最優(yōu)估計(jì)與濾波課件

最優(yōu)估計(jì)與濾波教材-----無參考書-----1、最優(yōu)估計(jì)及其應(yīng)用

賈沛璋、朱征桃編著科學(xué)出版社1984年2、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)謝緒愷編著遼寧人民出版社1980年

3、隨機(jī)信號(hào)處理與控制基礎(chǔ)羅傳翼編著化工出版社2002年4、隨機(jī)信號(hào)估計(jì)與系統(tǒng)控制徐壽寧編著北京工業(yè)大學(xué)出版社2001年最優(yōu)估計(jì)與濾波教材-----無1第一章緒論二、本課程的基本要求一、本課程的任務(wù)和意義1、首先解決系統(tǒng)控制的數(shù)學(xué)模型問題(參數(shù)估計(jì))2、解決隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制中的狀態(tài)估計(jì)問題

總學(xué)時(shí)36學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)10學(xué)時(shí)。1、要求能夠?qū)崟r(shí)采集一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并能夠利用離線和在線的算法估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)。2、利用MATLAB軟件進(jìn)行卡爾曼濾波的仿真實(shí)驗(yàn)。第一章緒論二、本課程的基本要求一、本課程的任務(wù)和2一、系統(tǒng)控制的數(shù)學(xué)模型問題系統(tǒng)辨識(shí)法機(jī)理推導(dǎo)法優(yōu)點(diǎn)：參數(shù)具有物理意義缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型復(fù)雜(高階)，在對(duì)系統(tǒng)機(jī)理了解不多的情況下,不適用優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型簡單實(shí)用，不需要對(duì)系統(tǒng)機(jī)理了解缺點(diǎn)：參數(shù)不具有物理意義一、系統(tǒng)控制的數(shù)學(xué)模型問題系統(tǒng)辨識(shí)法機(jī)理推導(dǎo)法優(yōu)點(diǎn)：參數(shù)具有3被測系統(tǒng)估計(jì)器等價(jià)系統(tǒng)uye_計(jì)算機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)原理數(shù)據(jù)采集數(shù)據(jù)采集yu被測系統(tǒng)估計(jì)器等價(jià)系統(tǒng)uye_計(jì)算機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)原理數(shù)據(jù)采集數(shù)據(jù)4二、隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制中的狀態(tài)估計(jì)問題1、狀態(tài)可測、無隨機(jī)干擾2、狀態(tài)不可測、無隨機(jī)干擾確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制狀態(tài)不可測,有隨機(jī)干擾二、隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制中的狀態(tài)估計(jì)問題1、狀態(tài)可測、無隨機(jī)干擾5BA∫C–R-1BTPrBuKKXu1、狀態(tài)可測2、無隨機(jī)干擾狀態(tài)反饋1、確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制(狀態(tài)可測，無隨機(jī)干擾）--------有限時(shí)間的二次型最優(yōu)控制已知狀態(tài)方程BA∫C–R-1BTPrBuKKXu1、狀態(tài)可測2、無隨機(jī)干6求解：性能指標(biāo)邊界條件固定，自由約束條件無約束時(shí)，用最小值原理1、作哈密頓函數(shù)求解：性能指標(biāo)邊界條件固定，自由約束條件無約束時(shí)，用最小值原72、建立極值條件由于開集所以即移項(xiàng)得左乘得3、建立正則方程﹛狀態(tài)方程伴隨方程R、B都是已知矩陣，故只要求得λ

