湖北省黃石二中等三校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．2332．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．3．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．6本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語文書分給9個(gè)人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．7．過三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則（）A．2 B．8 C．4 D．108．某人射擊一次命中目標(biāo)的概率為，則此人射擊6次，3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為（）A． B． C． D．9．已知方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實(shí)軸長為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．古印度“漢諾塔問題”：一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤（如圖），將A柱上的金盤全部移到B柱上，至少需要移動(dòng)次數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．1112．用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則5和6在兩端，1和2相鄰的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的定義域?yàn)開___________.14．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．(有數(shù)字填寫答案)15．已知雙曲線，的焦點(diǎn)分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為___________．16．設(shè)集合，，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，四邊形為菱形，，平面，，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面（Ⅱ）求證：（Ⅲ）若為線段上的點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求的值.19．（12分）“微信運(yùn)動(dòng)”是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號(hào).用戶可以通過關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己及好友每日行走的步數(shù)、排行榜，也可以與其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的或點(diǎn)贊.現(xiàn)從某用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)選取40人，記錄他們某一天的行走步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人數(shù)/人16954女性人數(shù)/人03642規(guī)定：用戶一天行走的步數(shù)超過8000步時(shí)為“運(yùn)動(dòng)型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運(yùn)動(dòng)型”用戶的頻率看作隨機(jī)抽取1人為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的概率.從該用戶的“微信運(yùn)動(dòng)”朋友圈中隨機(jī)抽取4人，記為“運(yùn)動(dòng)型”用戶的人數(shù)，求和的數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運(yùn)動(dòng)型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運(yùn)動(dòng)型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人，記選到“運(yùn)動(dòng)型”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）某研究性學(xué)習(xí)小組為了調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)抽取了30名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如表：玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀8學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16合計(jì)30已知在全部的30人中隨機(jī)抽取1人，抽到不玩手機(jī)的概率為.（1）請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響；（3）現(xiàn)從不玩手機(jī)，學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的8名學(xué)生中任意選取兩人，對(duì)他們的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行全程跟蹤，記甲、乙兩名學(xué)生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．21．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m∈N*），經(jīng)過點(diǎn)（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（10分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)x＝1時(shí)，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【詳解】對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了賦值法求解二項(xiàng)展開式的系數(shù)和的方法，利用導(dǎo)數(shù)得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關(guān)鍵．2、B【解析】分析：利用乘法分步計(jì)數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點(diǎn)睛：(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．3、A【解析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'【詳解】當(dāng)函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關(guān)系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。4、A【解析】先分語文書有種，再分?jǐn)?shù)學(xué)書有，故共有=，故選A.5、D【解析】

根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后利用根的分布情況，進(jìn)行計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】，令，方程有兩個(gè)不等正根，，則：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.6、C【解析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．7、C【解析】

由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點(diǎn)：圓的方程．8、C【解析】

根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，可得這名射手射擊命中3次的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響，故此人射擊6次，3次命中的概率為，恰有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率為，故此人射擊6次，3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，熟記概念和公式即可，屬于?？碱}型.9、A【解析】分析：由于是偶函數(shù)，因此只要在時(shí)，方程有2個(gè)根即可．用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值．詳解：由于是偶函數(shù)，所以方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根．設(shè)，則，∴時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，取得極大值也是最大值，又時(shí)，，時(shí)，，所以要使有兩個(gè)根，則．故選A．點(diǎn)睛：本題考查方程根的分布與函數(shù)的零點(diǎn)問題，方程根的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如能采用分離參數(shù)法，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值或值域．10、A【解析】

根據(jù)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與直線，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)。由于，根據(jù)相似可得，又因?yàn)殡p曲線的對(duì)稱性，，故，則，整理得到，進(jìn)一步求得離心率?！驹斀狻吭O(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，根據(jù)點(diǎn)差法可得，即，雙曲線的實(shí)軸長為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對(duì)稱性，，，，，故選A【點(diǎn)睛】本題考察雙曲線離心率問題，出現(xiàn)弦中點(diǎn)考慮點(diǎn)差法，面積比值可以利用相似轉(zhuǎn)化為邊的比值，以此簡化計(jì)算11、B【解析】

設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an，則a【詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為an要把最下面的第n個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上，則必須把上面的n-1個(gè)金盤移到余下的一個(gè)柱子上，故至少需要移動(dòng)an-1把第n個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上后，再把n-1個(gè)金盤移到該柱子上，故又至少移動(dòng)an-1次，所以aa1=1，故a2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.12、A【解析】

特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排，然后再分析剩余元素的排列.【詳解】先排，方法有：種；將捆綁在一起，方法有：種；將這個(gè)整體和以及全排列，方法有：種，所以六位數(shù)的個(gè)數(shù)為：個(gè)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，難度一般.在排列組合的過程中，一般我們要注意：特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排這樣一個(gè)原則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】由題解得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，屬于基礎(chǔ)題．14、16【解析】展開式的次項(xiàng)與形成常數(shù)項(xiàng)，展開式的常數(shù)項(xiàng)和1形成常數(shù)項(xiàng)，所以展開式的次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為1，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為15+1=1615、【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號(hào)的條件為，即，第二次取等號(hào)的條件為，即.的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

先求，再求.【詳解】,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于簡單題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

（1）由題意結(jié)合遞推關(guān)系式可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得.錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）①②①-②得，則，在①式中，令，得.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.（2）.所以，③則，④③-④得，，.【點(diǎn)睛】一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．18、(1)證明見解析.(2)證明見解析.(3).【解析】分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)EO，MO，推導(dǎo)出四邊形EOMF為平行四邊形，從而FM∥EO．由此能證明FM∥平面BDE；（2）推導(dǎo)出AC⊥BD，ED⊥AC，從而AC⊥平面BDE，由此能證明AC⊥BE；（Ⅲ）過G作ED的平行線交BD于H，則GH⊥平面ABCD，GH為三棱錐G﹣BCD的高，三棱錐G﹣BCD的體積，由此能求出的值．詳解：（Ⅰ）設(shè),連結(jié).由已知分別是的中點(diǎn)，因?yàn)?且,所以,且，所以,且.所以平行四邊形為平行四邊形所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面（Ⅱ）因?yàn)闉榱庑?，所以因?yàn)槠矫?所以因?yàn)?所以平面又因?yàn)槠矫?所以（Ⅲ）過作的平行線交于.由已知平面，所以平面.所以為三棱錐的高.因?yàn)槿忮F的體積為，所以三棱錐的體積所以所以.所以.點(diǎn)睛：本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查兩線段比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問題；或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時(shí)候.19、（1），（2）分布列見解析，【解析】分析：（1）由題意可知，“運(yùn)動(dòng)型”的概率為，且,由此可求求和的數(shù)學(xué)期望；（2）由題意可知，的所有取值為，求出相應(yīng)的概率，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）由題意可知，“運(yùn)動(dòng)型”的概率為，且,則，.（2）由題意可知，的所有取值為，相應(yīng)的概率分別為：,，，，所以的分布列為：2345.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布，超幾何分布及其期望，屬基礎(chǔ)題.20、（1）填表見解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響（3）見解析【解析】

（1）由題意30人中，不玩手機(jī)的人數(shù)為10，由題意能將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整．（2）求出K210＞7.879，從而能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【詳解】（1）由題意30人中，不玩手機(jī)的人數(shù)為：3010，由題意將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成