高中數(shù)學(xué)(人教A版)選修2-3之-132楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(一)課件

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開(kāi)2展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

………………二項(xiàng)式系數(shù)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：11123(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)(a+b)1………14這個(gè)表稱(chēng)為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書(shū)里，還說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這個(gè)表稱(chēng)為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書(shū)里，還說(shuō)5二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次6二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱(chēng)性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱(chēng)軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性7二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值由于：所以相對(duì)于8二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值由：二項(xiàng)式系數(shù)9二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間10（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫(xiě)成：這是組合總數(shù)公式．

（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令11

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)（112初步訓(xùn)練、選擇填空：1.(1﹣x)13的展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)是（）(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一個(gè)燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CD4或5初步訓(xùn)練、選擇填空：1.(1﹣x)13的展開(kāi)式中系數(shù)13課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；課堂練習(xí)：14

例1

證明在的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．例1證明在的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式154項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)．例2

已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開(kāi)式中x16

例3：的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。變式引申：1、的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（）A.第4項(xiàng)B.第4、5項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第3、4項(xiàng)2、若展開(kāi)式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于()A.210B.120C.461D.416例3：的展17例4、若展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)；（2）展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)；（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。例4、若181、已知的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4.已知(1+)n展開(kāi)式中含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展開(kāi)式中第4項(xiàng)為106，求x的值.1、已知19作業(yè)作業(yè)本1.3.2（1）（1）二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì)。（2）數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想。a單調(diào)性；b圖象；c最值。（3）數(shù)學(xué)方法：賦值法、遞推法研究題：求二項(xiàng)式(x+2)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，試歸納出求形如(ax+b)n

展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)的方法或步驟。小結(jié)作業(yè)作業(yè)本1.3.2（1）（1）二項(xiàng)