誤差理論與數(shù)據(jù)處理課件

第1章緒論第1章緒論本章闡述測量誤差的基本概念、誤差的表達形式、誤差分類、誤差來源；給出描述誤差大小的精度概念及其與誤差類型之間的關(guān)系；給出測量中的有效數(shù)字概念及其在數(shù)據(jù)處理中的基本方法。通過學習本章內(nèi)容，使讀者對測量誤差分析及其數(shù)據(jù)處理的問題有一個概貌的了解，為學習后面章節(jié)的內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。教學目標本章闡述測量誤差的基本概念、誤差的表達形式、誤差分類誤差定義及表達形式測量誤差來源的分析測量誤差按誤差性質(zhì)的分類處理有效數(shù)字定義及選取重點與難點誤差定義及表達形式重點與難點門捷列夫(1834-1907)

科學始于測量,沒有測量，便沒有精密的科學。門捷列夫第一節(jié)研究誤差的意義門捷列夫(1834-1907)科學始于測量,沒有我常說的一句話是：當你能夠測量你所關(guān)注的事物，而且能夠用數(shù)量來描述他的時候，你就對其有所認識；當你不能測量他，也不能將其量化的時候，你對他的了解就是貧乏和不深入的。開爾文為了紀念他在科學上的功績，國際計量大會把熱力學溫標（即絕對溫標）稱為開爾文（開氏）溫標，熱力學溫度以開爾文為單位，是現(xiàn)在國際單位制中七個基本單位之一。開爾文（1824-1907）第一節(jié)研究誤差的意義我常說的一句話是：當你能夠測量你所關(guān)注的事物，而且能錢學森信息技術(shù)包括測量技術(shù)、計算機技術(shù)和通信技術(shù)，測量技術(shù)是信息技術(shù)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。錢學森第一節(jié)研究誤差的意義錢學森信息技術(shù)包括測量技術(shù)、計算機技術(shù)和通信技術(shù)，測量技術(shù)是王大珩等儀器儀表是工業(yè)生產(chǎn)的“倍增器”，是高新技術(shù)和科研的“催化劑”，在軍事上體現(xiàn)的是“戰(zhàn)斗力”。王大珩第一節(jié)研究誤差的意義王大珩等儀器儀表是工業(yè)生產(chǎn)的“倍增器”，是高新技術(shù)和科研的“測量與科學密不可分的關(guān)系!測量與誤差是相附相隨的!一切的測量都存在誤差!誤差在測量技術(shù)等科學研究領(lǐng)域占據(jù)著極為重要的地位!測量與科學密不可分的關(guān)系!測量與誤差是相附相隨的!一切的測量第一節(jié)研究誤差的意義正確認識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因從根本上，消除或減小誤差正確處理測量和實驗數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果通過計算得到更接近真值的數(shù)據(jù)正確組織實驗過程，合理設計、選用儀器或測量方法根據(jù)目標確定最佳系統(tǒng)測量過程精益求精！測量技術(shù)高精尖方向發(fā)展！第一節(jié)研究誤差的意義正確認識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原第二節(jié)誤差的基本概念這一節(jié)將介紹測量誤差的基本概念，如測量誤差的定義、分類、誤差的來源等。通過這些內(nèi)容的學習，可以讓讀者對測量誤差有個全面的了解。第二節(jié)誤差的基本概念這一節(jié)將介紹測量誤差的基本概誤差（Error）：誤差測得值真值＝－真值（TrueValue）：觀測一個量時，該量本身所具有的真實大小。分類：理論值約定真值三角形內(nèi)角之和恒為180o一個整圓周角為360o一、誤差的定義及表示法國際千克基準1Kg誤差（Error）：誤差測得值真值＝－真值（True約定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估計值、約定值或參考值

是指對于給定用途具有適當不確定度的、賦予特定量的值。這個術(shù)語在計量學中常用。由國家建立的實物標準（或基準）所指定的千克副原器質(zhì)量的約定真值為1kg，其復現(xiàn)的不確定度為0.008mg。當今保存在國際計量局的鉑銥合金千克原器的最小不確定度為0.004mg誤差是針對真值而言的，真值一般都是指約定真值。

亦稱一、誤差的定義及表示法約定真值(ConventionalTrueValue）指誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差表示形式性質(zhì)特點一、誤差的定義及表示法誤差絕對相對粗大系統(tǒng)隨機表示形式性質(zhì)特點一、誤差的定義及表絕對誤差（AbsoluteError）

