廣東省佛山市鄭裕彤中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省佛山市鄭裕彤中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合，則（

）A.B.C.D.參考答案：A2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知函數(shù)，則

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C由圓得，半徑．∵過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，∴∴，所以選C．另：本題可以數(shù)形結(jié)合運(yùn)用向量投影的方法可求得結(jié)果。5.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t=（

）A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：B6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù).已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕11313

關(guān)于的極小值﹐試問下列（）選項(xiàng)是正確的﹖A．

B．

C．

D．不存在參考答案：C知識點(diǎn)：方程的根與函數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的極值.解析：解：方程式的相異實(shí)根數(shù)等價(jià)于函數(shù)與直線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)﹒依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕(1)當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為正時(shí)﹕

(2)當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)﹕因?yàn)闃O小值點(diǎn)位于兩水平線與之間﹐所以其坐標(biāo)（即極小值）的范圍為﹒故選C﹒思路點(diǎn)撥：方程式的相異實(shí)根數(shù)等價(jià)于函數(shù)與直線的交點(diǎn)數(shù)，然后畫圖形即可.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值大于0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.

．參考答案：

31

略10.“”是“”成立的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是___________.參考答案：略12.設(shè)實(shí)數(shù)x?y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為

．參考答案：26【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（4，6）．此時(shí)z的最大值為z=2×4+3×6=26，故答案為：2613.已知等比數(shù)列{an}（n＝1，2，3）滿足an+1＝2﹣|an|，若a1＞0，則a1＝_____．參考答案：1或2+或2﹣【分析】由已知可知，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求．【詳解】解：等比數(shù)列{an}滿足an+1＝2﹣|an|，且a1＞0，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，則a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，若a3＝a1，則，解可得，a1＝1，此時(shí)數(shù)列的前3項(xiàng)分別為1，1，1，若a3＝4﹣a1，則，解可得a1＝2，當(dāng)a1＝2-時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)分別為2-,，2+，當(dāng)a1＝2+時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)分別為2+，，2﹣，故答案為：1或2+或2﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值是

.參考答案：23執(zhí)行程序框圖，依次得到，符合條件，輸出，其值為23.15.在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則

．參考答案：．因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)即，∵，∴，∴．16.已知集合，若2∈A，3不屬于A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.參考答案：略17.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5=3（a2+a8），則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】在等差數(shù)列中，下標(biāo)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)也成等差數(shù)列，所以s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，．【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，∴s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，又S5=3（a2+a8），∴5a3=3×2a5，∴故答案為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=?，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于．（1）求ω的取值范圍；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=2，當(dāng)ω最大時(shí)，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；余弦定理．【分析】（1）函數(shù)f（x）==（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）+2cosωx?sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），由f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于，則，解得ω的范圍；

（2）當(dāng)ω=1時(shí)，，求得A，由余弦定理、不等式的性質(zhì)，得bc的最大值，【解答】解：（1）函數(shù)f（x）==（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）+2cosωx?sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于∴T≥π，則，解得0＜ω≤1；

（2）∵當(dāng)ω=1時(shí)，，且A∈（0，π），∴，，∴b2+c2=bc+4，又b2+c2≥2bc，∴bc+4≥2bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，bc=4，∴．

…19.（15分）（2015?楊浦區(qū)二模）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，線段PQ為拋物線C的一條弦．（1）若弦PQ過焦點(diǎn)F，求證：為定值；（2）求證：x軸的正半軸上存在定點(diǎn)M，對過點(diǎn)M的任意弦PQ，都有為定值；（3）對于（2）中的點(diǎn)M及弦PQ，設(shè)，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，且滿足，求N點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（1）設(shè)出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值，由拋物線的定義分別表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情況；（2）設(shè)出直線PQ的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，即可求得定點(diǎn)M和定值；（3）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件，化簡整理即可求得定點(diǎn)N．（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)為F（，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣）（k≠0），代入拋物線方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2=，x1+x2=p+，由拋物線的定義，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===為定值．當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）證明：設(shè)M（m，0），當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+為定值．當(dāng)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)PQ：x=ty+m，代入拋物線方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，設(shè)P（，y1），Q（，y2）則y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=?，存在m=p即有定點(diǎn)M（p，0）時(shí)，上式為?=為定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）?（﹣λ）=0，即為NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），設(shè)，則y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又設(shè)N（n，0）（n＜0），則（n﹣）2+y12=λ2[（﹣n）2+y22]，即為﹣n=λ（﹣n），③將①平方可得，y12=λ2y22，④，將④代入②③，化簡可得n=﹣p．則N（﹣p，0）．【點(diǎn)評】：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系．同時(shí)考查向量垂直的條件和向量共線的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義是解題的關(guān)鍵，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．20.已知函數(shù)，，其中.（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)，即時(shí)，，故在上是增函數(shù)；②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）由（1）令，，①當(dāng)時(shí)，存在（…）使得成立可化為，計(jì)算得出；②當(dāng)時(shí)存在（），使得成立可化為，計(jì)算得出，；③當(dāng)時(shí)存在（），使得成立可化為，無解；④當(dāng)時(shí)存在（），使得成立可化為，計(jì)算得出，；綜上所述，的取值范圍為21.（本小題滿分12分）甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲：82

81

79

78

95

88

93

84

乙：92

95

80

75

83

80

90

85（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并寫出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）經(jīng)過計(jì)算知甲、乙兩人預(yù)賽的平均成績分別為，甲的方差為，現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加較合適？請說明理由；（3）現(xiàn)規(guī)定80分以上為合格成績，90分以上為優(yōu)秀成績，從甲的合格成績中隨機(jī)抽出2個(gè)，則抽出優(yōu)秀成績的概率有多大？參考答案：（3）設(shè)所求事件為A甲的合格成績有6個(gè)，從中隨機(jī)抽2個(gè)，結(jié)果如下：（81,82），（81,84），（81,88），（81,93），（88,95），（82,84），（82,88），（82,93），（82,95），（84,88），（84,93），（84,95），（88,93），（88,95），（93,95）共有15個(gè)，………………9分其中抽出優(yōu)秀成績的情況有：（81,93），（88,95），（82,93），（82,95），（84,93），（84,95），（88,93），（88,95），（93,95），共9個(gè)…10分則………………12分略22.如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形，，平面平面，平面，點(diǎn)為的中點(diǎn),連接.

(1)求證：∥平面；