第八章非線性優(yōu)化課件

非線性優(yōu)化的應(yīng)用投資組合管理優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策工廠位置的優(yōu)化非線性優(yōu)化的應(yīng)用投資組合管理8.1用一個非線性優(yōu)化模型定量描述一個管理問題我們將通過考察三個管理中的實例,介紹非線性優(yōu)化模型的應(yīng)用。這三個實例分別為:實例8.1:馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理。實例8.2:優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策。實例8.3:優(yōu)化設(shè)施位置。8.1用一個非線性優(yōu)化模型定量描述一個管理問題我們將通過考察實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(1)

非線性優(yōu)化模型在資產(chǎn)管理行業(yè)中的應(yīng)用。公募基金,私募基金,券商集合理財,社?；?保險公司等構(gòu)造最優(yōu)資產(chǎn)組合。無論如何構(gòu)造資產(chǎn)組合都將面臨風險,基金管理者希望達到兩個主要目標:*使投資組合收益的期望值達到最大化*使投資組合的風險達到最小化投資者困境問題在實際情況中,這兩個目標相互抵觸。也就是說,為了取得投資組合較高收益的期望值,需要承擔風險。相反,為了規(guī)避風險,投資組收益的期望值將會被減少。實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(1)

非線實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(2)

假設(shè)G先生是馬拉松投資公司的一名投資經(jīng)理。假設(shè)馬拉松投資公司正在構(gòu)造股票組合,可共選擇的三種股票分別為新通信,一般空間系統(tǒng),以及數(shù)字設(shè)備。馬拉松投資公司的金融分析師(通常畢業(yè)于金融工程專業(yè))已經(jīng)收集了數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行了處理,獲得了這些股票收益的期望值,標準差,和相關(guān)系數(shù)信息。這些信息概括在表8.1中。實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(2)

假設(shè)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(3)

表8.1股票名稱年期望收益(%)收益的標準差(%)相關(guān)系數(shù)新通信一般空間數(shù)字設(shè)備新通信11.04.004.000.160-0.395一般空間14.04.690.1604.690.067數(shù)字設(shè)備7.03.16-0.3950.0673.16實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(3)

表8實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(4)

概率和統(tǒng)計學的復習隨機變量,及隨機變量的期望值,標準差,相關(guān)系數(shù)的定義。隨機變量當一個概率模型中的結(jié)果是數(shù)字時,我們把這個不確定量稱做隨機變量。隨機變量要么是離散隨機變量,要么是連續(xù)隨機變量。一個實例:考慮某飛機制造商。假設(shè)X表示該公司第二年將收到飛機的訂單數(shù)目。X的值是不確定的。因此,X是一個隨機變量。X的可能取值:42,43,44,45,46,47,48。X是離散隨機變量。假設(shè)Y表示北京下一個月降雨的厘米數(shù)量。Y的值是不確定的。然而,Y可以是0到15厘米之間的任何數(shù)值。Y不限于整數(shù)。因此,X是一個連續(xù)隨機變量。實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(4)

概率實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(5)期望值離散隨機變量X的期望值為:

μx=E(X)=∑P(X=xi)×xi連續(xù)隨機變量Y的期望值為:

μy=E(Y)=∫y×f(Y)dY方差離散隨機變量X的方差計算公式為:VAR(X)=∑P(X=xi)×(xi-E(X))2連續(xù)隨機變量y的方差計算公式為: VAR(Y)=∫(

Y-E(Y))2×f(Y)dY標準差隨機變量的標準差為:

實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(5)期望值實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(6)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(6)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(7)協(xié)方差與相關(guān)性設(shè)X和Y是兩個具有均值μX和μY的隨機變量。隨機變量則X和Y的協(xié)方差被定義為COV(X,Y)=∑pi×(xi-μX)×(yi-μY)X和Y的協(xié)方差是對兩個隨機變量同步變化的一種度量。X和Y的相關(guān)性定義為:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(7)協(xié)方差實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(8)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(8)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(9)考察表8.1中的數(shù)據(jù)。投資于新通信股票獲得的年收益(或資金的年收益率)在投資時是一個未知數(shù),在某些年份會獲得高收益,而在某些年份會獲得低收益。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和對市場環(huán)境的研究,金融分析師能夠估計一種資產(chǎn),比如,新通信股票的平均年收益率,或年收益率的均值。分析師也能夠估計新通信股票年收益率的標準差,估計結(jié)果是4.00%。分析師還估計出新通信股票與一般空間系統(tǒng)股票之間的相關(guān)系數(shù),為0.16,新通信股票與數(shù)字設(shè)備之間的相關(guān)系數(shù),為-0.395。實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(9)考察表實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(10)馬拉松投資公司想要確定投資三種股票的資金比例。我們定義下述決策變量:XA=投資于新通信股票的資金比例XG=投資于一般空間系統(tǒng)股票的資金比例XD=投資于數(shù)字設(shè)備股票的資金比例由于這些變量都是百分比,它們必須滿足約束條件:

XA+XG+XD=1設(shè)RA,RG和RD分別表示新通信,一般空間系統(tǒng)和數(shù)字設(shè)備的年收益率。設(shè)R表示三個股票組合的收益率,R可以被表示為:R=XARA+XGRG+XDRD由于RA,RG和RD都是隨機變量,因此R也是一個隨機變量。事實上,R是隨機變量RA,RG和RD的線性函數(shù),其期望值為:

E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(10)馬拉實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(11)我們的目標是使組合的年收益率最大化。我們定義σR為組合年收益率的標準差,它是組合的風險大小的一種度量。如何計算σR?參見下述公式推導實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(11)我們實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(12)將表8.1中的數(shù)據(jù)代入上式,整理后有:所以組合的標準差為:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(12)將表實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(13)假設(shè)我們希望組合的年收益不低于11%,如何選擇投資比例使的組合的風險達到最小?其數(shù)學模型為:最小化:約束條件為:比例:目標收益率:非負性:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(13)假設(shè)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(14)上述非線性優(yōu)化模型的目標函數(shù)就是投資組合的標準差(度量投資組合風險)。第一個約束條件是所有投資比例(共有3個)之和必須等于1。第二個約束條件是投資組合的年期望值必須至少是11%。第三個約束條件是不可賣空

。注意到這是個非線性優(yōu)化問題,因為目標函數(shù)是決策變量XA,XG,XD的一個非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題,結(jié)果參見表8.2。

實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(14)上述實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(15)表8.2股票名稱決策變量最優(yōu)比例新通信XA0.3769一般空間系統(tǒng)XG0.3561數(shù)字設(shè)備XD0.2670實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(15)表8實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(16)根據(jù)表8.1中的數(shù)據(jù),組合的標準差(目標函數(shù)值)為:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(16)根據(jù)實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(17)另外一種方案,假設(shè)馬拉松投資公司希望目標為最大化組合的收益率,并滿足一個使組合的標準差限制在至多是一個預先給定的數(shù)值范圍內(nèi)(控制風險)的約束。假設(shè),能夠容忍的標準差至多是3.1%。那么,產(chǎn)生的非線性優(yōu)化問題為:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(17)另外實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(18)最大化:約束條件為:比例:目標風險:非負性:實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(18)最大實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(19)在這個問題中,目標函數(shù)是決策變量的一個線性函數(shù),但是其中一個約束條件是非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題,結(jié)果參見表8.3。組合年收益率的期望值將是:E(R)=11.0XA+14.0XG+7.0XD=11.0(0.3782)+14.0(0.5339)+7.0(0.0879)=12.250%實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(19)在這實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(20)表8.3股票名稱決策變量最優(yōu)比例新通信XA0.3782一般空間系統(tǒng)XG0.5339數(shù)字設(shè)備XD0.0879實例實例8.1馬拉松投資公司的最優(yōu)投資組合管理(20)表8實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(1)回顧GTC公司的生產(chǎn)計劃模型,參見第七章的實例7.2。在GTC的生產(chǎn)計劃問題中,公司想要選擇每天生產(chǎn)扳手和鉗子的產(chǎn)量,分別以

