初中數(shù)學(xué)第五章《相交線與平行線》總培訓(xùn)教程

PAGEPAGE49初中數(shù)學(xué)第五章《相交線與平行線》培訓(xùn)教程（總3課時）第1課時：相交線、垂線知識點(diǎn)精講問(1)：如何判斷兩條直線相交？答：當(dāng)兩條直線只有一個公共點(diǎn)時，這兩條直線相交。這個公共點(diǎn)叫做這兩條直線的交點(diǎn)。問(2)：兩條直線相交可以形成什么角？其中有什么特殊的關(guān)系角？答：如圖，兩條直線AB、CD相交，從交點(diǎn)O出發(fā)，形成了四條射線。其中，每相鄰兩條射線組成一個角，可以組成四個角。這四個角可以是銳角、直角、鈍角。從交點(diǎn)O出發(fā)，同一直線上的兩條射線可以組成兩個平角。答：①其中每相鄰的兩個角互為鄰補(bǔ)角：頂點(diǎn)重合，有一邊重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角?；猷徰a(bǔ)角的兩個角組成一個180平角，所以鄰補(bǔ)角之和等于180。如圖，∠1和∠2的頂點(diǎn)O重合，一邊OC是重合的公共邊，另一邊OA和OB互為反向延長線，所以∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，∠1＋∠2=180。同理，這樣的鄰補(bǔ)角還有：∠1和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4。注：同一條直線上從同一個公共端點(diǎn)出發(fā)的兩條方向相反的射線或線段，其中一條射線或線段叫做另一條射線或線段的反向延長線，或者說這兩條射線或線段互為反向延長線。如圖，同一直線上的射線OA和OB、OC和OD，或線段OA和OB、OC和OD都是從同一個公共端點(diǎn)O出發(fā)，且方向相反，都互為反向延長線。②其中每相對的兩個角互為對頂角：頂點(diǎn)重合，其中一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的、0度到180度之間的兩個角，互為對頂角。對頂角相等。規(guī)定：零度角、平角和大于平角的角沒有對頂角。如圖，∠2和∠3的頂點(diǎn)O重合，∠2和∠3的兩邊互為反向延長線，所以∠2和∠3互為對頂角，∠2=∠3。同理，∠1和∠4互為對頂角，∠1=∠4?！纠恳阎骸?和∠2互余，∠2和∠3互補(bǔ)，且∠1和∠2是對頂角。求∠3的鄰補(bǔ)角度數(shù)。分析：由兩角互余和對頂角相等求∠2的度數(shù)，再由兩角互補(bǔ)求∠3的度數(shù)，最后由“鄰補(bǔ)角之和等于180”，求∠3的鄰補(bǔ)角解：∵∠1和∠2互余，∠1和∠2是對頂角。∴∠1＋∠2=90，∠1=∠2。代換得：2∠2=90。解得：∠2=90·=45?！摺?和∠3互補(bǔ)?！唷?＋∠3=180。代換得：∠3=180－45=135。又∵鄰補(bǔ)角之和等于180?！唷?的鄰補(bǔ)角=180－135=45。問(3)：依據(jù)兩條直線相交形成的角，如何判斷兩條直線互相垂直？兩條直線互相垂直，具有什么特殊性質(zhì)？答：兩條直線相交形成的角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。垂直用符號“⊥”表示。如圖，兩條直線AB、CD交于點(diǎn)O，若∠COB=90，則AB⊥CD，垂足為O。答：由兩條直線互相垂直可知：互相垂直的兩條直線相交形成的角都是直角。這是兩條直線互相垂直不同于其他相交直線的特殊性質(zhì)。證明：如圖，由兩條直線AB、CD互相垂直可知：有一個角∠COB=90°。由“鄰補(bǔ)角之和等于180°可知：∠COA＋∠COB=180°，則∠COA=90°。由“對頂角相等”可知：∠DOA=∠COB=90°，∠DOB=∠COA=90°。即：互相垂直的兩條直線AB、CD相交形成的角都是直角。問(4)：“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。”如何證明這一結(jié)論成立？求證：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)P有且只有一條直線與已知直線垂直。分析：此題目中可利用的已知數(shù)據(jù)和條件很少，直接證明比較困難，可嘗試運(yùn)用“反證法”間接證明。運(yùn)用“反證法”證明時，分以下兩種情況證明此結(jié)論成立：一種是點(diǎn)在直線外，一種是點(diǎn)在直線上。證明：分以下兩種情況證明此結(jié)論成立。1)點(diǎn)P在已知直線外。如圖，過點(diǎn)P作直線PO⊥，垂足為O。假設(shè)要求證的結(jié)論不成立，過P還有一條直線P⊥，垂足為?！逷O⊥，P⊥?！唷螾O=90，∠PO=90?！摺螾O和∠PO是△PO的兩個內(nèi)角?！唷鱌O的兩內(nèi)角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內(nèi)角之和等于180”所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。2)點(diǎn)P在已知直線上。如圖，過點(diǎn)P作直線PP⊥，垂足為P?！螾PA=90。假設(shè)要求證的結(jié)論不成立，過點(diǎn)P還有一條直線PP⊥，垂足為P。如圖，∠PPA和∠PPA一邊重合，另一邊PP、PP不重合。則：∠PPA≠∠PPA，∠PPA≠90。這顯然和已知定理“互相垂直的兩條直線相交形成的角都是直角”相矛盾。所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。由以上證明可知：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)P有且只有一條直線與已知直線垂直?！咀ⅰ看私Y(jié)論經(jīng)過證明是正確的結(jié)論，可以作為定理運(yùn)用。問(5)：連接直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，哪一條線段最短？如何證明？答：連接直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。在平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。該點(diǎn)與垂足之間的線段叫做已知直線的垂線段。如圖，過直線外一點(diǎn)P作的垂線PO，PO⊥，垂足為O。線段PO是直線的垂線段。求證：連接直線外一點(diǎn)P與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段PO最短。分析：直接證明比較困難，可嘗試運(yùn)用“反證法”間接證明。證明：假設(shè)垂線段PO不是最短，PA＜PO。把PA延長至點(diǎn)B，使PB=PO。