2020中考數(shù)學(xué)專題8-最值問題之將軍飲馬及答案

2020中考數(shù)學(xué)專題8——最值問題之將軍飲馬及答案2020中考數(shù)學(xué)專題8——最值問題之將軍飲馬班級(jí)【模型解析】以上四圖為常見的軸對(duì)稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決。特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)在直線上，起點(diǎn)和終點(diǎn)固定，方法是作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。【例題分析】例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為多少？例2.如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N。(1)當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM=多少度；(2)求△AMN的周長(zhǎng)最小值。例3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE=1，長(zhǎng)為2的線段MN在AC上運(yùn)動(dòng)。(1)求四邊形BMNE周長(zhǎng)最小值；(2)當(dāng)四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小時(shí)，則tan∠MBC的值為多少？例4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(12,0)，點(diǎn)B(0,4)，點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠OBA。如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△AE′O′，連接A'B、BE'。當(dāng)AB+BE'取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E'的坐標(biāo)。例5.如圖，已知正比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像與x軸相交所成的銳角為70°，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)，P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為多少？【鞏固訓(xùn)練】1.如圖1所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為多少？2.如圖2，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F、P分別是邊AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，PE+PF的最小值是多少？3.如圖3，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+DE的最小值是多少？4.如圖4，鈍角三角形ABC的面積為9，最長(zhǎng)邊AB=6，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是多少？5.如圖5，在△ABC中，AM平分∠BAC，點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn)，(1)若AC=4，S△ABC=6，則BD+DE的最小值為多少？2.在三角形ABC中，AB=BC=4，S△ABC=43，點(diǎn)P、Q、K分別為線段AB、BC、AC上的任意一點(diǎn)，求PK+QK的最小值。3.在三角形ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，求BD+DE的最小值。7.在圖中，AB是圓O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在圓O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值。8.在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值。9.在圓柱形玻璃杯中，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離。10.在菱形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)D、E分別在射線OC、OB上，求CE+DE+DB的最小值。11.在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，1)、B(－1，b)都在雙曲線y＝－(x＜0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求PQ所在直線的解析式。12.在圖中，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，求∠AOB的度數(shù)。13.在圖中，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值。15.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點(diǎn)。(1)如圖1，若E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CGE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AE的長(zhǎng)。(2)如圖2，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4，當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AF的長(zhǎng)。如圖所示，拋物線$y=-x^2+2x+4$與$y$軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A在$x$軸上，$OA=2$，過點(diǎn)A作直線MN垂直于AB交拋物線于M、N兩點(diǎn)。（1）求直線AB的解析式。解：由題意可知，點(diǎn)B在$y$軸上，故直線AB的截距為4，又因?yàn)閽佄锞€與$y$軸交于點(diǎn)B，故拋物線在點(diǎn)B處的縱坐標(biāo)為4，即$y_B=4$。又因?yàn)辄c(diǎn)A在$x$軸上，故$A=(2,0)$。設(shè)直線AB的解析式為$y=kx+4$，則由點(diǎn)A在直線上可得$k=-2$，因此直線AB的解析式為$y=-2x+4$。（2）將線段AB沿$y$軸負(fù)方向平移$t$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段$A_1B_1$，求$MA_1+MB_1$取最小值時(shí)實(shí)數(shù)$t$的值。解：將線段AB沿$y$軸負(fù)方向平移$t$個(gè)單位長(zhǎng)度得到的線段$A_1B_1$的解析式為$y=-2x+4-t$。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為$(m,-2m+4)$，點(diǎn)N的坐標(biāo)為$(n,-2n+4)$，則$MA_1+MB_1=\sqrt{(m-n)^2+(2m-2n+t)^2}$。令$MA_1+MB_1$的值最小，即對(duì)$t$求導(dǎo)數(shù)為0，得$t=2$。此時(shí)$MA_1+MB_1$的最小值為2。注：原文中存在大量的格式錯(cuò)誤和明顯有問題的段落，已經(jīng)進(jìn)行了刪除和改寫。所以所求最小值為BD的一半，即4．4.解：根據(jù)題意可得四邊形BMNE的周長(zhǎng)為2(BM+EN)，又由四邊形MNE'F'為平行四邊形可得BM+EN=BF'，所以要使BM+EN最小，只需使BF'最小，即使四邊形BMNE為矩形，此時(shí)BM+EN=BN+EM=6-2√2，所以四邊形BMNE的周長(zhǎng)最小值為12-4√2．5.解：將△AEO向右平移轉(zhuǎn)化為△AEO不動(dòng)，點(diǎn)B向左平移，則點(diǎn)B移動(dòng)的軌跡為一條平行于x軸的直線，設(shè)其與x軸交點(diǎn)為x，則BE'=BE+x，由△AEO與△AEO'相似可得AE'=AE，所以E'F=BE'+BF=BE+x+BF，要使E'F最小，只需使BF最小，此時(shí)B為線段AE的垂足，所以AE=ABsin45°=2√2，所以BF=BEsin45°=2√2-x，代入E'F=BE'+BF可得E'F=4√2-x，所以E'F最小值為4√2，所以點(diǎn)E向右平移的距離為x=2√2．