XW和XP表示,以使每日利潤最大化。相應(yīng)的線性優(yōu)化模型為:最大化:

130XW+100XP

約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP≤27澆鑄:1.0XW+1.0XP≤21裝配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤15鉗子需求:XP≤16非負性:XW,XP≥0實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(1)回顧GTC公司的生產(chǎn)計劃實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(2)線性優(yōu)化模型的假設(shè)為GTC是一個”價格接受者”,也就是說,GTC是家非常小的公司,以至不會影響扳手和鉗子的價格。假設(shè)GTC有非常大的市場份額,GTC是扳手和鉗子市場的”價格制定者”。市場對GTC的扳手和鉗子的需求是GTC所制定價格的函數(shù)。假設(shè),PW表示扳手的價格(以每千件美元表示),PP表示鉗子的價格(以每千件美元表示)。GTC估計設(shè)定的價格PW和PP對扳手和鉗子需求的影響可以表示為下述需求等式:DW=565.0-0.50PWDP=325.0-0.25PP其中DW和DP分別表示扳手和鉗子的需求。這兩個關(guān)系式將GTC設(shè)定的每件工具的價格與GTC面臨的每件工具的需求關(guān)聯(lián)起來。實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(2)線性優(yōu)化模型的假設(shè)為GT實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(3)所以,如果GTC設(shè)定每千件扳手的價格為PW=1,100美元,那么GTC面臨的需求為千件:DW=565.0-0.50X1,100=15.0我們注意到需求是價格的遞減函數(shù),既價格上升,需求就下降。表8.4給出了生產(chǎn)扳手和鉗子的單位(以千件為單位)成本。實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(3)所以,如果GTC設(shè)定每千實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(4)表8.4扳手鉗子需求(千件)DW=565.0-.50PWDP=325.0-0.25PP單位成本(美元/千件)1,0001,200利潤(美元/千件)PW-1,000PP-1,200實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(4)表8.4扳手鉗子需求(千實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(5)將扳手和鉗子的價格作為兩個新的決策變量,并將需求等式和生產(chǎn)成本加入到GTC的生產(chǎn)計劃模型中。目標函數(shù)就變?yōu)?(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP扳手和鉗子的產(chǎn)量不可以超過它們的需求量:XW≤565.0-0.50PWXP≤325.0-0.25PP修改后的優(yōu)化模型是:實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(5)將扳手和鉗子的價格作為兩實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(6)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP≤27澆鑄:1.0XW+1.0XP≤21裝配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW≤565.0-0.50PW鉗子需求:XP≤325.0-0.25PP非負性:XW,XP,PW,PP≥0重新安排后,我們有:實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(6)最大化:(PW實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(7)最大化:(PW-1,000)XW+(PP-1,200)XP約束條件為:鋼鐵:1.5XW+1.0XP≤27澆鑄:1.0XW+1.0XP≤21裝配:0.3XW+0.5XP≤9扳手需求:XW+0.50PW≤565.0鉗子需求:XP+0.25PP≤325.0非負性:XW,XP,PW,PP≥0實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(7)最大化:(PW實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(8)在這個模型中,所有約束都是決策變量XW,XP,PW,PP的線性函數(shù)。然而,目標函數(shù)是決策變量的一個非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解。最優(yōu)解:XW=13.818,XP=6.273,PW=1,102.36

