），（1）當(dāng)λ=0時，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，∴x=1為方程=x﹣2的解，符合題意；（2）當(dāng)λ＜0時，g（x）=＞g（1）=＞1，而f（x）≤f（1）=1，∴方程=x﹣2無解，不符合題意；（3）當(dāng)λ＞0，令y=g（x）=，則，∴g（x）的圖象為等軸雙曲線右支在第一象限內(nèi)的部分（含右頂點），雙曲線的右頂點為（，0），做出f（x）和g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：∵方程g（x）=f（x）在[1，]上有解，∴0＜，即0＜λ≤．綜上，0≤λ≤．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（15分）（2015?東陽市模擬）函數(shù)f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若時，求f（sinθ）的最大值；（2）設(shè)a＞0時，若對任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值為2，求f（x）的表達(dá)式．參考答案：考點： 復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．

專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（0，﹣1），進(jìn)而可得ab的值，可得解析式．解答： 解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，拋物線開口向上，二次函數(shù)的對稱軸，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，則|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]時，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，結(jié)合f（0）=﹣1可知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．點評： 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角換元和等價轉(zhuǎn)化，屬中檔題．19.已知（為常數(shù)）．（1）求的遞增區(qū)間；（2）若時，的最大值為4，求的值（3）求出使取最大值時的集合．

參考答案：（1）由，所以所以，遞增區(qū)間為．

（2）在的最大值為，，所以．

（3）由，得，所以．

20.（本小題滿分12分）已知向量，設(shè)函數(shù)（I）求在區(qū)間上的零點；（II）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍．參考答案：【知識點】余弦定理的應(yīng)用；平面向量的綜合題．C8

【答案解析】（I）、；（II）.解析：因為向量，函數(shù).所以

3分（I）由，得.，，又，或.所以在區(qū)間上的零點是、.

6分（II）在中，，所以.由且，得

10分，

12分【思路點撥】（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，再求f（x）在區(qū)間上的零點；（Ⅱ）利用余弦定理，結(jié)合，基本不等式，可得B的范圍，再求f（B）的取值范圍．21.已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將沿DE折起，如圖所示，記二面角的大小為

（1）證明：（2）若為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的身影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角的正弦值.參考答案：（1）見證明；（2）【分析】（1）沿折起，其它邊不變，可知且，則有四邊形為平行四邊形，那么，又由于，，故；（2）解法一：過點A作，垂足為G，連接，由于，則有，故點A在CD的中垂線EF上，過點作，垂足為，連接，由已知得，故，則即是，設(shè)原正方形的邊長為，根據(jù)已知邊和角的關(guān)系可以求得；方法三：點在平面內(nèi)的射影在直線上證法同法一，建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，進(jìn)而得到?！驹斀狻拷猓海?）證明：分別是正方形的邊的中點，∴且，則四邊形為平行四邊形，∴.又，而，∴

（2）解法一：過點作，垂足為，連接.∵為正三角形，，∴，∴在垂直平分線上，又∵是的垂直平分線，∴點在平面內(nèi)的射影在直線上過點作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.設(shè)原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，，∴直角三角形，，∴.在中，，∴，則，即.解法二：點在平面內(nèi)的射影在直線上，連接，在平面內(nèi)過點作，垂足為∵為正三角形，為的中點，∴.又∵，∴.∵，∴又∵且，∴∴為在平面內(nèi)的射影，∴點在平面內(nèi)的射影在直線上過點作，垂足為，連接，則，∴是二面角的平面角，即.設(shè)原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，，∴為直角三角形，，∴.在中，，∴，則，即.解法三：（同解法一）點在平面內(nèi)的射影在直線上，如圖，連接，以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過點作平行于的向量為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形的邊長為，連接，.所以，，，，.又平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為.則，即，所以所以，即.【點睛】本題考查空間向量與立體幾何的相關(guān)知識，是?？碱}型。22.如圖，橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓交于A、B兩點，直線n：x＝4與x軸相交于點E，點M在直線n上，且滿足BM∥x軸．(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)證明：直線AM經(jīng)過線段EF的中點．參考答案：(1)直線AM的方程為y＝－x＋或y＝x－；(2)見證明【分析】（1）直線l與x軸垂直，可得直線l的方程，從而求解出點的坐標(biāo)，由BM∥x軸可得點坐標(biāo)，從而得出直線AM的方程；（2）要證直線AM經(jīng)過線段EF的中點，即證A，N，M三點共線，即證，設(shè)出兩點，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理從而得證.【詳解】解：(1)由c＝＝1，∴F(1，0)，∵直線l與x軸垂直，∴x＝1，由，解得：故當(dāng)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，此時直線AM的斜率為，直線AM的方程為，∴直線AM的方程為y＝－x＋；當(dāng)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，此時直線AM的斜率為，直線AM的方程為，∴直線AM的方程為y＝x－；故直線AM的方程為y＝－x＋或y＝x－；(