絕對誤差

被測量的真值，常用約定真值代替

測得值特點：1)絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。2)給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。一、誤差的定義及表示法L＝L－L0絕對誤差測得值真值＝－絕對誤差（AbsoluteError）絕對誤差被測量修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測量結(jié)果上的值。

一、誤差的定義及表示法修正值真值測得值－特點：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。誤差－修正值(Correction):為了消除固定的系統(tǒng)誤差用【例1-1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測電壓的修正值為－5V，則修正后的測量結(jié)果為226+(－5V)=221V。

測得值絕對誤差一、誤差的定義及表示法【例1-1】用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，定義

被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值L

來代替

L0相對誤差特點：1）相對誤差有大小和符號。2）無量綱，一般用百分數(shù)來表示。絕對誤差相對誤差（RelativeError）：

絕對誤差與被測量真值之比

相對誤差一、誤差的定義及表示法定義被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值L絕對誤差和相對誤差的比較用尺子測量100m的標準距離，得值101m,其絕對誤差△L=1m，但用來測量1000m長的長度，得值1001m,其絕對誤差為1m。前者的相對誤差為1%后者的相對誤差為0.1%用絕對誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準確度。

一、誤差的定義及表示法準確程度不一樣！絕對誤差和相對誤差的比較用尺子測量100m的標準距離，得值1引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標稱范圍（或量程）上限引用誤差

儀器某標稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

一、誤差的定義及表示法應用于多擋和連續(xù)分度的儀器儀表中！引用誤差（FiducialErrorofaMeasu我國電工儀表、壓力表的準確度等級（AccuracyClass）就是按照引用誤差進行分級的。當一個儀表的等級s選定后，用此表測量某一被測量時，所產(chǎn)生的最大絕對誤差為最大相對誤差為絕對誤差的最大值與該儀表的標稱范圍（或量程）上限xm成正比選定儀表后，被測量的值越接近于標稱范圍（或量程）上限，測量的相對誤差越小，測量越準確

（公式2）（公式1）電工儀表、壓力表的準確度等級一、誤差的定義及表示法我國電工儀表、壓力表的準確度等級（AccuracyClas【例1-3

】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問這只電壓表是否合格？由公式2，該電壓表的引用誤差為由于所以該電壓表合格。【解】一、誤差的定義及表示法【例1-3】檢定一只2.5級、量程為100V的電壓表，發(fā)【例1-4

】

某1.0級電流表，滿度值（標稱范圍上限）為100，求測量值分別為100，80和20時的最大絕對誤差和相對誤差。根據(jù)題意得

由公式1可知，最大絕對誤差為

他們的相對誤差分別為

可見，在同一標稱范圍內(nèi)，測量值越小，其相對誤差越大。

【解】一、誤差的定義及表示法【例1-4】某1.0級電流表，滿度值（標稱范圍上限）為1

為了減小測量誤差，提高測量準確度，就必須了解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測量過程中，幾乎所有因素都將引入測量誤差。主要來源

測量裝置誤差

測量環(huán)境誤差

測量方法誤差

測量人員誤差

二、誤差的來源為了減小測量誤差，提高測量準確度，就必須了解誤差來源。而誤測量裝置誤差標準器件誤差儀器誤差附件誤差以固定形式復現(xiàn)標準量值的器具，如標準電阻、標準量塊、標準砝碼等等，他們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標準器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。測量裝置在制造過程中由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過程中，由于元器件的老化、機械部件磨損和疲勞等因素而使設備所產(chǎn)生的誤差。

測量儀器所帶附件和附屬工具所帶來的誤差。

設計測量裝置時，由于采用近似原理所帶來的工作原理誤差

組成設備的主要零部件的制造誤差與設備的裝配誤差設備出廠時校準與定度所帶來的誤差讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差