,PP=1,274.91

。實例8.2優(yōu)化生產(chǎn)和定價決策(8)在這個模型中,所有約束都實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(1)假設(shè)一家公司想要選擇一個新的分發(fā)中心的地址,以便同時對位于A,B,C,D地區(qū)的四個銷售中心提供服務(wù)。圖8.1說明了在這個坐標平面中每個銷售中心的相對位置。表8.5說明了從新的分發(fā)中心對每個銷售中心每天必須發(fā)送的卡車次數(shù),以及每個銷售中心在圖8.1中的坐標值。假設(shè)對于分發(fā)中心和每個銷售中心之間,卡車的運輸成本是每英里1.00美元。公司想要確定新分發(fā)中心的位置,以便用最低的運輸成本為銷售中心提供服務(wù)。實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(1)假設(shè)一家公司想要選擇一個新的實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(2)16圖8.1四個銷售中心的位置14121086024246810121416ABCD實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(2)16圖8.1四個銷售中心的實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(3)表8.5銷售中心每日卡車運輸次數(shù)X坐標值Y坐標值A(chǔ)982B7310C3815D21413實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(3)表8.5銷售中心每日卡車運輸實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(4)構(gòu)造這個問題的非線性優(yōu)化模型。設(shè)P=(X,Y)是坐標平面中的分發(fā)中心的位置。從P到銷售中心A的距離為:由于銷售中心A每天必須接受9輛卡車,那么從分發(fā)中心到銷售中心A的運輸成本為:實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(4)構(gòu)造這個問題的非線性優(yōu)化模型實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(5)以類似方法獲得從P到其他銷售中心A的運輸成本。那么,有關(guān)決定分發(fā)中心位置(X,Y)的設(shè)施位置問題是:在這個模型中,決策變量X和Y沒有任何約束條件,目標函數(shù)是X和Y的非線性函數(shù)。利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解為:X=6.95,Y=7.47。最優(yōu)目標函數(shù)值(日運輸成本)等于285.94美元最小化:實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(5)以類似方法獲得從P到其他銷售實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)161412810642048121416BCDA圖8.2必須為于四邊形內(nèi)的分發(fā)中心的位置實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)16141281064204實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)考慮這個設(shè)施問題的一個更全面的解決方案。假設(shè)要求分發(fā)中心的位置限制在圖8.2中顯示的四邊形的區(qū)域內(nèi),那么分發(fā)中心位置問題可以表示為:最小化:約束條件為:X≥10Y≥5Y≤11X+Y≤24實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(6)考慮這個設(shè)施問題的一個更全面實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(7)利用EXCEL的規(guī)劃求解,我們可求解這個問題的最優(yōu)解。

最優(yōu)解為:X

=10.0,Y=7.40最優(yōu)的日運輸成本是308.45美元。實例8.3優(yōu)化設(shè)施的位置(7)利用EXCEL的規(guī)劃求解,我8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(1)我們研究非線性優(yōu)化問題的幾何圖形。約束條件為:P1:最小化8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(1)我們研究8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(2)在問題P1中,如果決策變量X和Y滿足所有約束條件,則X和Y是一個可行解。所有可行解的集合被稱為可行域。非線性模型的最優(yōu)解是使目標函數(shù)達到最優(yōu)(最大值或最小值)值的可行解。我們通過將問題P1的所有約束條件繪制在二維平面上來獲得問題P1的可行域。第一個約束條件是:(X-8)2+(Y-9)2≤49首先繪制等式約束:(X-8)2+(Y-9)2=49它是圓心為于(8,9),半徑等于7的圓,參見圖8.3。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(2)在問題P8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(3)

YX

138

1514圖8.3滿足約束(X-8)2+(Y-9)2≤49

98.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(3)YX18.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(4)從圖8.3中,我們可以看到滿足第一個約束條件,即(X-8)2+(Y-9)2≤49的點位于圓內(nèi)(包括圓周)的所有點。第二個約束條件X≥2是為于直線X=2右邊(包括直線)所有的點。第三個約束條件X≤13是為于直線X=13左邊(包括直線)所有的點。第四個約束條件X+Y≤24是為于直線X+Y=24下邊(包括直線)所有的點。那么問題P1的可行域如圖8.4所示。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(4)從圖8.38.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(5)

YX1610圖8.4問題P1的可行域

12

16

981412642

148.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(5)YX168.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(6)接下來,我們需要繪制目標函數(shù)的等值線。對于問題P1,目標函數(shù)為:這個函數(shù)的等值線是圓心都在點(14,14)的同心圓。我們將問題P1的目標函數(shù)的等值線顯示在圖8.5中。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(6)接下來,8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(7)