，就可求出u*，為求λ必須解正則方程（1）（2）2、建立極值條件由于開集所以即移項(xiàng)得左乘得3、建立正則方程﹛8為了利用線性狀態(tài)反饋的辦法達(dá)到最優(yōu)控制的目的，通常希望將λ表達(dá)為X的線性函數(shù)即簡記為對(duì)（4）求導(dǎo)得代入正則方程得﹛（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）將（4）（5）將(7)→(6)即也即(10)式就是著名的里卡提矩陣微分方程，解這個(gè)矩陣微分方程就可解出P.為了利用線性狀態(tài)反饋的辦法達(dá)到最優(yōu)控9解里卡提矩陣微分方程必須要有邊界條件,這個(gè)邊界條件可由推出,由(3)式可知由于必有解出P→解出λ→解出u*,最后得4、解里卡提方程解里卡提矩陣微分方程必須要有邊界條件,這個(gè)邊界條件可由10BA∫C–R-1BTPrBuKu狀態(tài)觀測器1、狀態(tài)不可測2、無隨機(jī)干擾K-----狀態(tài)估計(jì)值2、確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制(狀態(tài)不可測，無隨機(jī)干擾）--------有限時(shí)間的二次型最優(yōu)控制BA∫C–R-1BTPrBuKu狀態(tài)觀測器1、狀態(tài)不可測2、11BA∫C–R-1BTPrBuKKu卡爾曼濾波器（狀態(tài)估計(jì)器）1、狀態(tài)不可測2、有隨機(jī)干擾隨機(jī)干擾3、隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制（狀態(tài)不可測，有隨機(jī)干擾）隨機(jī)干擾BA∫C–R-1BTPrBuKKu卡爾曼濾波器1、狀態(tài)不可測12補(bǔ)充隨機(jī)過程簡介§X-1隨機(jī)過程例1階躍響應(yīng)曲線族（連續(xù)型）階躍響應(yīng)曲線的測試補(bǔ)充隨機(jī)過程簡介§X-1隨機(jī)過程例13例2射擊運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練成績分布圖（離散型）k···············k···············例2射擊運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練成績分布圖（離散型）k······14§X-2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述

由于隨機(jī)過程在每一個(gè)時(shí)刻都是隨機(jī)變量，所以，對(duì)于隨機(jī)變量的所有描述方法也適用于隨機(jī)過程。一、分布函數(shù)和概率密度函數(shù)族給定一個(gè)隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}，對(duì)于每一固定時(shí)刻t∈T，都是一個(gè)隨機(jī)變量，都存在一維分布函數(shù)；對(duì)于每n個(gè)固定時(shí)刻t1,t2,…，tn∈T，都是n個(gè)隨機(jī)變量，都存在

n維聯(lián)合分布函數(shù)，即

如果上述分布函數(shù)是連續(xù)可微的，則可以定義隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}的一維概率密度函數(shù)和

n維聯(lián)合概率密度函數(shù)，即

§X-2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述15

由于上述時(shí)間t∈T和t1，t2，…，tn是任意的，故與一般的隨機(jī)變量不同的是，上述函數(shù)既是隨機(jī)變量取值(實(shí)值函數(shù))的函數(shù)，也是時(shí)間的函數(shù)。對(duì)于任意有限個(gè)時(shí)刻t1，t2，…，tn∈

T，上述分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的集合(n=l，2，…)分別稱為有限維概率分布函數(shù)族和有限維概率密度函數(shù)族，簡稱為有限維分布和有限維密度函數(shù)。它們?nèi)娴孛枋隽穗S機(jī)過程。二、數(shù)學(xué)期望函數(shù)和方差函數(shù)

從理論上來說，只有當(dāng)n維分布函數(shù)族(或概率密度函數(shù)族)對(duì)所有的n(n=l，2，3,…)都已知，隨機(jī)過程才完全被確定。但與隨機(jī)變量相類似，對(duì)于實(shí)際生活中的隨機(jī)過程，除了較特殊的情況外，往往較難求n(n=1，2，3，…)維分布函數(shù)族或概率密度函數(shù)族。人們往往更多地使用數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程。它們盡管不能像有限維分布那樣全面描述隨機(jī)過程，但也能分別描述隨機(jī)過程各方而的重要特征，而且比較容易求出。

隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}在每一時(shí)刻都是隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望μX(t)=E[X(t)],t∈T

是時(shí)間的函數(shù)，定義為該隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望函數(shù)(均值函數(shù))，簡稱為期望函數(shù)，它表示隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}的所有樣本的某種概率平均.

由于上述時(shí)間t∈T和t116與一維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征均值函數(shù)均方值函數(shù)方差函數(shù)與一維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征均值函數(shù)均方值函數(shù)方差函數(shù)17與二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)與二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)18隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望函數(shù)隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}每一時(shí)刻的方差即

定義為該隨機(jī)過程的方差函數(shù),它表示隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}

對(duì)于數(shù)學(xué)期望函數(shù)μX(t)的偏離程度。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望函數(shù)隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}每19同樣，可定義隨機(jī)過程的其他幾個(gè)數(shù)字特征，如均方值函數(shù)（均值函數(shù)為零時(shí)的方差函數(shù)）不同隨機(jī)過程的方差函數(shù)同樣，可定義隨機(jī)過程的其他幾個(gè)數(shù)字特征，如均方值函數(shù)（均值函20三、協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過程{X（t），T∈T}在某兩個(gè)固定時(shí)刻t1和t2的狀態(tài)之間的關(guān)系可用這兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)的協(xié)方差來描述，即