則：△POB是等腰△，兩底角∠POB=∠PBO。由PO⊥可知：∠POA=90。如圖，∠POB＞∠POA。則：∠POB＞90。由“∠POB=∠PBO”可知：∠PBO＞90。則：等腰△POB的兩內(nèi)角之和大于180。這顯然和已知定理“三角形三內(nèi)角之和等于180”所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。即：連接直線外一點(diǎn)P與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段PO最短?！咀ⅰ看私Y(jié)論經(jīng)過證明是正確的結(jié)論，可以作為定理運(yùn)用。問(6)：一條直線與兩條直線都相交，可以形成同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。什么是同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角？圖1圖2圖3答：①一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線的同一方位（比如：上方或下方），并且都在另一條直線的同一側(cè)（比如：左側(cè)或右側(cè)），具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同位角?？珊営洖椋和酵瑐?cè)，是同位角。如圖1，∠1和∠2都在兩直線、的上方，直線的右側(cè)。所以∠1和∠2是同位角。同理，∠3和∠4也是同位角。②一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線之間，并且分別在另一條直線的兩側(cè)（比如：左右兩側(cè)），具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做內(nèi)錯角?？珊営洖椋褐g交錯，是內(nèi)錯角。如圖2，∠5和∠6都在兩直線、之間，并且分別在直線的左右兩側(cè)，所以∠5和∠6是內(nèi)錯角。同理，∠7和∠8也是內(nèi)錯角。③一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線之間，并且分布在另一條直線的同一側(cè)（比如：左側(cè)或右側(cè)），具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同旁內(nèi)角。可簡記為：之間同側(cè)，是同旁內(nèi)角。如圖3，∠9和∠10都在兩直線、之間，直線的右側(cè)，所以∠9和∠10是同旁內(nèi)角。同理，∠11和∠12也是同旁內(nèi)角。典型題型精講解析選擇題：1.下列判斷錯誤的是（）A.互為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)B.鄰補(bǔ)角的頂點(diǎn)和一條邊重合，對頂角只有頂點(diǎn)重合C.對頂角既能互余，又能互補(bǔ)D.銳角、直角、鈍角和平角既有鄰補(bǔ)角，又有對頂角【答案】D【解析】頂點(diǎn)重合，有一邊是重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。由鄰補(bǔ)角的定義可知：A、B兩項(xiàng)正確。頂點(diǎn)重合，其中一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的、0度到180度之間的兩個角，互為對頂角。當(dāng)兩對頂角都等于45度時，互余。當(dāng)兩對頂角等于90度時，互補(bǔ)。故C項(xiàng)正確。依據(jù)對頂角的定義，規(guī)定：平角和零度角都沒有對頂角。故D項(xiàng)錯誤。選D。2.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OE，則圖中的鄰補(bǔ)角一共有（??）A．3對?????B．4對???C．5對???D．6對【答案】B【解析】頂點(diǎn)重合，有一邊是重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。觀察圖示，依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可確定有4對鄰補(bǔ)角，分別是：∠COA和∠COB，∠EOA和∠EOB，∠EOC和∠EOD，∠BOC和∠BOD。3.過平面內(nèi)直線上一點(diǎn)O作OM⊥，ON⊥，以下結(jié)論正確的一組是（）①垂線OM、ON是同一條直線②過直線上一點(diǎn)O有兩條垂線③點(diǎn)O、M、N在同一條直線上④OM、ON都是直線的垂線段A.②④B.①③④C.①③D.②③④【答案】C【解析】由垂線定理可知：“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直?！彼?，OM、ON是同一條直線點(diǎn)，O、M、N在同一條直線上。故①③正確，②④錯誤。選C。4.如圖所示，AB⊥AC，點(diǎn)E、F是線段AB、BC上端點(diǎn)間的兩動點(diǎn)，則從點(diǎn)D出發(fā)，到線段AB、BC的最短距離可能是線段()??①DA和DC②DE和DC③DE和DF④DA和DF【答案】④【解析】連接直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。由已知AB⊥AC得：AB⊥AD，此時，點(diǎn)D到線段AB的距離DA最短。如圖，當(dāng)動點(diǎn)F移動至使DF⊥BC時，點(diǎn)D到線段BC的距離DF最短。所以，從點(diǎn)D出發(fā)，到線段AB、BC的最短距離是DA和DF。故選④。5.如圖，下列說法錯誤的一組是(

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①∠4與∠6是同旁內(nèi)角②∠3＋∠4與∠6是同旁內(nèi)角③∠4＋∠5與∠2是內(nèi)錯角④∠5與∠6是同位角⑤∠2與∠7是同位角⑥∠5與∠7是內(nèi)錯角A.①③⑥B.①⑥C.①⑤⑥D(zhuǎn).①⑤【答案】B【解析】如圖所示：∠4與∠6在兩條直線AD、BC之間，但不在另一條直線DC的同一側(cè)，所以∠4與∠6不是同旁內(nèi)角。故①錯誤。同理，∠3＋∠4與∠6符合同旁內(nèi)角的定義，是同旁內(nèi)角。故②正確?！?＋∠5與∠2在兩條直線AD、DE之間，又在另一條直線AC的兩側(cè)，是內(nèi)錯角。故③正確?！?與∠6在兩條直線AD、BC的同一方位，又在另一條直線DE的同一側(cè)，是同位角。故④正確。同理，∠2與∠7符合同位角的定義，是同位角。故⑤正確?！?與∠7，在另一條直線AC的兩側(cè)，但不在兩條直線AD、BC之間，不符合內(nèi)錯角的定義，故⑥錯誤。填空題：1.