YX圖8.5問題P1的解的圖形表示

16

14

12

92468101214168.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(7)YX圖88.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(8)從圖8.5可以看出P1問題的最優(yōu)解是與點(14,14)最近的可行域上的點。它是目標函數(shù)的等值線與約束X+Y≤24相接觸的點。從圓心(14,14)到(0,0)的直線與直線X+Y＝24正交。那么,這個點一定在直線Y=X上,由此可以求出最優(yōu)解為X=12,Y=12。最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(8)從圖8.58.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(9)我們對問題P1修改后獲得問題P2。P2:最小化約束條件為:8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(9)我們對問題8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(10)問題P2的約束條件與問題P1的約束條件完全一樣。問題P2的目標函數(shù)與問題P1的目標函數(shù)具有相同公式形式。問題P2的目標函數(shù)的等值線的中心點是(16,14)。問題P2的解的圖形標識顯示在圖8.6中。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(10)問題P28.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(11)

YX圖8.6問題P2的解的圖形表示

16

14

12

9281216148.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(11)YX圖8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(12)從圖8.6可以看出P2問題的最優(yōu)解是與點(16,14)最近的可行域上的點。它是目標函數(shù)的等值線同時與約束X+Y≤24和約束X≤13相接觸的點。最優(yōu)解正好是邊角點。最優(yōu)解為X=13,Y=11。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(12)從圖8.8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(13)最后讓我們考慮第三個問題P3。

P3:最小化約束條件為:8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(13)最后讓我8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(14)這個問題P3的約束條件與問題P1和問題P2的約束條件完全一樣。問題P3的目標函數(shù)與問題P1和問題P2的目標函數(shù)具有相同公式形式。問題P3的目標函數(shù)的等值線的中心點是(8,8)。問題P3的解的圖形標識顯示在圖8.7中。這個問題的最優(yōu)解出現(xiàn)在點(8,8)位置。最優(yōu)解不在邊界上,滿足所有嚴格不等式。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(14)這個問題8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(15)YX圖8.7問題P3的解的圖形表示

16

14

12

8281416

108.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(15)YX圖88.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(16)根據(jù)以上的討論,我們得到一個非線性優(yōu)化模型算法的初步觀察。有關(guān)非線性優(yōu)化模型的圖形分析的兩個認識。1.非線性優(yōu)化模型的最優(yōu)解不一定出現(xiàn)在可行域的”頂點”,甚至也不一定出現(xiàn)在可行域的邊界上。2.如果最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊界上,它一定處在可行域的邊界與目標函數(shù)等值線相接觸的位置。8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(16)根據(jù)以上8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(17)局部與全局最優(yōu)解局部最優(yōu)解是在可行解附近(也稱為一個鄰域內(nèi))的所有可行點中優(yōu)化目標函數(shù)的一可行解。我們用一個例子說明局部最優(yōu)解,參見圖8.9。P4:最小化F(X)約束條件為:X≤7X≥28.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(17)局部與全8.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(18)圖8.9