數(shù)字式儀器所特有的量化誤差

元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差二、誤差的來源測量裝置誤差標準器件誤差儀器誤差附件誤差以固定形式復現(xiàn)標準量測量環(huán)境誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對于電子測量，環(huán)境誤差主要來源于環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等激光光波比長測量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會影響到空氣折射率，因而影響激光波長，產(chǎn)生測量誤差。高精度的準直測量中，氣流、振動也有一定的影響二、誤差的來源測量環(huán)境誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。測量方法誤差指使用的測量方法不完善，或采用近似的計算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差如用均值電壓表測量交流電壓時，其讀數(shù)是按照正弦波的有效值進行刻度，由于計算公式中出現(xiàn)無理數(shù)和，故取近似公式，由此產(chǎn)生的誤差即為理論誤差。二、誤差的來源測量方法誤差指使用的測量方法不完善，或采用近似的計算公式等測量人員誤差測量人員的工作責任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測量習慣等的不同而引起的誤差。為了減小測量人員誤差，就要求測量人員要認真了解測量儀器的特性和測量原理，熟練掌握測量規(guī)程，精心進行測量操作，并正確處理測量結(jié)果。二、誤差的來源測量人員誤差測量人員的工作責任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）用天平計量物體質(zhì)量時，砝碼的質(zhì)量偏差用千分表讀數(shù)時，表盤安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差系統(tǒng)誤差舉例在實際估計測量器具示值的系統(tǒng)誤差時，常常用適當次數(shù)的重復測量的算術(shù)平均值減去約定真值來表示，又稱其為測量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設法消除或減小；也可以在相同條件下對已知約定真值的標準器具進行多次重復測量的辦法，或者通過多次變化條件下的重復測量的辦法，設法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，對測量結(jié)果進行修正。三、誤差分類用天平計量物體質(zhì)量時，砝碼的質(zhì)量偏差用千分表讀數(shù)時，表盤安裝三、誤差分類按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：舉例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對值和符號未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計出誤差范圍。

未定系統(tǒng)誤差：三、誤差分類按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和三、誤差分類按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：舉例：

砝碼質(zhì)量、熱膨脹誤差

誤差絕對值和符號變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：三、誤差分類按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符隨機誤差（RandomError）

測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒灄l件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

三、誤差分類隨機誤差（RandomError）測得值與在重復性條件隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。

雖然一次測量的隨機誤差沒有規(guī)律，不可預定，也不能用實驗的方法加以消除。但是，經(jīng)過大量的重復測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計的方法處理含有隨機誤差的數(shù)據(jù)，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當措施減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響。具體見第二章。

隨機誤差的性質(zhì)三、誤差分類隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。雖粗大誤差（GrossError）

指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結(jié)果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。三、誤差分類粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預三類誤差的關(guān)系及其對測得值的影響

標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的定義是科學嚴謹，不能混淆的。但在測量實踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應根據(jù)所考察的實際問題和具體條件，經(jīng)分析和實驗后確定。三、誤差分類三類誤差的關(guān)系及其對測得值的影響標準差期望值均值某次測如一塊電表，它的刻度誤差在制造時可能是隨機的，但用此電表來校準一批其它電表時，該電表的刻度誤差就會造成被校準的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準，用它來測量某電源的電壓時必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化三、誤差分類如一塊電表，它的刻度誤差在制造時可能是隨機的，但用此電表第三節(jié)精度這一節(jié)將介紹測量誤差的評定參數(shù)及與誤差的關(guān)系。第三節(jié)精度這一節(jié)將介紹測量誤差的評定參數(shù)及與第三節(jié)精度它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。準確度（Correctness）它反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度。精密度（Precision）精確度（Accuracy）

它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影星程度，簡稱精度。精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分數(shù)。如某一測量結(jié)果的相對誤差為0.001%，則其精度為10-5。

第三節(jié)精度它反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。準確度（C準確度、精密度和精確度三者之間的關(guān)系彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，準確度高。彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，正確度低。彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、正確度都高，從而精確度亦高。第三節(jié)精度準確度、精密度和精確度三者之間的關(guān)系彈著點全部在靶上，但分散

指在相同條件下在短時間內(nèi)對同一個量進行多次測量所得測量結(jié)果之間的一致程度，一般用測量結(jié)果的分散性來定量表示。

重復性（Repeatability）指在變化條件下，對同一個量進行多次測量所得測量結(jié)果之間的一致程度，一般用測量結(jié)果的分散性來定量表示。復現(xiàn)性也稱為再現(xiàn)性。

復現(xiàn)性（Reproducibility）常用測量名詞術(shù)語第三節(jié)精度指在相同條件下在短時間內(nèi)對同一個量進行多次測量所得測量結(jié)果指測量儀器保持其計量特性隨時間恒定的能力。它可以用幾種方式來定量表示，如用計量特性變化某個規(guī)定的量所經(jīng)過的時間；或用計量特性經(jīng)規(guī)定的時間所發(fā)生的變化等。