如圖，三條直線交于點(diǎn)O，∠1=∠2，∠3=8∠1，則∠4的度數(shù)為________?！敬鸢浮?6【解析】如圖，∠4和∠1＋∠2是對頂角。對頂角相等。則：∠4=∠1＋∠2。已知：∠1=∠2。代換得：∠4=2∠1。如圖，∠3和∠1＋∠2是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角之和等于180。則：∠3＋(∠1＋∠2)=180。已知：∠1=∠2，∠3=8∠1。代換得：8∠1＋2∠1=180。解得：∠1=18。所以，∠4=2∠1=2·18=36。2.如圖，∠AOD=∠COD，OB、OE分別是OD、OA的反向延長線，且∠COE=45，則∠BOC的度數(shù)為________?！敬鸢浮?00【解析】如圖，∠AOC和∠COE是鄰補(bǔ)角，∠AOC＋∠COE=180。已知：∠COE=45?！唷螦OC=135。如圖，∠AOC=∠AOD＋∠COD。已知，∠AOD=∠COD，即∠COD=2∠AOD。代換得：∠AOD＋2∠AOD=135。解得：∠AOD=45。如圖，對頂角相等，∠BOE=∠AOD=45。且：∠BOC=∠BOE＋∠COE。已知：∠COE=45，∠BOE=45?！唷螧OC=45＋45=90。3.直線上有三點(diǎn)A、B、C，直線外有一點(diǎn)P，若PA=5cm，PB=3cm，PC=2cm，且PC⊥AB。設(shè)點(diǎn)P和線段AC和BC上所有點(diǎn)的連接線段長分別為m、n，則m、n的取值范圍分別是____________。【答案】2≤m≤5，2≤n≤3【解析】PC⊥AB，由“垂線段最短”可知：m、n的最小取值范圍都是2，且PC＜PA，PC＜PB。當(dāng)m=PA時，m取得最大值5，則m的取值范圍分別是2≤m≤5。當(dāng)n=PB時，n取得最大值3，則n的取值范圍分別是2≤m≤3。4.圖中8個角中，與∠1是同位角的是_______，與∠2是內(nèi)錯角的是_______，與∠3是同旁內(nèi)角的是_______?！敬鸢浮俊?；∠5、∠8；∠2、∠4、∠1＋∠2、∠4＋∠5【解析】依據(jù)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義即可判定。如圖，∠7和∠1在同一條直線的同側(cè)，且在兩條直線的上方，是同位角。如圖，∠5和∠2、∠8和∠2在同一條直線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，是內(nèi)錯角。如圖，∠2和∠3、∠4和∠3在同一條直線的同側(cè)，且在兩條直線之間，是同旁內(nèi)角。同理，∠1＋∠2和∠3、∠4＋∠5和∠3也是同旁內(nèi)角。解答題：1.如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE。求∠DOE的度數(shù)?！窘忸}思路】（1）如圖，∠DOE和∠EOC是鄰補(bǔ)角，則∠DOE＋∠EOC=180；（2）由互余求∠BOE的度數(shù)；（3）由互補(bǔ)求∠EOC的度數(shù)。解：∵OE⊥OF?！唷螰OE=90。∴∠BOF＋∠BOE=90。由已知∠BOF=2∠BOE代換得：2∠BOE＋∠BOE=90。解得：∠BOE=30。如圖，∠AOE和∠BOE是鄰補(bǔ)角，則∠AOE＋∠BOE=180?！唷螦OE=180－30=150?！逴C平分∠AOE?！唷螮OC=∠AOE=·150=75。如圖，∠DOE和∠EOC是鄰補(bǔ)角，則∠DOE＋∠EOC=180。∴∠DOE=180－75=105。2.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P是CD上一點(diǎn)。過點(diǎn)P作CD的垂線交AB于點(diǎn)F，同時過點(diǎn)P作AB的垂線段PE，再過點(diǎn)O作AB的垂線段交于點(diǎn)Q，P是上一點(diǎn)。已知∠BOD=40。(1)求∠OQR鄰補(bǔ)角的度數(shù)；(2)比較線段PO、PE、OF、OQ的大?。?3)求∠OQR的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的度數(shù)。【答案】(1)求∠OQR鄰補(bǔ)角的度數(shù)；解：如圖，∠OQA是∠OQR的鄰補(bǔ)角。對頂角∠1=∠BOD=40。已知：⊥CD，QO⊥AB。則：△FPO和△FOQ是Rt△?！逺t△兩銳角互余?！嘣赗t△FPO中，∠2=90－∠1=90－40=50?！嘣赗t△FOQ中，∠OQA=90－∠2=90－50=40。(2)比較線段PO、PE、OF、OQ的大小；解：∵垂線段最短。PE是FO的垂線段?！嘣凇鱌FO中，PE＜PO。已知：△FPO是Rt△?！郣t△FPO的斜邊FO大于直角邊PO，即FO＞PO。已知：在Rt△FOQ中，∠2=50。則：∠OQF=40?！唷?＞∠OQF在△FOQ中，由“三角形大角對大邊”可知：OQ＞OF。∴PE＜PO＜OF＜OQ。(3)求∠OQR的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的度數(shù)。解：①如圖，∠OQR的同位角是∠2和∠QPO。由(1)已求得：∠2=50。由已知⊥CD可知：∠QPO=Rt∠=90。②∠OQR的內(nèi)錯角是∠PFA和∠QPC。如圖，∠2和∠PFA互為鄰補(bǔ)角。則：∠PFA=180－∠2=180－50=40。由已知⊥CD可知：∠QPC=Rt∠=90。③∠OQR的同旁內(nèi)角是∠QOD和∠QOB。由已知QO⊥AB可知：∠QOB=Rt∠=90。如圖，∠QOD=∠QOB＋∠BOD。已知∠BOD=40?！唷螿OD==90＋40=130。本課時培訓(xùn)收獲通過本課時的培訓(xùn)，我們能做到：1、知道兩條直線相交形成的角及其關(guān)系。2、知道如何判斷兩條直線互相垂直。3、掌握結(jié)論“兩條直線垂直相交，形成的鄰補(bǔ)角和對頂角都是直角”，并能證明。4、掌握定理“在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，會運(yùn)用反證法證明這一定理成立。5、掌握定理“連接直線外一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”，會運(yùn)用反證法證明這一定理成立。6、知道什么是同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，能夠辨別同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。第2課時：兩條直線的位置關(guān)系、直線平行的判定及性質(zhì)同一平面內(nèi)的兩條直線或者有一個公共點(diǎn)，或者沒有公共點(diǎn)，或者有無數(shù)個公共點(diǎn)。問(1)：依據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線公共點(diǎn)的個數(shù)，如何判斷兩條直線的位置關(guān)系？