YX27358.2具有兩個變量的非線性優(yōu)化模型的圖形分析(18)圖8.9作業(yè)(3)P457練習8.2P457練習8.2作業(yè)(3)P457練習8.28.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(1)利用電子表格的規(guī)劃求解功能求解非線性優(yōu)化模型?？紤]求解P3。P3:最小化約束條件為:8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(1)利用電子表格的規(guī)劃求解8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(2)根據(jù)EXCEL規(guī)劃求解的要求，將P1的決策變量，目標函數(shù)，和約束條件輸入到EXCEL模板中。利用EXCEL規(guī)劃求解功能直接求解非線性優(yōu)化問題P1。參見下表。8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(2)根據(jù)EXCEL規(guī)劃求解8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(3)8.3非線性優(yōu)化模型的計算機求解(3)8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(1)在第七章,我們介紹了有關(guān)線性優(yōu)化問題的約束的影子價格的概念。非線性優(yōu)化問題的約束的影子價格的定義與線性優(yōu)化問題完全一樣。一個約束的影子價格是當該約束的右邊項增加一個單位,而所有其他問題的數(shù)據(jù)保持不變時的最優(yōu)目標函數(shù)值發(fā)生變化的數(shù)量。可以通過EXCEL規(guī)劃求解中的靈敏度分析報告獲得。報告中的拉格朗日乘數(shù)就是影子價格。8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(1)在第七章,我們介紹了8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(2)在次考慮實例8.1中介紹的投資組合優(yōu)化問題。最小化約束條件為:比例目標收益率非負性8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(2)在次考慮實例8.1中8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(3)表8.6是以上問題的一個電子表格的表示。利用EXCEL規(guī)劃求解軟件求解后的靈敏度分析報告在表8.7中。8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(3)表8.6是以上問題的8.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(4)表8.68.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(4)表8.68.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(5)表8.78.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(5)表8.78.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(6)根據(jù)表8.7中的數(shù)據(jù),約束條件”目標收益率”的影子價格是0.4813。這意味著每增加一個單位的目標收益率約束的右邊值,這個最優(yōu)目標函數(shù)值將以0.4813個單位的速度增加。目標收益率約束的右邊值為11.0,最優(yōu)目標函數(shù)值為2.4008%。如果目標收益率約束的右邊值為11.0+Δ,那么最優(yōu)目標函數(shù)值將會近似增加0.4813Δ。也就是說,新的最優(yōu)目標函數(shù)值將會近似等于:2.4008+0.4813Δ由于目標函數(shù)是非線性函數(shù),這個公式是一個近似值,只對非常小的Δ有效。假設(shè)Δ=0.1,目標收益率約束的右邊值從11.0增加到11.1,那么最優(yōu)目標函數(shù)值等于:最優(yōu)目標函數(shù)值=2.4008+0.4813(0.1)=2.44898.4非線性優(yōu)化模型的影子價格信息(6)根據(jù)表8.7中的數(shù)據(jù)8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(1)基本投資組合模型的擴展基本投資組合模型可以以幾種方法進行擴展,比如,如果我們想要把投資組合看成一個高科技的投資組合。我們可以用一個約束條件來完成,至少70%的資金投資到計算機制造,即:XA+XD≥0.7有效邊界通過改變目標收益率約束的右邊值(以前為11.0%),我們可以對不同的年收益率的期望值的模型進行求解。表8.8列出了各種最優(yōu)解的信息。8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(1)基本投資組合模型的擴展8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(2)表8.8年預期收益率(%)最優(yōu)標準差(%)最優(yōu)分配比例新通信一般空間系統(tǒng)數(shù)字設(shè)備8.01.89280.37550.08720.53739.01.89280.37550.08720.537310.02.01620.37620.21360.410211.02.40080.37690.35610.267012.02.94740.37770.49850.123813.03.59010.33330.66670.000014.04.69040.00001.00000.00008.5投資組合優(yōu)化的深入討論(2)表8.8年預期收益率(%)8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(3)根據(jù)表8.8中的第一列和第二列的數(shù)據(jù)繪制圖形,我們就可獲得三種股票組合的有效邊界。這個圖形顯示在圖8.8中。管理者可以利用有效邊界決定收益率的期望值和可以接受的組合風險。8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(3)根據(jù)表8.8中的第一列和第8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(4)1.5%2%3.5%7%14%8%8.5投資組合優(yōu)化的深入討論(4)1.5%2%3.5%7%1作業(yè)（4）P458練習8.5P459練習8.7P459練習8.8作業(yè)（4）P458練習8.58.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(1)EPCF私募基金基金管理公司需要開發(fā)出不同的基金產(chǎn)品以滿足客戶的需要。兩年前推出了固定收益基金。上一季度推出了籃籌股基金(EPCF)。EPCF是由五家上市公司(波音,?？松?通用,麥當勞,和寶潔)和一個指數(shù)基金(標準普爾500指數(shù)基金)構(gòu)成。投資比例是根據(jù)上一季度的一個投資組合優(yōu)化模型來進行選擇的。投資組合優(yōu)化模型是對于一個給定的投資風險水平下,使投資組合的收益率的期望值最大化。。。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(1)EPCF私募8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(2)資產(chǎn)組合,預期收益和標準差資產(chǎn)分配是通過分配給投資于N種(N=6)資產(chǎn)中對每種資產(chǎn)投資的資金額(美元等貨幣)的比例來創(chuàng)建的。表8.10給出了一個有關(guān)EPCF投資于每種資產(chǎn)比例的一個實例。表8.10資產(chǎn)波音?？松ㄓ名湲攧趯殱峉P500基金比例0.10.20.250.050.150.258.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(2)資產(chǎn)組合,預8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(3)從表8.10中我們注意到投資組合的確比例之和等于1,通常我們也稱這個比例為投資組合權(quán)重。設(shè)Xi表示資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重,其中,i=1,2,…,N。這些權(quán)重必須滿足:∑Xi=1.0在大多數(shù)應(yīng)用中,投資組合權(quán)重必須是非負的,也就是說,要求有:Xi≥0,i=1,2,…,N在一個典型的投資組合的構(gòu)成中,管理人的目標是是使投資組合的年收益率最大化,同時使投資組合的風險最小化。投資組合的”收益率是投資組合的年收益率的期望值。為了度量這種投資組合的收益率的期望值,我們需要獲得投資組合中每種資產(chǎn)的年收益率的期望值數(shù)據(jù)。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(3)從表8.108.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(4)表8.11給出了未來一年里6種資產(chǎn)的年收益率的期望值(以年%)和年收益率的標準差(以年%)的估計值。這些估計值由專業(yè)人員(金融工程師)通過結(jié)合相關(guān)的市場數(shù)據(jù)庫,基本的統(tǒng)計分析,專業(yè)判斷以及管理層對市場的直觀認識?？紤]表8.11中波音公司的數(shù)據(jù)。設(shè)B表示投資于波音公司股票在未來一年里的年收益率。那么,B是一個隨機變量,即一年之后的收益率可能是任何一個數(shù)值,但是B的期望值是每年12.6904%,標準差是每年19.05455%。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(4)表8.11給8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(5)表8.11資產(chǎn)年收益率的期望值(%)年收益率的標準差(%)波音12.6960419.05455?？松?.9217012.03149通用11.8072524.79470麥當勞13.5490621.69084寶潔13.4590621.80891SP500基金13.0429511.710338.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(5)表8.11資8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(6)如果資產(chǎn)i的年收益率的期望值是μi,并且資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投資組合的年收益μ的期望值的計算公式為:

μ=∑μiXi投資組合的風險就是投資組合的標準差。為了計算投資組合標準差,我們需要獲得投資組合中每種資產(chǎn)的標準差數(shù)據(jù),以及不同資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)。表8.12包含不同資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)。8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(6)如果資產(chǎn)i的8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(7)表8.12波音?？松ㄓ名湲攧趯殱峉P500基金波音1.000000.205590.219020.435230.258490.49609?？松?.205591.000000.115220.302490.210950.56073通用0.219020.115221.000000.32526-1.176820.36528麥當勞0.435230.302490.325261.000000.149530.59082寶潔0.258490.21095-1.176820.149531.000000.55053SP500基金0.496090.560730.365280.590820.550531.000008.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(7)表8.12波8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(8)一般說來,如果資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的收益率的相關(guān)矩陣為CORR(i,j),其中,i=1,2,…,N,j=1,2,…,N;如果資產(chǎn)i的標準差為σi,其中,i=1,2,…,N;如果資產(chǎn)i的投資組合權(quán)重是Xi,其中,i=1,2,…,N。那么投資組合的方差為:

σ2=∑∑σiσjCORR(i,j)XiXj合因此,投資組合的標準差為:8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(8)一般說來,如8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(9)用于EPCF的投資組合的優(yōu)化模型上一極度由BJ先生創(chuàng)立,用于計算每種資產(chǎn)的權(quán)重。模型為:最大化:約束條件為:比例:標準差:最大的單個數(shù)值:Xi,其中,i=1,2,…,6非負性:Xi≥0

,其中,i=1,2,…,68.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(9)用于EPCF8.5案例分析—私人客戶基金(EPCF)(10)EPCF的基金經(jīng)理在上一個季度初期就已經(jīng)計算了EPCF投資組合的投資組合權(quán)重,參見表8.13的第二行。由于這個季度期間股票價格發(fā)生了變