6.解：作A'E⊥OD垂足為E，交y軸于點(diǎn)P，交直線y=kx于M，則AM+MP+PN的最小值為A'E的長(zhǎng)度，即A'E最短，所以A'E平行于OD，即A'E垂直于y=kx，所以A'、E、P三點(diǎn)共線，設(shè)A'P=h，則EP=h-kx，由△A'OE相似于△AOM可得OE=h/2，所以A'E=OE+OA'=h/2+4，代入A'E=EP+PE可得h=23，所以AM+MP+PN的最小值為23．1.四邊形ABCB′是平行四邊形，其中AC和BB′互相垂直平分。因?yàn)槿切蜛BC的邊長(zhǎng)為2，D是BC的中點(diǎn)，所以AD垂直于BC且AD=3，BD=CD=1，BB′=2AD=6。作B′G⊥BC的延長(zhǎng)線于G，因此B′G=AD=3。在直角三角形B′BG中，BG=3，所以DG=BG-BD=2。在直角三角形B′DG中，B′D=7。因此，BE+ED的最小值為7。2.過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N。因?yàn)锽D平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N，所以MN=ME。因此，CE=CM+ME=CM+MN是最小值。因?yàn)槿切蜛BC的面積為9，AB=6，所以6×CE=9，因此CE=3/2。即CM+MN的最小值為3。3.作點(diǎn)E關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E′，BH⊥AC于H。因?yàn)锽D+DE的最小值即為BH的長(zhǎng)，所以需要求出BH的長(zhǎng)。因?yàn)锳B=4，CB=4，△ABC的面積為√3，所以AH=2√3/3。因此，cos∠HAB=AH/AB=2√3/6=√3/3，所以∠HAB=30°。因?yàn)椤螧AC=∠C=30°，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，則P′Q的長(zhǎng)度=PK+QK的最小值。因?yàn)椤螲AP′=90°，四邊形AP′QH是矩形，所以P′Q=AH=2√3/3，即PK+QK的最小值為2√3/3。4.刪除此段，因?yàn)槲恼轮袥]有給出相關(guān)的圖示或前置條件，無法理解。5.作點(diǎn)E關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E′，BH⊥AC于H。因?yàn)锽D+DE的最小值即為BH的長(zhǎng)，所以需要求出BH的長(zhǎng)。因?yàn)锳B=4，CB=4，△ABC的面積為√3，所以AH=2√3/3。因此，cos∠HAB=AH/AB=2√3/6=√3/3，所以∠HAB=30°。作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，則P′Q的長(zhǎng)度=PK+QK的最小值。因?yàn)椤螲AP′=90°，四邊形AP′QH是矩形，所以P′Q=AH=2√3/3，即PK+QK的最小值為2√3/3。6.過A作AH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H。因?yàn)锳B=4，CB=4，△ABC的面積為√3，所以AH=2√3/3。因此，cos∠HAB=AH/AB=2√3/6=√3/3，所以∠HAB=30°，∠ABH=60°，∠ABC=120°。作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，則P′Q的長(zhǎng)度=PK+QK的最小值。因?yàn)椤螲AP′=90°，四邊形AP′QH是矩形，所以P′Q=AH=2√3/3，即PK+QK的最小值為2√3/3。7.作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接OM、ON、ON′、MN′。因?yàn)镸N′與AB的交點(diǎn)即為PM+PN的最小時(shí)的點(diǎn)，所以需要求出MN′的長(zhǎng)度。因?yàn)椤螹AB=20°，∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°，N是弧MB的中點(diǎn)，所以∠BON=∠MOB/2=40°/2=20°。由對(duì)稱性，∠N′OB=∠BON=20°，所以∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°。因此，△MON′是等邊三角形，所以MN′=OM=OB=AB/2=8/√3。即PM+PN的最小值為8/√3。8.解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，所以M′H=M′N′，于是BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離。由AB=4，∠BAC=45°，得BH=AB*sin45°=4*2/2=2√2。因此，BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=2√2。9.解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH。過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離。因?yàn)锳E=A′E，A′P=AP，所以AP+PC=A′P+PC=A′C。由CQ=18cm/2=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm/2=6cm，在直角三角形A′QC中，由勾股定理得：A′C=15cm，故答案為15。10.解：連接AC，作B關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，交OC于D，交OB于E，此時(shí)CE+DE+BD的值最小。因?yàn)樗倪呅蜲CBA是菱形，所以AC⊥OB，AO=OC，即A和C關(guān)于OB對(duì)稱。因此，CE=AE，所以DE+CE=DE+AE=AD。因?yàn)锽和E′關(guān)于OC對(duì)稱，所以DE′=DB，于是CE+DE+DB=AD+DE′=AE′。過C作CN⊥OA于N，因?yàn)镃(1,3)，所以O(shè)N=1，CN=3。由勾股定理得：OC=2，即AB=BC=OA=OC=2，所以∠CON=60°，于是∠CBA=∠COA=60°。因?yàn)樗倪呅蜟OAB是菱形，所以BC∥OA，于是∠DCB=∠COA=60°。因?yàn)锽和E′關(guān)于OC對(duì)稱，所以∠BFC=90°，于是∠E′BC=90°-60°=30°，所以∠E′BA=60°+30°=90°。由勾股定理得：CF=BC=1，BF=3=E′F。在直角三角形EBA中，由勾股定理得：AE′=4，所以CE+DE+DB的最小值是4。11.解：把點(diǎn)A(a,1)、B(-1,b)代入y=-|x<0|得a=-3，b=3，所以A(-3,1)、B(-1,3)。作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，所以C點(diǎn)為(-3,-1)，D點(diǎn)為(1,3)，連結(jié)CD分別交x軸、y軸于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小。設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，解得k=1，k+b=3，b=2。直線CD的解析式為y=x+2。12.解：首先作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，再連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：（此處應(yīng)該插入圖示）因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；又因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB。因此，OC=OP=OD，∠AOB=1/2∠COD。因?yàn)椤鱌MN周長(zhǎng)的最小值是5cm，所以PM+PN+MN=5，即DM+CN+MN=5，即CD=5=OP。因此，OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°。13解：首先作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，再作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，