相交平行重合答：依據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線公共點(diǎn)的個數(shù)，可以判斷兩條直線有以下三種位置關(guān)系：①當(dāng)兩條直線只有一個公共點(diǎn)時，這兩條直線相交。如圖，若直線a、b有一個公共點(diǎn)O，則直線a、b相交；②當(dāng)兩條直線沒有公共點(diǎn)時，這兩條直線平行。如圖，若直線a、b沒有公共點(diǎn)，則直線a、b平行；③當(dāng)兩條直線有無數(shù)個公共點(diǎn)時，這兩條直線重合。如圖，若直線a、b有無數(shù)個公共點(diǎn)，則直線a、b重合。問(2)：過直線外一點(diǎn)，有幾條直線與這條直線平行？答：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。這一結(jié)論又稱之為“平行公理”。公理是經(jīng)過長期反復(fù)實(shí)踐檢驗(yàn)，總結(jié)得出的正確的事實(shí)，不需要再證明。如圖，過直線a外一點(diǎn)P，有且只有一條直線b與直線a平行。問(3)：同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線是什么位置關(guān)系？答：同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行。如圖，a、b、c是同一平面內(nèi)的三條直線，b∥a，c∥a。求證：b∥c。分析：題目中可利用的已知條件很少，直接證明比較困難，可嘗試運(yùn)用“反證法”間接證明。證明：假設(shè)若直線b∥a，c∥a，直線b、c不平行。直線b、c是兩條直線，不重合。不平行，必然相交，設(shè)交點(diǎn)為P。且已知：b∥a，c∥a。點(diǎn)P為直線a外有一點(diǎn)。由此可知：過直線a外一點(diǎn)P，有兩條直線b、c都與直線a平行。這顯然與平行公理“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾。所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。若直線b∥a，c∥a，則b∥c。即：同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行。注：此結(jié)論經(jīng)證明是正確的結(jié)論，可以作為定理運(yùn)用。問(4)：兩條直線被第三條直線所截，如何判定兩條直線平行？答：①判定定理1：兩條直線被第三條直線所截，若形成的同位角相等，則這兩條直線平行。簡記為：同位角相等，兩直線平行。圖1如圖1，直線和被所截，形成的同位角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求證：∥。分析：直接證明比較困難，可嘗試運(yùn)用“反證法”間接證明。圖2證明：假設(shè)直線、不平行。如圖2，、是兩條直線，不重合。若不平行，則：、必然相交。設(shè)交點(diǎn)為P，則∠2和∠3是△PPP的兩個內(nèi)角。如圖2，∠1和∠3互為鄰補(bǔ)角，∠1＋∠3=180。由已知∠1=∠2代換得：∠2＋∠3=180由此可知：△PPP的兩內(nèi)角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內(nèi)角之和等于180”所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。若∠1=∠2，則∥。即：同位角相等，兩直線平行。②判定定理2：兩條直線被第三條直線所截，若形成的內(nèi)錯角相等，則這兩條直線平行。簡記為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。圖3如圖3，直線和被所截，形成的內(nèi)錯角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求證：∥。分析：由已知∠1和∠2兩個內(nèi)錯角相等得出兩個同位角相等，運(yùn)用已證明的結(jié)論“同位角相等，兩直線平行”，證明兩直線∥。圖4證明：如圖4，∠1、∠3互為對頂角，對頂角相等，∠1=∠3。由∠1=∠2代換得：∠2=∠3。且：∠2、∠3是同位角?！咄唤窍嗟龋瑑蓷l直線平行。∴∥。由此可知：若∠1=∠2，則∥。即：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。③判定定理3：兩條直線被第三條直線所截，若形成的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行。簡記為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。圖5如圖5，直線和被所截，形成的同旁內(nèi)角∠1、∠2互補(bǔ)。求證：∥。分析：直接證明或運(yùn)用“反證法”間接證明都可以。圖6證明：已知∠1＋∠2=180。∴∠2=180－∠1。如圖6，鄰補(bǔ)角∠1＋∠3=180?！唷?=180－∠1?！唷?=∠3。且：∠2、∠3是內(nèi)錯角?！邇?nèi)錯角相等，兩條直線平行。∴∥?！嗳簟?、∠2互補(bǔ)，則∥。即：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。圖7證明：假設(shè)直線、不平行。如圖7，、是兩條直線，不重合。若不平行，則：、必然相交。設(shè)、交于點(diǎn)P。如圖6，∠1和∠2是△PPP的兩個內(nèi)角。由∠1、∠2互補(bǔ)可知：∠1＋∠2=180。由此可知：△PPP兩內(nèi)角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內(nèi)角之和等于180”所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。若∠1、∠2互補(bǔ)，則∥。即：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。問(5)：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線是什么位置關(guān)系？如何證明這一結(jié)論成立？答：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。如圖，同一平面內(nèi)，兩條直線、都與直線垂直。求證：∥。分析：如圖，由⊥，⊥，可知兩直線、與直線相交的同位角都是相等的直角，由“同位角相等，兩直線平行”，即可證明∥。證明：∵⊥，⊥?！嗳鐖D，、與相交形成的同位角都是相等的直角?！咄唤窍嗟?，兩直線平行?！