這里的t1和t2的函數(shù)CX(t1，t2)，tl，t2∈T稱為隨機(jī)過程{X（t），T∈T}的協(xié)方差函數(shù)。例圖(a)中，對(duì)于大部分樣本，都有三、協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過程{X（21在圖(b)中則不存在上述關(guān)系，故由式(1-1)，對(duì)于圖中相同的時(shí)間間隔，t1~t2，有通常，稱圖(a)的過程X(t)相關(guān)性強(qiáng)，意思是不同時(shí)刻的狀態(tài)之間聯(lián)系強(qiáng)；而稱圖(b)的過程y(t)相關(guān)性弱，意思是不同時(shí)刻的狀態(tài)之間聯(lián)系弱。相關(guān)性的強(qiáng)弱也可以理解為隨機(jī)樣本的變化是緩慢還是激烈。同理，通常t1和t2越接近，則協(xié)方差函數(shù)的值越大，t1和f2時(shí)刻狀態(tài)的聯(lián)系越密切；反之，當(dāng)t1和t2遠(yuǎn)離時(shí)，通常協(xié)方差函數(shù)趨于零或很小。例:隨機(jī)過程的任意兩個(gè)狀態(tài)x(t1)與x(t2)相互獨(dú)立，試求協(xié)方差函數(shù)。

解兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于各自的概率密度函數(shù)之積，即故協(xié)方差函數(shù)為

在圖(b)中則不存在上述關(guān)系，故由式22依概率收斂于1依概率收斂于123四、相關(guān)函數(shù)綜上所述，協(xié)方差函數(shù)CX(t1,t2)表示了隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}兩狀態(tài)間的統(tǒng)計(jì)依賴程度。特別地，當(dāng)t1=t2=t，則式(1．1)為即同一時(shí)刻的協(xié)方差函數(shù)就是方差函數(shù).協(xié)方差函數(shù)CX(t1,t2)可寫為上式中的定義為隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}的相關(guān)函數(shù)四、相關(guān)函數(shù)綜上所述，協(xié)方差函數(shù)24五、二階矩過程與相關(guān)理論

上述數(shù)字特征中最重要的是數(shù)學(xué)期望函數(shù)μX(t)和相關(guān)函數(shù)

RX(t)(或協(xié)方差函數(shù))，其他的數(shù)字特征都可以由它們算出。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望函數(shù)稱為過程的一階矩，方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)稱為過程的二階矩。如果隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}的一、二階矩存在(即其值有限)，則稱該隨機(jī)過程為二階矩過程。從二階矩過程的數(shù)學(xué)期望函數(shù)和相關(guān)函數(shù)出發(fā)討論過程的性質(zhì)，而允許不涉及它的n(n=l，2，…)個(gè)時(shí)刻的n維分布，這種理論稱為隨機(jī)過程的相關(guān)理論

五、二階矩過程與相關(guān)理論25最優(yōu)估計(jì)與濾波ppt課件26六、互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(t)和Y(t)，t是定義在同一樣本空間S和同一參數(shù)集T上的隨機(jī)過程，則稱{X(t)，Y(t)，t∈T}為二維隨機(jī)過程。對(duì)于二維隨機(jī)過程{X(t)，Y(t)，t∈T}除了X(t)和Y(t)各自的數(shù)字特征外，最重要的表示X(t)和Y(t)之間統(tǒng)計(jì)依存關(guān)系的數(shù)字特征是X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)即六、互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)27和X（t）和Y（t）的互協(xié)方差函數(shù)即上式可變形為

即互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之差是一個(gè)與t1，t2有關(guān)的數(shù)，如果X（t）和Y（t）之一為零均值，則二者相等?；ハ嚓P(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)表示了隨機(jī)過程X（t）在t1時(shí)刻的狀態(tài)和Y（t）在t2時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)依存關(guān)系。如果對(duì)任意時(shí)刻t1，t2，…，tm。和t’1,t’2,…,t’n,(m，n為任意正整數(shù))，由隨機(jī)過程X（t）和Y（t）的狀態(tài)所構(gòu)成的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)滿足則稱X（t）和Y（t）是相互獨(dú)立的隨機(jī)過程.和X（t）和Y（t）的互協(xié)方差函數(shù)即上式可變形為28§X-3正態(tài)隨機(jī)過程