穩(wěn)定性（Stability）指測量儀器的示值與對應輸入量的真值之差。由于真值不能確定，故在實際應用中常采用約定真值。

示值誤差（ErrorofIndication）常用測量名詞術(shù)語第三節(jié)精度指測量儀器保持其計量特性隨時間恒定的能力。它可以用幾種方式指測量儀器示值的系統(tǒng)誤差。通常用適當次數(shù)重復測量的示值誤差的平均來估計。

偏移（Bias）

指對于給定的測量儀器，規(guī)范、規(guī)程等所允許的誤差極限值。有時也稱為允許誤差限。

最大允許誤差（MaximumPermissible）常用測量名詞術(shù)語第三節(jié)精度指測量儀器示值的系統(tǒng)誤差。通常用適當次數(shù)重復測量的示值誤差第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算這一節(jié)將介紹有效數(shù)字的定義、數(shù)字的射入原則和數(shù)據(jù)的運算原則。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算這一節(jié)將介紹有效數(shù)字的定第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算一、有效數(shù)字

含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對誤差界是最末尾數(shù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。

測量結(jié)果保留位數(shù)的原則1：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。測量結(jié)果保留位數(shù)的原則2：在進行重要的測量時，測量結(jié)果和測量誤差可比上述原則再多取一位數(shù)字作為參考。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算一、有效數(shù)字含有誤差的任何第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算二、數(shù)字舍入規(guī)則

計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進行取舍時，應按照下述原則進行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)減1。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)，即當末位為偶數(shù)時則末位不變，當末位是奇數(shù)時則末位加1。四舍六入五湊偶第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算二、數(shù)字舍入規(guī)則計算和測量第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算三、數(shù)字運算規(guī)則

在近似數(shù)運算時，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有殘余運算的數(shù)字，在有效數(shù)字后可多保留一維數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。在近似數(shù)做加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。（向左看齊）在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結(jié)果應與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。（多數(shù)服從少數(shù)）在近似數(shù)平方或開方運算時，近似數(shù)的選取與乘除運算相同。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算三、數(shù)字運算規(guī)則在近似數(shù)運算在對數(shù)運算時，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用n位對數(shù)表，或用（n+1）位對數(shù)表，以免損失精度。三角函數(shù)運算時，所取函數(shù)值的位數(shù)應隨角度誤差的減小而增多，其對應關(guān)系：第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算角度誤差10”1”0.1”0.01”函數(shù)值位數(shù)5678在對數(shù)運算時，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用n位對數(shù)表，或用（n+第2章

誤差的基本性質(zhì)與處理

第2章

誤差的基本性質(zhì)與處理本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學習本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進行合理的數(shù)據(jù)處理。教學目標本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法重點與難點三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施重

當對同一測量值進行多次等精度的重復測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。瞄準、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當?shù)?。第一?jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因當對同一測量值進行多次等精度的重復測量時，得到一系列

隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。設被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為：(2-1)式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為

(2-2)

(2-3)式中：σ——標準差（或均方根誤差）

e——自然對數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學期望為(2-4)它的方差為：(2-5)第一節(jié)隨機誤差二、正態(tài)分布隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而其平均誤差為：(2-6)此外由可解得或然誤差為：

(2-7)由式（2-2）可以推導出：

①有,可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性；

②當δ=0時有，即，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；

③雖然函數(shù)的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實際上，隨機誤差δ只是出現(xiàn)在一個有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；

④隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨向于零：這稱為誤差的補償性。返回本章目錄從正態(tài)分布的隨機誤差都具有的四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第一節(jié)隨機誤差其平均誤差為：

圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。σ值為曲線上拐點A的橫坐標，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標，ρ值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。

第一節(jié)隨機誤差圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。σ值對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為:

(2-8)

第一節(jié)隨機誤差三、算術(shù)平均值對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此下面來證明當測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。即由前面正態(tài)分布隨機誤差的第四特征可知，因此

由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值（數(shù)學上稱之為最大或然值）被認為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。第一節(jié)隨機誤差下面來證明當測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo

一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：(2-9)

此時可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個接近所有測得值的數(shù)作為參考值，計算每個測得值與的差值：(2-10)

式中的為簡單數(shù)值，很容易計算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。

若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機誤差一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1例2-1

測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。解：任選參考值=1879.65，計算差值和列于表很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。