唷?。由此可知：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。注：此結(jié)論也可由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”證明。此結(jié)論經(jīng)證明是正確的，可以作為定理運(yùn)用。問(6)：兩條平行線被第三條直線所截，具有什么性質(zhì)？答：①性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，形成的同位角相等。簡記為：兩直線平行，同位角相等。圖1圖2如圖1，兩條平行線、被直線所截，形成的同位角是∠1、∠2。求證：∠1=∠2。分析：直接證明比較困難，可嘗試運(yùn)用“反證法”間接證明。證明：假設(shè)∠1≠∠2。如圖2，從∠1的頂點(diǎn)P出發(fā)，引出一條射線，與直線所成的角為∠3，使∠3=∠2。且：∠3、∠2就是直線、被直線所截形成的同位角。由“同位角相等，兩直線平行”可知：∥。且：已知∥。則：和都是過點(diǎn)P與平行的直線。由此可知：過直線外一點(diǎn)P，有兩條直線、與平行。這顯然與平行公理“過直線外一點(diǎn)，有且只一條直線與這條直線平行”相矛盾。所以，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，∠1=∠2。即：兩直線平行，同位角相等。②性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，形成的內(nèi)錯角相等。簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。圖3圖4如圖3，兩條平行線、被直線所截，形成的內(nèi)錯角是∠3、∠4。求證：∠3=∠4。分析：如圖4，由已知“兩直線平行，同位角相等”可知：∠=∠4，再由“對頂角相等”得∠=∠3，代換即可證明∠3=∠4。證明：如圖4，∠、∠4是兩條平行線、被直線所截形成的同位角?！邇芍本€平行，同位角相等?！唷?∠4。又∵∠、∠3是對頂角，對頂角相等。∴∠=∠3。∴∠3=∠4。即：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。③性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，形成的同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。圖5圖6如圖5，直線平行線、被所截，形成的同旁內(nèi)角是∠5、∠6。求證：∠5＋∠6=180。分析：如圖6，由已知“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得∠=∠6，再由“鄰補(bǔ)角之和等于180”得∠=＋∠5=180,代換即可證明。證明：如圖6，∠、∠6是兩條平行線、被直線所截形成的內(nèi)錯角?！邇芍本€平行，內(nèi)錯角相等?！唷?∠6。又∵∠、∠5是鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角之和等于180。∴∠＋∠5=180。由已知∠=∠6代換得：∠5＋∠6=180。即：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?！纠咳鐖D，∠ABD和∠BDC的角平分線BF、DG交于點(diǎn)E，∠1＋∠2=90。求證：①AB∥CD；②∠2＋∠3=90。分析：此題重在考察兩直線平行的判定及性質(zhì)。①已知∠1＋∠2=90，由∠1=∠ABD，∠2=∠BDC代換得∠ABD＋∠BDC=180，依據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可求證AB∥CD。②依據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得∠3=∠4，且BF是∠ABD的平分線，∠1=∠4，代換得：∠1=∠3。再由已知∠1＋∠2=90代換，即可求證∠2＋∠3=90。①證明：∵BF、DG分別是∠ABD、∠BDC的角平分線?！唷?=∠ABD，∠2=∠BDC?！摺?＋∠2=90?！啻鷵Q得：∠ABD＋∠BDC=90。整理得：∠ABD＋∠BDC=180。即：∠ABD和∠BDC互補(bǔ)。且：如圖，∠ABD和∠BDC是同旁內(nèi)角?！咄詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。∴AB∥CD。②證明：已知：AB∥CD。如圖，∠3和∠4是內(nèi)錯角。∵兩直線平行，內(nèi)錯角相等?！唷?=∠4。已知：BF是∠ABD的平分線，∠1=∠4。代換得：∠1=∠3。又已知：∠1＋∠2=90。由∠1=∠3代換得：∠2＋∠3=90。典型題型精講解析選擇題：1.同一平面內(nèi)，關(guān)于不重合的四條直線的位置關(guān)系描述錯誤的一項(xiàng)是()A．同時都相交或同時都平行?B．既可能相交，又可能平行?C．兩兩相交或兩兩平行??D．兩兩相交，同時又兩兩平行【答案】D【解析】A、B、C項(xiàng)都描述了四條直線相交或平行的兩種可能性，都正確。D項(xiàng)錯誤。四條直線兩兩相交，不可能出現(xiàn)既相交，又平行。故選D。2.已知∥，∥，且⊥，⊥，若直線，，，相交形成一個四邊形，則這個四邊形相鄰的兩條邊的位置關(guān)系是（）A.重合B.垂直C.平行D.不能確定【答案】B【解析】如圖，⊥，形成的角是直角。由∥，∥，可知同位角相等，和、相交形成的角都是直角，故⊥，⊥。同理，⊥，⊥。所以，這個四邊形的四個角都是直角，相鄰的兩條邊一定垂直。故選B。3.平面內(nèi)，若∥，∥。以下判斷正確的是（）A.直線、一定重合B.直線、、都沒有公共點(diǎn)C.直線、不可能相交D.直線、是同一條直線【答案】B【解析】直線、既可能重合，又可能平行。故A項(xiàng)錯誤。直線、可能重合，重合有無數(shù)公共點(diǎn)。故B項(xiàng)錯誤。直線、若重合，是同一條直線；若平行，則是兩條直線。故D項(xiàng)錯誤。由“平行公理”可知：同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線若不重合，則必然平行，不可能相交。故C項(xiàng)正確。選C。4.將一條對邊平行的紙帶折疊成如圖所示的形狀，已知∠1=52，∠2=48，則∠3的度數(shù)為（）A.60B.80C.100D.120【答案】B【解析】如圖，由紙帶對邊平行可知：同位角相等，∠1=∠4=52。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，(∠3＋∠4)＋∠2=180。已知：∠2=∠4=52。代換得：∠3=180－∠2－∠4=180－48－52=80。填空題：1.