2023年九年級數(shù)學上冊重要考點題精講精練(人教版) 圓及垂徑定理（10大題型）（原卷版）

圓及垂徑定理（原卷）圓的定義(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.

注意：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.題型1：圓的概念1.到圓心的距離不大于半徑的點的集合是（）A．圓的外部 B．圓的內部 C．圓 D．圓的內部和圓【變式1-1】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．以點O為圓心 B．以10m長為半徑 C．以點A為圓心，4cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點M與圓有關的概念1.弦弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

2.弧

?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

4.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.題型2：與圓有關的概念2.判斷題(對的打√，錯的打×，并說明理由)

①半圓是弧，但弧不一定是半圓；（）

②弦是直徑；（）

③長度相等的兩段弧是等?。唬ǎ?/p>

④直徑是圓中最長的弦.（）【變式2-1】下列說法中，結論錯誤的是（）A．直徑相等的兩個圓是等圓B．長度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧【變式2-2】下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型3：確定圓心和圓3.將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．畫出該輪的圓心；【變式3-1】如圖所示，BD，CE是△ABC的高，求證：E，B，C，D四點在同一個圓上．圓的性質

①旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；

②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.題型4：圓的對稱性4.已知：如圖，兩個以O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D．求證：AC=BD．【變式4-1】圓O所在平面上的一點P到圓O上的點的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？【變式4-2】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個動點，那么OP的長的取值范圍是.垂徑定理及推論1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

常見輔助線做法：過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．題型5：垂徑定理與計算5.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的長．【變式5-1】如圖，AB是⊙O的弦，C為AB的中點，OC的延長線與⊙O交于點D，若CD=2，AB=12，求【變式5-2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的長．題型6：垂徑定理與證明6.如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD.【變式6-1】已知：如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，AO平分∠BAC．求證：AB＝AC．【變式6-2】如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求證：AC題型7：垂徑定理分類討論問題7.在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【變式7-1】已知圓中兩條平行的弦之間距離為1，其中一弦長為8，若半徑為5，則另一弦長為（）A．6 B．221 C．6或221 D．以上說法都不對【變式7-2】已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm題型8：垂徑定理翻折問題8.如圖，⊙O的半徑為4，將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為．【變式8-1】如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，求折痕AB的長.【變式8-2】如圖,AB是以點O為圓心的圓形紙片的直徑，弦CD⊥AB于點E,AB=10,BE=3.將陰影部分沿著弦AC翻折壓平，翻折后，弧AC對應的弧為G，則點O與弧G題型9：垂徑定理的應用-拱橋問題9.如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑．（2）有一艘寬為7.8m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋？并說明理由．【變式9-1】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【變式9-2】中國的拱橋始建于東漢中后期，已有一千八百余年的歷史，如圖，一座拱橋在水面上方部分是AB，拱橋在水面上的跨度AB為8米，拱橋AB與水面的最大距離為3米.（1）用直尺和圓規(guī)作出AB所在圓的圓心O；（2）求拱橋AB所在圓的半徑.題型10：垂徑定理的應用-油管問題10.在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【變式10-1】在半徑為17dm的圓柱形油罐內裝進一些油后，橫截面如圖．（1）若油面寬AB=16dm，求油的最大深度．（2）在（1）的條件下，若油面寬變?yōu)镃D=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【變式10-2】在直徑為1000毫米的圓柱形油罐內裝進一些油.其橫截面如圖.油面寬AB=600毫米.（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?00毫米，此時油面上升了多少毫米？一、單選題1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（）A． B．2 C．2 D．82．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的點，AB⊥CD，OA=2，CD=23，則∠D等于（）A．20° B．25° C．30° 3．如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若AB的度數(shù)為60°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．60° B．30° C．35° D．45°4．某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖所示，污水水面AB寬為80cm，管道頂端最高點到水面的距離為20cm，則修理人員需準備的新管道的半徑為（）A．50cm B．503cm C．100cm D．80cm5．如圖，AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，連結OC，若OC=5，CD=8，則AE的長是：（）A．4 B．2 C．1 D．36．如圖，C、D是以AB為直徑、O為圓心的半圓上的兩點，OD∥BC，OD與AC交于點E，下列結論中不一定成立的是（）A．AD=DC B．∠ACB=90°C．△AOD是等邊三角形 D．BC=2EO7．下面說法正確的是（）A．圓上兩點間的部分叫做弦B．垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧C．圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半D．90度的角所對的弦是直徑二、填空題8．經(jīng)過點A且半徑為1厘米的圓的圓心的軌跡是．9．如圖，在圓O中有折線ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，則弦AB10．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=23cm，則⊙O的半徑為cm.三、解答題11．如圖，⊙O的半徑OC⊥AB，D為BC上一點，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，EF=3，求直徑AB的長．12．如圖，水平放置的一個油管的截面半徑為13cm，其中有油部分油面寬AB為24cm，求截面上有油部分油面高CD。

13．某公園管理人員在巡視公園時，發(fā)現(xiàn)有一條圓柱形的輸水管道破裂，通知維修人員到場檢測，維修員畫出水平放置的破裂管道有水部分的截面圖（如圖）．（1）請你幫忙補全這個輸水管道的圓形截面（不寫作法，但應保留作圖痕跡）；（2）維修員量得這個輸水管道有水部分的水面寬AB=123cm，水面最深地方的高度為6cm，請你求出這個圓形截面的半徑r及破裂管道有水部分的截面圖的面積S．14．如圖，已知