（二）算術(shù)平均值的計算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。由，式中的是根據(jù)（2-8）計算的，當求得的為未經(jīng)湊整的準確數(shù)時，則有：(2-11)殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計算的正確性。但當實際得到的為經(jīng)過湊整的非準確數(shù)，存在序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一節(jié)隨機誤差例2-1測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平舍入誤差Δ，即有：成立。而經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：

①殘差代數(shù)和應符合：當，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為零；當，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為正，其大小為求時的余數(shù)；當，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為負，其大小為求時的虧數(shù)。

②殘差代數(shù)和絕對值應符合：當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，。式中的A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。第一節(jié)隨機誤差舍入誤差Δ，即有：成立。而第一節(jié)隨機誤差

例2-2用例2-1數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。解：因n為偶數(shù)，A＝0.01，由表2-1知

故計算結(jié)果正確。例2-3

測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進行校核。

解：算術(shù)平均值為：?。?000.067序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機誤差例2-2用例2-1數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。序號用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。第一節(jié)隨機誤差用第一種規(guī)則校核，則有：第一節(jié)隨機誤差（一）均方根誤差（標準偏差）σ

為什么用σ來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度推知：令，則有：

高斯參數(shù)h為精密度。由于h值無法以實驗中得到，故以σ值代之。

第一節(jié)隨機誤差四、測量的標準差（一）均方根誤差（標準偏差）σ第一節(jié)隨機

由于σ值反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機誤差的評定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。

標準差σ不是測量到中任何一個具體測量值的隨機誤差，σ的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差δ，一般都不等于σ，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個標準差σ的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進行兩個系列的等精度測量，其標準差也不相同。第一節(jié)隨機誤差由于σ值反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因（二）或然誤差ρ

測量列的或然誤差ρ，它將整個測量列的n個隨機誤差分為個數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個）隨機誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍內(nèi)，而另一半隨機誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍以外：，查表，得到時，z=0.6745，故有其實際意義是：若有n個隨機誤差，則有n/2個落在區(qū)間[-ρ,+ρ]之內(nèi)，而另外n/2個隨機誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差θ

測量列算術(shù)平均誤差θ的定義是：該測量列全部隨機誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示：由概率積分可以得到θ與σ的關(guān)系：

目前世界各國大多趨于采用σ作為評定隨機誤差的尺度。這是因為：

①σ的平方恰好是隨機變量的數(shù)字特征之一（方差），σ本身又第一節(jié)隨機誤差（二）或然誤差ρ第一節(jié)隨機誤差恰好是高斯誤差方程式中的一個參數(shù)，即，所以采用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合；

②σ對大的隨機誤差很敏感，能更準確地說明測量列的精度；

③極限誤差與標準偏差的關(guān)系簡單：；

④公式推導和計算比較簡單。五、標準偏差的幾種計算方法

（一）等精度測量到單次測量標準偏差的計算1、貝塞爾(Bessel)公式

(2-13)

式中，稱為算術(shù)平均值誤差將它和代入上式，則有(2-14)第一節(jié)隨機誤差恰好是高斯誤差方程式中的一個參數(shù)，即，所以將上式對應相加得：，即(2-15)若將式(2-14)平方后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當n適當大時，可以認為趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17)由于，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一節(jié)隨機誤差將上式對應相加得：，即第一節(jié)隨機2、別捷爾斯法

由貝賽爾公式得：進一步得：則平均誤差有：

由式2-6得：故有：

(2-26)

此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差的絕對值之和求出單次測量的標準差，而算術(shù)平均值的標準差為：(2-27)第一節(jié)隨機誤差2、別捷爾斯法第一節(jié)隨機誤差例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標準差。

解：計算得到的值分別填于表中，因此有3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計算標準差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進行其他運算，計算過程比較復雜。當要求簡便迅速序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一節(jié)隨機誤差例2-4用別捷爾斯法求算出標準差時，可用極差法。若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差：(2-28)

根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望為(2-29)

因故可得的無偏估計值，若仍以表示，則有(2-30)

式中的數(shù)值見表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機誤差算出標準差時，可用極差法。n第一節(jié)隨機誤差例2-5仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標準差。解：4、最大誤差法在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定值），因而能夠算出隨機誤差，取其中絕對值最大的一個值，當各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，則可求得關(guān)系式：(2-31)

一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標準差，應按最大殘余誤差進行計算，其關(guān)系式為：(2-32)

式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù)、的倒數(shù)見表2-5。第一節(jié)隨機誤差例2-5仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當時，最大誤差法具有一定精度。例2-6

仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標準差，則有，而故標準差為n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機誤差nnn第一節(jié)隨機誤差例2-7

某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長，試求原檢定波長的標準差。解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差為：

故標準差為：

5、四種計算方法的優(yōu)缺點

①貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩，需要乘方和開方等，其計算速度難于滿足快速自動化測量的需要；

②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍；

③用極差法計算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當n<10時可第一節(jié)隨機誤差例2-7某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式；

④用最大誤差法計算σ更為簡捷，容易掌握，當n<10時可用最大誤差法，計算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實驗(n=1)只能應用最大誤差法。（二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標準差

在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評定標準。如果在相同條件下對同一量值作多組重復的系列測量，每一系列測量都有一個算術(shù)平均值，由于隨機誤差的存在，各個測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標準。由式(2-8)已知算術(shù)平均值為：取方差得因故有第一節(jié)隨機誤差用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式；第一節(jié)隨機誤差

所以(2-21)

即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標準差為單次測量標準差的，當n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動。由圖2-3可知,σ一定時，當n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊?，提高測量精度，應采取適當精度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)。第一節(jié)隨機誤差所以第一節(jié)隨機誤差評定算術(shù)平均值的精度標準，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應公式為：(2-22)(2-23)

若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25)

例2-8用游標卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術(shù)平均值及其標準差。解：本例題中的測量數(shù)據(jù)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為。因為，第一節(jié)隨機誤差評定算術(shù)平均值的精度標準，也可用或然誤差R或平均誤差與表中的結(jié)果一致，故計算正確。根據(jù)上述各個誤差計算公式可得：六、測量的極限誤差

測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測量的極限誤差測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時，根據(jù)概第一節(jié)隨機誤差與表中的結(jié)果一致，故計算正確。第一節(jié)隨率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于其相應區(qū)間確定的概率，即：當研究誤差落在區(qū)間（-δ,+δ）之間的概率時，則得：(2-33)

將上式進行變量置換，設經(jīng)變換，上式成為：(2-34)

這樣我們就可以求出積分值p，為了應用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當t給定時，φ(t)值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，并求出隨機誤差不超出相應區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應區(qū)間的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。由表可以看出，隨著t的增大，超出|δ|的概率減小得很快。當?shù)谝还?jié)隨機誤差率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于其相

t=2，即|δ|=2σ時，在22次測量中只有1次的誤差絕對值超出2σ范圍；而當t=3，即

|δ|=3σ時，在370次測量中只有1次誤差絕對值超出3σ范圍。由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即

(2-35)

當t＝3時，對應的概率p＝99.73％。在實際測量中，有時也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如第一節(jié)隨機誤差t不超出的概率超出的概率測量次數(shù)n超出的測量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第一節(jié)隨機誤差t不超出的概率超出的概率測取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：(2-36)

若已知測量的標準差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。（二）算術(shù)平均值的極限誤差測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差，即。當多個測量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時，根據(jù)概率論知識，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達式為：(2-37)

式中的t為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標準差。通常取t＝3，則(2-38)

實際測量中有時也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當測量列的測量次數(shù)較少時，應按“學生氏”分布(“student”distribution)或稱t分布來計算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即

(2-39)第一節(jié)隨機誤差取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來確定，具體數(shù)值見附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)；為n次測量的算術(shù)平均值標準差。對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。例2-9

對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標準差

因測量次數(shù)較少，應按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，則有：第一節(jié)隨機誤差式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和若按正態(tài)分布計算，取，相應的置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見，當測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯的差別。七、不等精度測量

①在實際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。

②對于精密科學實驗而言，為了得到極其準確的測量結(jié)果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進行的不等精度測量。

③對于某一個未知量，歷史上或近年來有許多人進行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。對于不等精度測量，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標準差），不第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差能套用前面等精度測量的計算公式，需推導出新的計算公式。（一）權(quán)的概念在等精度測量中，各個測量值認為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即。假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因第一節(jié)隨機誤差能套用前面等精度測量的計算公式，需推導出新的計算公式。為單次測量精度皆相同，其標準差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標準差為：(2-40)

由此得下列等式因為，故上式又可寫成(2-41)

或表示為(2-42)

即：每組測量結(jié)果的權(quán)（）與其相應的標準偏差平方（）成反比，若已知（各組算術(shù)平均值的標準差），則可由（2-42）得到相應的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。例2-10