已知：直線CD、CE交于點(diǎn)C，且CD∥，CE∥，則直線CD、CE的位置關(guān)系是________，∠DCE是_________角?！敬鸢浮恐睾?；0或180【解析】圖1圖2由“平行公理”可知：“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行?！彼裕本€CD、CE是重合的一條直線。如圖1，若點(diǎn)D、E在點(diǎn)C的同一側(cè)，則∠DCE=0；如圖2，若點(diǎn)D、E分別在點(diǎn)C的兩側(cè)，則∠DCE=180。2.如圖，直線a外有兩動點(diǎn)A、B。過點(diǎn)A、B分別作直線a的垂線，連接點(diǎn)A、B，圍成的圖形可能是_________。延長線段AB，直線AB和直線a的位置關(guān)系是__________?！敬鸢浮空叫巍㈤L方形、直角梯形；平行或相交【解析】注意動點(diǎn)A、B的位置變化。線段AB可能與直線a平行或不平行，也可能在同一條垂線上。(1)當(dāng)線段AB與直線a平行時，由平行的性質(zhì)可知：圍成的四邊形的四個角都是直角，長寬相等時，四邊形是正方形；長寬不相等時，四邊形是長方形。(2)當(dāng)線段AB與直線a不平行時，由平行的判定可知：圍成的四邊形的兩條對邊平行，兩同旁內(nèi)角是直角，圍成的四邊形是直角梯形。(3)當(dāng)直線AB和直線a沒有公共點(diǎn)時，直線AB和直線a平行；有1個公共點(diǎn)時，直線AB和直線a相交；已知兩動點(diǎn)A、B都在直線a外，直線AB和直線a不可能重合。3.如圖，直線∥，AB⊥，BC與交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C與、相交。若∠1=133°，∠2=55°，則∠3=______?！敬鸢浮?8°【解析】注意需作輔助線求解。如圖，過點(diǎn)B作直線BD∥。且：已知直線∥，由平行的性質(zhì)可知BD∥。由AB⊥可知：∠4=Rt∠=90?！連D∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠4=∠ABD=90。如圖，∠1=∠ABD＋∠CBD。已知：∠1=133°。代換得：90＋∠CBD=133°。解得：∠CBD=43°。∵BD∥。∴內(nèi)錯角相等，∠=∠CBD=43。如圖，對頂角相等，∠=∠=43?！摺危?。∴同位角相等，∠3=∠＋∠2。已知：∠2=55°。代換得：∠3=43°＋55°=98°。4.如果兩條直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的度數(shù)之比為3∶2，差為36°，那么這兩條直線的位置關(guān)系是_________?！敬鸢浮科叫小窘馕觥吭O(shè)這組同旁內(nèi)角為∠、∠。由已知得：=，∠－∠=36°。由=得：∠=∠。代入∠－∠=36°得：∠－∠=36°。解得：∠=72°。則：∠=∠=·72°=108°?！唷希?108°＋72°=180°。即：同旁內(nèi)角為∠、∠互補(bǔ)?！噙@兩條直線平行。解答題：1.如圖，四邊形ABCD中，AD⊥CD，CB⊥AB，EA平分∠DAB，F(xiàn)C平分∠DCB，AE交CD于點(diǎn)E，CF交AB于點(diǎn)F。證明：AE∥FC?！窘忸}思路】（1）作輔助線。如圖，連接點(diǎn)A、C。（2）由已知求四邊形ABCD的內(nèi)角和，由此得出∠A＋∠C=180，由已知代換得∠1＋∠3=90；（3）已知△ADE是Rt△，兩銳角互余，∠1＋∠DEA=90，即∠1=90－∠DEA；（4）由∠1＋∠3=90代換得出同位角∠DEA=∠3，所以AE∥FC。證明：如圖，連接點(diǎn)A、C?！嗨倪呅蜛BCD的內(nèi)角和=兩個三角形的內(nèi)角和=2·180=360?！唷螦＋∠C=360－(∠B＋∠D)。由AD⊥CD，CB⊥AB得：∠D=∠B=Rt∠=90?！唷螦＋∠C=360－180=180。由EA平分∠DAB，F(xiàn)C平分∠DCB得：∠A=2∠1，∠C=2∠3。代換得：∠1＋∠3=90。如圖，在Rt△△ADE中，兩銳角互余，∠1＋∠DEA=90?！唷?=90－∠DEA。代換得：（90－∠DEA）＋∠3=90。整理得：∠DEA=∠3。且：如圖，∠DEA和∠3是同位角?！鄡芍本€AE∥FC。2.如圖，已知直線∥，直線和直線、交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一動點(diǎn)P。(1)當(dāng)動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D之間運(yùn)動時，求：∠CAP、∠APB、∠PBD的數(shù)量關(guān)系。(2)當(dāng)動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D的外側(cè)運(yùn)動時，則：∠CAP、∠APB、∠PBD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)解：圖1如圖1，動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D之間運(yùn)動。過點(diǎn)P作直線∥。已知∥，則∥。直線把∠APB分成兩個角，∠APB=∠1＋∠2。∵∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠CAP=∠1。又∵∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠PBD=∠2。代換得：∠APB=∠CAP＋∠PBD。(2)解：圖2分動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D的外側(cè)下端和上端運(yùn)動兩種情況求解。如圖2，動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D的外側(cè)下端運(yùn)動，過點(diǎn)P作直線∥。已知∥，則∥。如圖2，∵∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠CAP=∠1＋∠2。又∵∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠2=∠PBD。且：∠1=∠APB。代換得：∠CAP=∠APB＋∠PBD。