二階矩過程中，最重要也是最簡單的就是正態(tài)隨機(jī)過程。一、正態(tài)隨機(jī)向量

為了討論正態(tài)隨機(jī)過程，首先需要復(fù)習(xí)概率論中學(xué)過的正態(tài)隨機(jī)向量。例：在概率論中曾討論過二維正態(tài)隨機(jī)向量

后一個(gè)式子表示其樣本。設(shè)Xl和X2的期望分別為μ1和μ2，方差分別為和，X1和X2的相關(guān)系數(shù)ρ為

則其概率密度函數(shù)為(1-9)§X-3正態(tài)隨機(jī)過程29為了使形式更簡單，設(shè)法用矩陣形式來表示上式。X的協(xié)方差矩陣為為了使形式更簡單，設(shè)法用矩陣形式來表示上式。X的協(xié)方差矩陣30一般地，如果n維隨機(jī)向量X=（x1x2…xn)T的概率密度函數(shù)為

且Cov(X)正定，則稱X為n維正態(tài)隨機(jī)向量，記作X~N[μx，Cov(X)]要注意的是，盡管這里有n個(gè)隨機(jī)標(biāo)量，但卻只涉及一、二階矩。正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)式(1.13)與正態(tài)隨機(jī)標(biāo)量的概率密度即

(1.13)具有類似的形式。

一般地，如果n維隨機(jī)向量X=（x1x2…x31二、正態(tài)隨機(jī)向量的某些性質(zhì)

n維正態(tài)隨機(jī)向量有如下性質(zhì)n維正態(tài)隨機(jī)向量的m(m<n)個(gè)分量構(gòu)成的隨機(jī)向量也是正態(tài)隨機(jī)向量，且其期望向量和協(xié)方差矩陣分別為二、正態(tài)隨機(jī)向量的某些性質(zhì)的m(m<n)個(gè)分量32三、正態(tài)隨機(jī)向量過程

如果n維向量隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)為則稱X(t)為正態(tài)隨機(jī)向量過程或簡寫為三、正態(tài)隨機(jī)向量過程的概率密度函數(shù)為則稱X(t)為正33§X-4平穩(wěn)隨機(jī)過程

一般地，如果對(duì)于任意的和任意實(shí)數(shù)h，當(dāng)n維隨機(jī)向量與隨機(jī)向量

具有相同的概率分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過程{X(t)，t∈T}是平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱為平穩(wěn)過程(嚴(yán))一、平穩(wěn)過程§X-4平穩(wěn)隨機(jī)過程一般地，如果對(duì)于34平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程35

對(duì)于期望函數(shù)緩慢變化的非平穩(wěn)過程，有時(shí)可以把它用低通濾波器分解為緩慢變化的確定性曲線(稱為趨勢(shì)曲線)和平穩(wěn)過程之和(如下圖)，以便于分析。

分析平穩(wěn)過程比分析非平穩(wěn)過程容易得多，在信號(hào)處理與控制領(lǐng)域遇見的基本上也是平穩(wěn)過程，不少實(shí)際非平穩(wěn)過程也可以處理成平穩(wěn)過程。對(duì)于期望函數(shù)緩慢變化的非平穩(wěn)過程，有時(shí)可以36二、廣義平穩(wěn)過程顯然，平穩(wěn)過程X(t)的期望函數(shù)是常數(shù)即E[X(t)]

=常數(shù)而自相關(guān)函數(shù)為其中第2個(gè)等號(hào)利用了X(t)的平穩(wěn)性。上式僅是時(shí)間差t2--t1的函數(shù)，記作

滿足式以上兩式的過程，即期望函數(shù)為常數(shù)而自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)的過程稱為廣義平穩(wěn)過程或?qū)捚椒€(wěn)過程，而把一般定義的平穩(wěn)過程稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。由于通常只討論二階矩過程，所以一般討論廣義平穩(wěn)過程已經(jīng)足夠了。

廣義平穩(wěn)過程并不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，但對(duì)于正態(tài)過程來說，由于正態(tài)過程由其期望函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)唯一地確定，故廣義平穩(wěn)過程如果是正態(tài)的，則也必是嚴(yán)平穩(wěn)過程。