對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為第一節(jié)隨機誤差為單次測量精度皆相同，其標準差均為σ，則各組算術(shù)平均值求各測量結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42)得因此各組的權(quán)可取為（三）加權(quán)算術(shù)平均值若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為：，設相應的測量次數(shù)為n1,n2,…,nm，即：

(2-43)

根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值應為：第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差將式(2-43)代入上式得：或簡寫為(2-44)

當各組的權(quán)相等，即時，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為：(2-45)

由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46)

式中的為接近的任選參考值。第一節(jié)隨機誤差將式(2-43)代入上式得：第一節(jié)隨機例2-11

工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：，選，則有

(四)單位權(quán)的概念由式（2-41）知，此式又可表示為

(2-47)

式中為某精度單次測量值的標準差。因此，具有同一方差的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知，只要確定，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差。由于測得值的方差的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值標準差。利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。第一節(jié)隨機誤差例2-11工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之：設取方差

以權(quán)數(shù)字表示上式中的方差，則

由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值的權(quán)數(shù)為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第一節(jié)隨機誤差例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果皆乘以自身權(quán)（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為：若已知單位權(quán)測得值的標準差σ，則由式（2-40）知

全部（m×n個）測得值的算術(shù)平均值的標準差為：比較上面兩式可得：(2-48)

因為代入式（2-48）得(2-49)第一節(jié)隨機誤差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差第一節(jié)隨機誤差當各組測得的總權(quán)數(shù)為已知時，可由任一組的標準差和相應的權(quán)，或者由單位權(quán)的標準差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。當各組測量結(jié)果的標準差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計算加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為：將各組單位權(quán)比，則有：上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導得到：(2-50)將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節(jié)隨機誤差當各組測得的總權(quán)數(shù)為已知時，可由任一組用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準差，但是只有組數(shù)m足夠多時，才能得到較為精確的值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計值。例2-12

求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。解：由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為：，又已知

代入式(2-51)得八、隨機誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布

在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形第一節(jié)隨機誤差用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算分布或等概率分布。均勻分布的分布密度（圖2-5）和分布函數(shù)分別為：（2-52）（2-53）它的數(shù)學期望為：（2-54）它的方差和標準差分別為：（2-55）（2-56）(二)反正弦分布反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度（圖2-6）和分布函數(shù)分別為：(2-57)第一節(jié)隨機誤差分布或等概率分布。均勻分布的分布密度（圖2-5）和分（2-57）它的數(shù)學期望為：（2-58）它的方差和標準差分別為：（2-59）（2-60）（三）三角形分布

當兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。三角形分布的分布密度（圖2-7）和分布函數(shù)分別為：(2-61)第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差（2-63）它的數(shù)學期望為：（2-64）它的方差和標準差分別為：（2-65）

（2-66）如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。（四）分布令為個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標準化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量

(2-67)

隨機變量稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度表示上式中項數(shù)或第一節(jié)隨機誤差第一節(jié)隨機誤差獨立變量的個數(shù)。分布的分布密度如圖2-8所示。

(2-68)

式中的函數(shù)。它的數(shù)學期望為：

(2-69)

它的方差和標準差分別為：(2-70)(2-71)

在本書最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。由圖2-8的兩條理論曲線看出，當逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應改變。（五）t分布 第一節(jié)隨機誤差獨立變量的個數(shù)。分布的分布密度第一節(jié)隨機誤差令和是獨立的隨機變量，具有自由度為的分布函數(shù)，具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為(2-72)

隨機變量t稱自由度為的學生氏t變量。

t分布的分布密度為（圖2-9）：

(2-73)

它的數(shù)學期望為：(2-74)

它的方差和標準差分別為：(2-75)(2-76)

t分布的數(shù)學期望為零，分布曲線對稱于縱坐標軸，但它和標準化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當自由度時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它。第一節(jié)隨機誤差令和是獨立的隨機變量，具有自由度為的（六）F分布若具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為(2-77)

隨機變量F稱為自由度為、的F變量。

F分布的分布密度如圖2-10所示。

(2-78)

它的數(shù)學期望為：(2-79)

它的方差和標準差分別為：

(2-80)(2-81)

F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設和方差分析中經(jīng)常應用。第一節(jié)隨機誤差（六）F分布第一節(jié)隨機誤差

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法

第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差實際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準確度。研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差實際上測量過程中往一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測量方法的因素

④

測量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測