圖3如圖3，動點(diǎn)P在點(diǎn)C、D的外側(cè)上端運(yùn)動，過點(diǎn)P作直線∥。連接點(diǎn)A、P和B、P。已知∥，則∥。如圖3，∵、∥?！鄡?nèi)錯角相等，∠PBD=∠1＋∠2?！摺?。∴內(nèi)錯角相等，∠1=∠CAP。且：∠2=∠APB。代換得：∠PBD=∠CAP＋∠APB。本課時培訓(xùn)收獲通過本課時的培訓(xùn)，我們能做到：1、知道同一平面內(nèi)，兩條直線的三種位置關(guān)系。2、能夠依據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線公共點(diǎn)的個數(shù)，判斷兩條直線的位置關(guān)系。3、掌握“平行公理”。掌握定理“同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”，并能證明。4、掌握判定兩條直線平行的三個判定定理，能證明這三個判定定理成立。5、能熟練運(yùn)用平行線的判定定理判定兩條直線是否平行。6、掌握定理“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”。能證明這一定理成立。7、掌握兩直線平行的三個性質(zhì)，能證明這三個性質(zhì)成立。8、能熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)判定同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角之間的關(guān)系。第3課時：命題、定理數(shù)學(xué)中有許多結(jié)論性語句。比如：正數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)；︱0︱=0；a＋c=b＋c或a－c=b－c；立體圖形的展開圖是平面圖形。類似這樣的結(jié)論性語句稱之為“命題”。問(1)：什么是命題？如何判斷一個命題是真命題還是假命題？答：命題就是用語言、符號或式子表達(dá)的，通過實(shí)踐檢驗(yàn)、推理證明可以判斷真假的結(jié)論性語句。命題由條件和結(jié)論兩部分組成，通常都可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是條件，“那么”之后是結(jié)論，即由已知條件得出判斷結(jié)論。答：①若一個命題由條件得出的結(jié)論成立，這樣的命題就是真命題，即正確的命題。②若一個命題由條件得出的結(jié)論不成立，這樣的命題就是假命題，即錯誤的命題?！咀ⅰ拷?jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理。定理是推理證明命題的依據(jù)?！纠?】判定以下命題的真假：①如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形；②銳角三角形中最大的角一定大于或等于60；③若∣a∣=，則a=b；④兩互補(bǔ)的角一定是鄰補(bǔ)角。判斷：①如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形。若三角形的兩個角互余，則這兩個角之和等于90°。已知三角形三內(nèi)角之和等于180°，則另一個內(nèi)角等于180°－90°=90°。因?yàn)橛幸粋€角是90°直角的三角形，所以這個三角形是直角三角形。該命題由條件得出的結(jié)論成立，所以它是一個真命題。②銳角三角形中最大的角一定大于或等于60。三角形三內(nèi)角之和等于180。若銳角三角形最大的角小于60，則另外兩個角都小于最大的角，也都小于60。所以，三內(nèi)角之和小于180。這顯然與已知定理“三角形三內(nèi)角之和等于180所以銳角三角形最大的角不能小于60，只能大于或等于60。該命題由條件得出的結(jié)論成立，所以它是一個真命題。③若∣a∣=，則a=b。因?yàn)椤罢龜?shù)的絕對值就是其本身，0的絕對值是0”，若a、b都是正數(shù)或都是0，由∣a∣=可得：a=b；因?yàn)椤柏?fù)數(shù)的絕對值就是其本身的相反數(shù)”，若a、b都是負(fù)數(shù)，由∣a∣=可得：－a=－b，即：a=b；若a是正數(shù)，b是負(fù)數(shù)，由∣a∣=可得：a=－b；若a是正數(shù)，b是負(fù)數(shù)，由∣a∣=可得：－a=b。該命題由條件推出的結(jié)論不一定成立，所以它是一個假命題。④兩互補(bǔ)的角一定是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角是既互補(bǔ)，又相鄰的兩個角。兩角互補(bǔ)，但兩角不一定相鄰，所以兩互補(bǔ)的角不一定是鄰補(bǔ)角。比如：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，但同旁內(nèi)角不相鄰，不是鄰補(bǔ)角。該命題由條件推出的結(jié)論不成立，所以它是一個假命題。在同一平面內(nèi)，把平面內(nèi)的某個圖形變換位置，不改變圖形的形狀、大小，形上的所有點(diǎn)都沿某個方向作等距離的平行移動。這樣的圖形運(yùn)動稱之為“平移”。問(2)：什么是平移？平移具有什么性質(zhì)？答：平移是指在同一平面內(nèi)，把平面內(nèi)的某個圖形上的所有點(diǎn)都沿某個方向作等距離的平行移動，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移。由平移的定義可知：【注1】平移的圖形是指在同一平面內(nèi)平移，不能平移至另一平面?！咀?】平移的圖形可以是平面內(nèi)包括點(diǎn)、線、面在內(nèi)的任意平面圖形，但不能是立體圖形?！咀?】平移的方向是平面內(nèi)包括上下豎直移動和左右水平移動在內(nèi)的任意方向的直線移動。圖1圖2答：由平移的定義可知，平移具有以下性質(zhì)：①平移后的圖形只是圖形位置的變換，形狀、大小和原圖形相同；如圖，△ABC向右平移后得到△，△ABC和△形狀、大小相同，放在一起能夠完全重合，對應(yīng)邊和對應(yīng)角都相等。②平移后的圖形上的每一點(diǎn)都和原圖形上的某一點(diǎn)對應(yīng)，每一對對應(yīng)點(diǎn)的連接線段平行或共線，且長度相等。如圖1，△ABC沿水平線向右平移后得到△。如圖2，△ABC沿BA邊向右上方平移后得到△。其中的點(diǎn)A和，B和，C和都是對應(yīng)點(diǎn)。連接對應(yīng)點(diǎn)A、，B、，C、。如圖1，線段A∥B∥C，且A=B=C。如圖2，線段A和B共線，在同一條直線BA上，A∥C，B∥C，且A=B=C。平移的圖形可以是同一平面內(nèi)包括點(diǎn)、線、面在內(nèi)的任意平面圖形。問(3)：如何把一個圖形平移到指定位置？如何判定一個圖形是原圖形平移后的圖形？答：依據(jù)平移的定義，把一個圖形平移到指定位置，可由以下步驟完成：第一步：先在原圖形上選取決定圖形形狀、大小的關(guān)鍵點(diǎn)，按要求把這些關(guān)鍵點(diǎn)沿某一方向作等距離的平行移動，平移到指定位置。第二步：依據(jù)原圖形的形狀，用直線或曲線連接各對應(yīng)點(diǎn)，由此把原圖形平移到指定位置。