2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，可得.故選：D.2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以.故選：B3．棱長為3的正方體中，點(diǎn)到平面距離為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】由，用等體積法即可求解【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為3，所以，是正三角形，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，因?yàn)椋?，所以，解得，即點(diǎn)到平面距離為.故選：A4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，令，求得，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由函數(shù)，可得，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5．已知隨機(jī)變量滿足，，其中為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量滿足，，可得，解得，所以隨機(jī)變量滿足，所以.故選：A.6．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可證明，據(jù)此可得，設(shè)，可得到，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即綜上可得，，故選：D.7．拋擲甲、乙兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”，事件：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于8”，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知事件為甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4，且甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于8，則事件包含的基本事件為，而拋擲甲、乙兩顆質(zhì)地均勻的骰子共有36種情況，所以，因?yàn)榧作蛔拥狞c(diǎn)數(shù)大于4的有5，6兩種情況，所以，所以，故選：C8．已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最大值，即可求解.，【詳解】由函數(shù)，設(shè)，其中，可得，，則，設(shè)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即的最大值為.故選：A.二、多選題9．以下運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷即可.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為B．已知兩個(gè)向量，，且，則C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】BC【分析】根據(jù)投影向量計(jì)算公式判斷A；根據(jù)空間向量共線的知識(shí)判斷B；根據(jù)空間向量共面的知識(shí)判斷C和D.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以，所以在上的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以因?yàn)?，，所以，解得，所以，故B正確；對于C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，假設(shè)共面，則，顯然無解，所以不共面，則也是空間的一組基底，故C正確；對于D，，但，則四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為且滿足，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在軸的下方D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】對函數(shù)兩邊求導(dǎo)賦值，解得然后結(jié)合函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】將函數(shù)兩邊求導(dǎo)，得：，令故，，由此可以判斷函數(shù)是偶函數(shù)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)B正確；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的圖象恒在軸的下方，選項(xiàng)C正確；，且函數(shù)是偶函數(shù)，由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則有，解得：，選項(xiàng)D正確；故選：BCD.12．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)且時(shí)，有B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，直線和所成的角的取值為D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值范圍是【答案】ABD【分析】對于選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算得到，從而得到，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，利用條件確點(diǎn)的位置，再利用等體法即可判斷選項(xiàng)的正誤；對于選項(xiàng)C，利用空間直角坐標(biāo)系，將線線角轉(zhuǎn)化成兩向量所成角來求解，設(shè)，從而得到，再利用的取值范圍即可求出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；對于選項(xiàng)D，根據(jù)條件，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取中點(diǎn)點(diǎn)，從而得到為與平面所成的角，進(jìn)而可求出的最大值和最小值.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)且時(shí)，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，又，所以，所以，所以選項(xiàng)A正確．

選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，為的上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)椋忠字?，到平面的距離為，所以，所以選項(xiàng)B正確．選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，為線段的上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，又，，，，所以，又，由，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以直線與所成角的范圍為，所以選項(xiàng)C不正確．選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，則為的上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2，取中點(diǎn)點(diǎn)，，又三棱柱為正三棱柱，所以平面，則為與平面所成的角，在中，為定值，又,所以與平面所成的最大角為，此時(shí)，最小角為，此時(shí)．所以選項(xiàng)D正確．

故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理和向量的幾何運(yùn)算確定各個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的位置，再利用向量法或幾何法來處理.三、填空題13．已知空間直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則邊上中線的長度為．【答案】【分析】根據(jù)空間向量中點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，則,故答案為：.14．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，而第1，2，3臺(tái)車床的次品率分別為，，．現(xiàn)從加工出來的零件中隨機(jī)抽出一個(gè)零件，則取到的零件是次品的概率為．【答案】【分析】設(shè)“任取一個(gè)零件為次品”，“零件為第臺(tái)車床加工”，利用全概率的公式求解．【詳解】設(shè)“任取一個(gè)零件為次品”，“零件為第臺(tái)車床加工”，則，兩兩互斥．根據(jù)題意得：，，由全概率公式，得．故答案為：.15．如圖，60°的二面角的棱上有、兩點(diǎn)，射線、分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱．若，，．則的長度為．