二、廣義平穩(wěn)過程顯然，平穩(wěn)過程X(t)的期望函數(shù)是常37對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間差的函數(shù)，即

則稱X(t)和Y(t)是廣義平穩(wěn)相關(guān)的或廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。能否把某一實(shí)際生活中的隨機(jī)過程看做是平穩(wěn)過程，主要靠經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)。對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關(guān)函數(shù)僅是38三、各態(tài)歷經(jīng)過程

如果平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)平均值即期望值與其任一樣本的時(shí)間平均值相等，即

則稱X(t)的期望值具有遍歷性。上面的橫線表示時(shí)間平均。類似地，如果平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)與其任一樣本相應(yīng)的時(shí)間平均值相等，即

則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。例:隨機(jī)相位正弦波，一個(gè)樣本的時(shí)間平均為三、各態(tài)歷經(jīng)過程如果平穩(wěn)過程X(t39

在實(shí)踐中經(jīng)常需要求出某一實(shí)際平穩(wěn)過程的期望函數(shù)(常數(shù))和自相關(guān)函數(shù)(僅是時(shí)間差的函數(shù))。等于例3中的自相關(guān)函數(shù)，故其自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。期望值和自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性的平穩(wěn)過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程。兩個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)也可以用樣本的時(shí)間平均來計(jì)算.

能否把某個(gè)實(shí)際平穩(wěn)過程看做是各態(tài)歷經(jīng)的，主要靠經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)，即看它的任一樣本能否按整體的概率分布經(jīng)歷所有可能的狀態(tài)，亦即能否從一個(gè)樣本得到整體的全部統(tǒng)計(jì)信息。大量的現(xiàn)實(shí)過程都可以近似地看做是各態(tài)歷經(jīng)過程。除了上面的一些例子以外，近似的各態(tài)歷經(jīng)過程還有：某地的歷年降水量、心電圖、腦電圖、電機(jī)的電樞電流、機(jī)械振動(dòng)或振動(dòng)噪聲、電力系統(tǒng)的負(fù)荷、地質(zhì)勘探的地震回波曲線，等等。在實(shí)踐中經(jīng)常需要求出某一實(shí)際平穩(wěn)40最優(yōu)估計(jì)與濾波ppt課件41四、平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)具有一系列重要的性質(zhì)。(1)顯然有

即平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)的值等于其均方值。如果X(t)為零均值，則自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)的值等于X(t)的方差，即(2)平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即證:證畢四、平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)具有一系列重42(3)對(duì)任意的τ,有證:對(duì)任一樣本，有取期望由性質(zhì)1，上式為上式中的正負(fù)號(hào)表示無論取正號(hào)或負(fù)號(hào)，不等式都成立。故證畢(3)對(duì)任意的τ,有證:對(duì)任一樣本，有取期望由性質(zhì)1，上式為43

(4)如果對(duì)于平穩(wěn)過程X(t)的任一樣本和任意的t都有x(t+T)=x(t)，則稱X(t)為周期性平穩(wěn)過程。容易證明，周期性平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)也具有周期性，即

(5)平穩(wěn)過程X(t)，t∈T的自相關(guān)函數(shù)是非負(fù)定的，即對(duì)任意的t1，t2，…，tn∈T和任意實(shí)值函數(shù)g(t)，都有

(6)當(dāng)兩個(gè)時(shí)刻的間隔充分大時(shí)，實(shí)際非周期性平穩(wěn)過程X(t)的狀態(tài)通常相互獨(dú)立。由三段知，這時(shí)X(t)的協(xié)方差函數(shù)(與自相關(guān)函數(shù)一樣也僅是時(shí)間差τ的函數(shù))為則由2.2節(jié)可知，這時(shí)有即趨于期望值的平方。如果進(jìn)一步，X(t)是零均值的，則上式為

(4)如果對(duì)于平穩(wěn)過程X(t)的任一樣本和任意44由以上性質(zhì)，通常實(shí)際非周期性平穩(wěn)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)大體如下圖

五、平穩(wěn)過程互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)類似可證，兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)。(1)平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)RXY(τ)既不是τ的奇函數(shù)，也不是τ的偶函數(shù)，而有由以上性質(zhì)，通常實(shí)際非周期性平穩(wěn)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)大體如下圖45最優(yōu)估計(jì)與濾波ppt課件46六、相關(guān)函數(shù)應(yīng)用實(shí)例

自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)過程最基