答：由平移的定義可知，判定一個圖形是原圖形平移后的圖形，必須具備以下兩個特征：①平移后的圖形只是圖形位置的變換，形狀、大小和原圖形相同；②平移后的圖形上的每一點(diǎn)都和原圖形上的某一點(diǎn)一一對應(yīng)，每一對對應(yīng)點(diǎn)的連接線段平行或共線，且長度相等?！纠?】把網(wǎng)格中的黑色魚形圖平移至藍(lán)色魚形圖的位置。(1)有幾種平移方法？寫出這幾種平移方法的步驟；(2)網(wǎng)格中的藍(lán)色、黑色魚形圖就是平移前后的兩個圖形，說明理由。（注：圖中每小格代表一個單位長度）分析：平移就是同一平面內(nèi)沿某一方向的平行移動，圖中的平移有三個方向，有三種平移方法。(1)答：有三種方法。方法①：選取決定黑色魚形圖形狀、大小的兩個三角形的各頂點(diǎn)，把各頂點(diǎn)沿網(wǎng)格線分別向左平移6格，得到各對應(yīng)點(diǎn)，再把各對應(yīng)點(diǎn)沿網(wǎng)格線分別向上平移2格；方法②：選取決定黑色魚形圖形狀、大小的兩個三角形的各頂點(diǎn)，把各對應(yīng)點(diǎn)沿網(wǎng)格線向上平移2格，再向左平移6格；方法③：用線段連接藍(lán)色、黑色魚形圖的各對應(yīng)點(diǎn)，把黑色魚形圖上的各對應(yīng)點(diǎn)沿連線平移至藍(lán)色魚形圖上的各對應(yīng)點(diǎn)。(2)理由：如圖，藍(lán)色、黑色魚形圖形狀、大小相同，每一對對應(yīng)點(diǎn)的連接線段平行且相等。所以，藍(lán)色、黑色魚形圖就是平移前后的兩個圖形。典型題型精講解析選擇題：1.以下不屬于命題的是（）①︱0︱=0；②兩條直線互相垂直；③有公共點(diǎn)的兩條直線一定相交；④ax＋b=0；⑤連接直線上一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)；⑥代數(shù)式不一定是整式。A.①②④B．②④⑤C．②④⑥D(zhuǎn).①③⑥【答案】D【解析】命題就是用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的結(jié)論性語句。②⑤是陳述性語句，④是一元一次方程表達(dá)式，都不是結(jié)論性語句，不能判斷真假，都不是命題。只有①③⑥是能判斷真假的結(jié)論性語句。其中，①是真命題，③⑥是假命題。故選D。2.下列命題錯誤的是()①如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等。??②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。③過直線外一點(diǎn)垂直于這條直線的垂線段的長，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離。④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。A.①③B．①③④C．②④D.②③④【答案】C【解析】命題②④必須在同一個平面內(nèi)才能成立，缺少條件，故錯誤。命題①經(jīng)平行線的性質(zhì)證明正確。命題②是定義，定義是對事物本質(zhì)特征的說明，屬于真命題，故命題②正確。故選C。3.下列運(yùn)動：①把水桶從井中提起來；②汽車在彎道上行駛；③電梯的升降；④鐘表上指針的運(yùn)動。其中，一定不是平移的是()A.①④B．①③C．②④D.②③【答案】C【解析】平移是指在同一平面內(nèi)，把一個圖形上的所有點(diǎn)都沿某個方向作等距離的平行移動，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移。由平移的性質(zhì)可知：平移中的平行是指平移前后物體兩對應(yīng)點(diǎn)之間的連接線段平行且相等。所以，平移的物體要作等距離的平行移動，就必須在平面上進(jìn)行直線運(yùn)動。②④是曲線運(yùn)動，不是直線運(yùn)動，所以都不是平行移動。故選C。4.如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm。把長方形ABCD沿邊AB向上平移4cm，再沿DA方向向左平移2cm。則平移后的長方形與原來的長方形重疊部分(圖中劃橫線部分)的面積等于()A.16B.20C.24D.28【答案】A【解析】由平移的性質(zhì)可知：平移前后的長方形形狀大小相同，圖中劃橫線部分是一個四個角都是直角的長方形。如圖，橫線部分長方形的長=10－2=8cm，橫線部分長方形的寬=6－4=2cm?！郤長方形=8·2=16。選A。填空題1.命題“垂線段最短”可以表述為“如果__________________那么______________”，條件是_____________，結(jié)論是_____________，它是一個_______命題（填“真或假”）?！敬鸢浮堪阎本€外一點(diǎn)和直線上所有點(diǎn)連接起來；在所有連線中，垂線段最短直線外一點(diǎn)和直線上所有點(diǎn)的連線；垂線段最短真【解析】命題由條件和結(jié)論兩部分組成，通常都可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是條件，“那么”之后是結(jié)論，即由已知條件得出判斷結(jié)論?！按咕€段最短”是能經(jīng)過推理證明的正確的命題，是真命題。由此得出以上答案。2.以下結(jié)論中屬于定理的有___________（填序號）。①兩點(diǎn)確定一條直線；②平面內(nèi)，若⊥，⊥，則∥；③平移就是在同一平面內(nèi)上下或左右移動；④兩點(diǎn)之間線段最短；⑤平面內(nèi)，若∥，∥，則∥?！敬鸢浮竣冖荨窘馕觥拷?jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理。①④是公理，不需要證明。③是命題，但是假命題。平移在平面內(nèi)，不只是上下或左右移動，可以向其他任意方向、沿直線平行移動。②⑤都是能經(jīng)過推理證明得出的真命題。3.如圖，將邊長為5cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移4cm，得到△，則四邊形的周長為________。【答案】23【解析】由等邊△的性質(zhì)可知：AB=BC=AC=5。由平移的性質(zhì)可知：A=C=4。∵平移前后的圖形形狀大小相同?！唷鰽BC和的對應(yīng)邊相等，AC==5。由平移可知：CAB=BC=AC?！嗨倪呅蔚闹荛L=5＋5＋4＋5＋4=23。4.如圖所示，大圓O內(nèi)有一小圓O，小圓O從現(xiàn)在的位置沿OO的方向平移4個單位長度后，得到小圓O。若小圓O的半徑為1個單位長度，則小圓在平移過程中掃過的面積等于________?！敬鸢浮?＋【解析】如圖，由平移的性質(zhì)可知：小圓O在平移過程中形成了一個兩端為半圓，中間為長方形的形狀。這就是小圓在平移過程中掃過的