【答案】2【分析】由，得即可計(jì)算答案．【詳解】，，，．，，故答案為：216．設(shè)函數(shù)，若，恒成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，可得，再構(gòu)造，利用，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，恒成立，符合題意；當(dāng)，，所以，構(gòu)造函數(shù)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，則時(shí)，，所以，，令，所以在上遞增，上遞減，所以，所以，又，所以，綜上可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（1）分類討論思想的應(yīng)用；（2）兩次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，并加以應(yīng)用.四、解答題17．已知函數(shù)在處有極值．(1)求的解析式；(2)求在上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為1【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)以及極值即可聯(lián)立方程求解，利用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證即可.（2）列表得函數(shù)的單調(diào)性以及端點(diǎn)處和極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.【詳解】（1），，即，解得，當(dāng)，，當(dāng)或單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以取極大值，符合題意，所以，.（2）由，得，令，則，，由于和都在區(qū)間內(nèi)，所以可列表如下：遞增遞減遞增所以在上的最大值為，最小值為1.18．已知一個(gè)盒子中有除顏色外其余完全相同的5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球現(xiàn)從盒子中不放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取1個(gè)球．(1)求第二次摸出的球是紅球的概率；(2)求取得紅球數(shù)的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）解法一，利用全概率公式即可求解；解法二，利用古典概型概率公式結(jié)合排列數(shù)即可求解；（2）由題意可得，根據(jù)超幾何分布的分布列即可求解分布列及期望.【詳解】（1）解法一：設(shè)表示第1次摸到紅球，設(shè)表示第2次摸到紅球，，所以第二次摸出的球是紅球的概率是．解法二：設(shè)事件表示第二次摸出的球是紅球，，即，所以第二次摸出的球是紅球的概率是．（2）從5個(gè)球中摸取3個(gè)球，用表示抽到的紅球數(shù)，則，所以，，，所以分布列：012所以取得紅球數(shù)的期望為．19．銀耳作為我國傳統(tǒng)的食用菌，有“菌中之冠”的美稱，歷來深受廣大人民所喜愛漢代《神農(nóng)本草經(jīng)》記載：銀耳有“清肺熱、濟(jì)腎燥、強(qiáng)心神、益氣血”之功效．寧德市山川秀美，氣候宜人，非常適合銀耳的種植栽培，其銀耳產(chǎn)量占全球產(chǎn)量的90%以上．(1)經(jīng)查資料，得到近4年寧德市銀耳產(chǎn)量（單位：萬噸）如下表：年度2019202020212022年度代碼1234銀耳產(chǎn)量34.9036.2037.2038.5請利用所給數(shù)據(jù)求銀耳產(chǎn)量與年度代碼之間的回歸直線方程，并估計(jì)2023年銀耳產(chǎn)量．(2)寧德市某銀耳開發(fā)研究公司積極響應(yīng)國家倡導(dǎo)的科技創(chuàng)新，研發(fā)了一款提高銀產(chǎn)量的輔料——“多保靈”．該公司科研小組為了研究這款產(chǎn)品是否有利于提高銀耳產(chǎn)量，從同一其他條件下種植的2000筒銀耳中隨機(jī)抽取了100袋，對是否使用“多保靈”和銀耳每筒的產(chǎn)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：是否使用“多保靈”每筒產(chǎn)量克每筒產(chǎn)量克總計(jì)未使用2545有按規(guī)定比例量使用10總計(jì)7030100①完善填寫上面的列聯(lián)表．②問：是否有99%的把握認(rèn)為銀耳每筒產(chǎn)量與是否有按規(guī)定比例量使用“多保靈”有關(guān)？參考公式：（?。?，（ⅱ），（ⅲ），參考數(shù)據(jù)：，，2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.100.050.0250.0100.0050.001【答案】(1)，39.65萬噸(2)①列聯(lián)表見解析；②有的把握認(rèn)為銀耳產(chǎn)量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關(guān)【分析】（1）先求出線性回歸方程，再令進(jìn)行預(yù)測；（2）先填寫列聯(lián)表，再計(jì)算判斷.【詳解】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，，，，，所以，故，所以，所求的回歸直線方程為，令，則，故預(yù)測2023年銀耳產(chǎn)量為39.65萬噸．（2）①列聯(lián)表如下：是否使用“多寶靈”每筒產(chǎn)量克每筒產(chǎn)量克總計(jì)未使用252045有按規(guī)定比例使用451055總計(jì)7030100②又因?yàn)椋也楸砜傻?，由于，所以有的把握認(rèn)為銀耳產(chǎn)量與是否有按規(guī)定比例使用“多寶靈”有關(guān)．20．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，．

(1)證明：平面平面；(2)已知，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）根據(jù)勾股定理證明線線垂直，結(jié)合線面垂直得線線垂直，即可由線面垂直的判斷定理證明線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.（2）建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解二面角，即可.或者利用幾何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】（1）底面是平行四邊形，則，∵，∴，∴∵平面，平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，，，則平面的一個(gè)法向量為，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，∴，∴，所以解法二：連接，由（1）知，，，平面，平面,所以平面，由平面,所以，所以為二面角的平面角，所以，在中，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以為中點(diǎn)，所以21．在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費(fèi)用為0.8萬元；方案2：花費(fèi)0.5萬元增加一臺(tái)可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．請從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【答案】(1)0.8(2)答案見解析(3)決策部門應(yīng)選擇方案2，理由見解析【分析】（1）先用表示出，結(jié)合題意即可求出的最小值；（2）由題意可知，滿足二項(xiàng)分布，故易得能正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；（3）分別計(jì)算兩種方案的損失期望值，即可做出決策.【詳解】（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為，則，解得，故的最小值為0.8．（2）設(shè)為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，，，，，，從而的分布列為：01230.0270.1890.4410.343（3）設(shè)方案1?方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.8，可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，故萬元．采用方案2，花費(fèi)0.5萬元增加一臺(tái)可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，故萬元．因此，從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2．22．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求三角形面積；（2）解法一求出的單調(diào)性，用零點(diǎn)存在性定理判斷每個(gè)單調(diào)區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)